论文2：例题的灵活运用.doc

数学例题的灵活应用数学中有些例题的结论有很多是可以直接运用，可以免去许多的计算步骤甚至繁琐的计算过程。下面就举几个例子来说明。例1：求经过两个圆x2+ y2 + 6x - 4=0和x2 + y2 + 6y - 28=0的交点，并且圆心在直线x y - 4=0上的圆的方程。一般的解法是先解方程组： x2 + y2+ 6x - 4=0 (1) 解得 x = - 6 x = - 1 x2 + y2 + 6y - 28=0 (2) y =- 2 或 y = 3解：设所求圆的方程为（x - a）2 + (y - b)2 = r2 则此圆经过点（6，-2）与点（-1，3）。得到下列方程组 （-6-a）2 + (-2-b)2 = r2 (1) 解得a = (-1 - a)2 + (3-b)2 = r2 (2) b = - a- b - 4 = 0 (3) r2 = 从而圆的方程为（x - ）2 + (y + )2 = 可化为;x2+y2-x+7y-32=0.如果用下面的例题中的结论，那么解题的思路更简单。下面我们来看一下这个例题。如果两条曲线的方程是f1(x, y)和f2(x, y)=0，它们的交点是p（x0, y0）,证明：方程f1(x, y)+kf2(x, y)=0的曲线也经过点P。下面运用上述例题来解决例1.解：因为所求的圆经过两圆x2 + y2 + 6x 4 = 0 与x2 + y2 + 6y 28 = 0的交点。可设所求的圆的方程为(x2 + y2 + 6y - 28) + k (x2 + y 2+ 6x + 4) =0,(kR, k-1)可化为;x2 + y2 + x + y - =0 (1)圆心的坐标是（,）圆心在直线x-y-4=0上，+ -4=0，解得k=-,代入（1）得x2+y2-x+7y-32=0 这样解题就相当地简单，不必进行繁琐的细节与计算。例2、求经过两曲线x2 + y2 + 3x y = 0，和3x2 + 3y2 + 2x + y = 0的交点直线方程。解：设所求的直线方程为3x2 + 3y2 + 2x + y + k(x2 + y2 + 3x - y) = 0,可化为：（3+k）x2 +(3+k)y2 +(2+3k)x +( 1- k)y =0. （2）要使方程（2）是直线方程，必须使二次项系数为零，即令3+k=0,从而得到k= - 3把k = - 3代入（2）得到7x 4y = 0此为所求直线方程。例3、求过点A（5，2），且和直线4x-3y+6=0相切于点B（3，6）的圆的方程。一般的解法是：设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2 (1),则得到下列方程组:(5-a)2+(2-b)2=r2 (2)(3-a)2+(6-b)2=r2 (3)=r (4)由（2）、（3）、（4）解得a=5，b= r2=则所求的圆的方程为：x2 + y2-10x -9y + 39 =0如果用上述的例题的结果，那么就简单很多。下面来运用上面的结论看一下：解：因为点B（3，6）可以表示为圆（x-3）2+ (y-6)2=0,则所求的圆是经过直线4x 3y +6=0 和圆(x-3)2+(y-6)2=0的交点。可设所求的圆的方程为：(x - 3)2 +( y - 6)2+k(4x-3y+6) =0 (kR ) (5)因为方程（5）的圆过点A（5，2），把点A的坐标代入（5）得K=-1，再把此值代入（5）得所求的圆的方程为x2 + y2 - 10x - 9y + 39 = 0.对于比较两个分数的大小时要花费很多时间，如比较与的大小。运用这样的例题：已知a、b、mR+。并且ab,求证：就方便多了。因为=，这样就解决了上面的问题。有这样的代数定理1：a-ba + ba+b(a、bR.,和定理2：a-ba b a+b,(a、bR)a-ba b 及a +ba+b当a0 或 a0 b0 b0 时等号成立，对于a-ba + b及a b a+b，当 a0 或 a0时等号成立。 b0 b0 下面举两个例子来说明它的应用。例4、解方程x-4+x+2=6.(xR)解法1：x-4+x+2(x 4) - (x+2)即：x - 4+x+26 (6)由定理2得： x 40 x-40 当 或 时 （6）式取等号，此时，（6） X+20 x+20式变成了方程x - 4+x+2=6，现在只要解上面的不等式组就可以了。解得-2x4为原方程的解。解法2：x-4+x+2=6, 4-x+x+2=6 4-x+x+2(4-x+x+2)=6 (7)由定理1得 4-x0 4-x0 当 或 时，（7）式取等号，此时（7）式变为原方 x+20 x+20程。解此两不等式组得-2x4为所求的解。例5、 解方程3x-2-x+2+4-2x=0。(xR)解：由原方程得3x-2+4-2x=x+2由定理2得3x-2+4-2x(3x-2)-(2x-4)=x+2 (8) 3x-20 3x-20当 或 时，（8）式取等号，此时（8）变为原方程， 2x-40 2x-40解此不等式组得x2为原方程的解.例6、求函数y=x2-2x+5+x2-10x+26的最小值。 解：y=(1-x)2+22+(x-5)2+12, Z1=(1-x)+2i, Z2=(x-5)+iy=Z1+Z2Z1+Z2=1-x+2i+x-5+i=-4+3i=5当Z1=kZ2(k0)时上式取等号，1-x+2i=2x-5k+ki解之得k=2、x=故当x=时y有最小值5。用上述的定理1、定理2解这样的题目是相当地方便的，下面再来看一个例题。例7、求函数y=x2-6x+13-x2+1的最大值。解：y=x2-6x+13-x2+1=(x-3)2+22-x2+12 令Z1=(x-3)+2i,Z2=x+I,y=Z1-Z2Z1-Z2