2018高考数学二轮复习难点2.2导数与不等式相结合问题教学案理.docx

导数与不等式相结合问题导数是高中数学选修板块中重要的部分，应用广泛，教材中重点介绍了利用导数求切线、判断单调性、求极值、最值等基础知识，但是高考数学是以能力立意，所以往往以数列、方程、不等式为背景，综合考察学生转化和化归、分类讨论、数形结合等数学思想的应用能力，面对这种类型的题目，考生会有茫然，无所适从的感觉，究其原因是没有认真分析总结这种题目的特点和解题思路，本文介绍利用导数解决不等式问题的思路，以飨读者.1.利用导数证明不等式在初等数学中，我们学习过好多种证明不等式的方法，比如综合法、分析法、比较法、反证法、数学归纳法等，有些不等式，用初等方法是很难证明的，但是如果用导数却相对容易些，利用导数证明不等式，主要是构造函数，通过研究函数的性质达到证明的目的.1.1 利用单调性证明不等式构造函数，利用函数的单调性证明不等式例1. 【2018广西贺州桂梧高中联考】已知函数.（1）若在上递增，求的取值范围；（2）证明： .思路分析：（1）要使在上递增，只需，且不恒等于0，所以先求得函数的增区间， 是增区间的子区间.（2）当时， ， 显然成立. 当时，即证明 ，令（），即求，由导数可证.1.2 通过求函数的最值证明不等式 在对不等式的证明过程中，可以依此不等式的特点构造函数，进而求函数的最值，当该函数的最大值或最小值对不等式成立时，则不等式是永远是成立的，从而可将不等式的证明转化到求函数的最值上来.例2. 【甘肃省张掖市2018届第一次质量检测】已知函数.（1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；（2）设函数，若存在，使不等式成立，求的取值范围.思路分析：（1）由，得，所以在上单调递增，可得，从而得；（2）存在，使不等式成立，等价于，令，利用导数研究函数的单调性，求出，只需即可得结果.试题解析：（1）由，得，所以在上单调递增，所以，所以，所以的取值范围是. （2）因为存在，使不等式成立，所以存在，使成立，令，从而， ，因为，所以， ，所以，所以在上单调递增，所以，所以，实数的取值范围是.点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及极值和最值，考查了函数的思想和考生的发散思维能力，属于中档题.利用导数研究函数的单调性，首先求出函数的定义域，忽略定义域是最常见的错误；证明不等式通过构造新函数，研究新函数的单调性，求得其最值是最常用的思想方法，本题解答的难点是（3）中通过构造新函数并求得其极值点，从而判断的范围是解题的关键. 1.3多元不等式的证明含有多元的不等式，可以通过对不等式的等价变形，通过换元法，转化为一个未知数的不等式，或可选取主元，把其中的一个未知数作为变量，其他未知数作为参数，再证明之.例3已知函数.（1)已知函数f(x)在点（l ，f（1）处与x轴相切，求实数m的值；（2）求函数f(x)的单调区间； (3)在(1)的结论下，对于任意的0a b,证明：思路分析：（1）由已知可得，由于函数在点处与轴相切，又直线轴的斜率为0，根据导数的几何意义，所以有，从而可求出实数的值；（2）因为，所以有必要对的取值范围进行分类讨论.当时，有，此时函数在上单调递增；当时，有，由得，由，得，此时函数在上单调递增，在上单调递减.（3）由（1）知，得，对于任意的，可化为，即，由（2）知，函数在上单调递减，且，于是上式成立.故对于任意的，成立.点评：在第二问中要注意分类讨论标准的确定，当时，可借助一次函数的图像来判断导函数符号，同时要将零点和定义域比较；第二问中将不等式等价变形为，要利用换元法，将不等式转化为关于的不等式 2.利用导数求解与不等式有关的恒成立问题或者有解、无解问题不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理：例4【2018安徽阜阳一中二模】已知曲线 在点 处的切线是 .（1）求实数 的值；（2）若 对任意 恒成立，求实数 的最大值.思路分析：（1）利用导数的几何意义求解，计算和，即可求出的值；（2）分离参数，构造新函数，求函数的最值，利用导数求出函数的单调性，即可求出最值.点评：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.恒成立问题的处理方法：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，就转化为；（3）若恒成立，可转化为. 3.利用导数解不等式通过构造函数，利用函数的单调性得到不等式的解集.例5.已知定义在实数集上的函数满足，且的导函数在上恒有，则不等式 的解集为 ( )A B C D思路分析：因为的解析式不确定，由，结合所求不等式的形式，想到构造函数，则，故单调递减，由，则不等式解集为解析：不等式 可化为，令，则，因为，所以，则函数在R上单调递减，又，则即的解集即为.点评：该题考察了利用导数判断函数的单调性，联系所求的不等式，构造合适的函数，通过判断单调性，得出不等式的解集，是解题的关键. 综合上述