高中数学 第3章 不等式 4 简单线性规划 第3课时 简单线性规划的应用同步课件 北师大版必修5.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 必修5 不等式 第三章 4简单线性规划 第三章 第3课时简单线性规划的应用 1 解线性规划应用题的步骤 1 转化 设元 写出约束条件和目标函数 从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题 2 求解 解这个纯数学的线性规划问题 求解过程 画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l 将l平行移动 以确定最优解所对应的点的位置 作图 平移 解有关方程组求出最优解的坐标 再代入目标函数 求出目标函数的最值 3 作答 就应用题提出的问题作出回答 2 线性规划解决的常见问题有 问题 问题 问题 问题 问题等 求值 物资调配 产品安排 合理下料 产品配方 方案设计 1 某企业生产甲 乙两种产品 已知生产每吨甲产品要用a原料3吨 b原料2吨 生产每吨乙产品要用a原料1吨 b原料3吨 销售每吨甲产品可获得利润5万元 每吨乙产品可获得利润3万元 该企业在一个生产周期内消耗a原料不超过13吨 b原料不超过18吨 那么该企业可获得最大利润是 a 12万元b 20万元c 25万元d 27万元 答案 d 2 医院用甲 乙两种原料为手术后的病人配营养餐 甲种原料每10g含5单位蛋白质和10单位铁质 售价3元 乙种原料每10g含7单位蛋白质和4单位铁质 售价2元 若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质 既满足营养 又使费用最省 则需要甲 乙两种原料分别为 a 28g 30gb 30g 28gc 2 8g 3gd 3g 2 8g 答案 a 3 某加工厂用某原料由甲车间加工出a产品 由乙车间加工出b产品 甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克a产品 每千克a产品获利40元 乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克b产品 每千克b产品获利50元 甲 乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工 每天甲 乙两车间耗费工时总和不得超过480小时 甲 乙两车间每天总获利最大的生产计划为 a 甲车间加工原料10箱 乙车间加工原料60箱b 甲车间加工原料15箱 乙车间加工原料55箱c 甲车间加工原料18箱 乙车间加工原料50箱d 甲车间加工原料40箱 乙车间加工原料30箱 答案 b 4 某农户计划种植黄瓜和韭菜 种植面积不超过50亩 投入资金不超过54万元 假设种植黄瓜和韭菜的产量 成本和售价如下表 为使一年的种植的总利润最大 那么黄瓜和韭菜的种植面积分别为 答案 30亩20亩 画出可行域如图中阴影部分所求 易得点a 0 50 b 30 20 c 45 0 易得最优解为 30 20 即黄瓜和韭菜的种植面积分别为30亩 20亩 5 铁矿石a和b的含铁率为a 冶炼每万吨铁矿石的co2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c 如下表 某冶炼厂至少要生产1 9 万吨 铁 若要求co2的排放量不超过2 万吨 则购买铁矿石的最少费用为 百万元 答案 15 作出可行域如图所示 由图可知 目标函数z 3x 6y在点a 1 2 处取得最小值 zmin 3 1 6 2 15 某工厂计划生产甲 乙两种产品 这两种产品都需要两种原料 生产甲产品1工时需要a种原料3kg b种原料1kg 生产乙产品1工时需要a种原料2kg b种原料2kg 现有a种原料1200kg b种原料800kg 如果生产甲产品每工时的平均利润是30元 生产乙产品每工时的平均利润是40元 问甲 乙两种产品各生产多少工时能使利润的总额最大 最大利润是多少 收益最大问题 利润 收入 产量等 解析 依题意可列表如下 方法总结 解答线性规划应用题应注意以下几点 1 在线性规划问题的应用中 常常是题中的条件较多 因此认真审题非常重要 2 线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断 3 结合实际问题 分析未知数x y等是否有限制 如x y为正整数 非负数等 4 分清线性约束条件和线性目标函数 线性约束条件一般是不等式 而线性目标函数却是一个等式 5 图对解决线性规划问题至关重要 关键步骤基本上都是在图上完成的 所以作图应尽可能地准确 图上操作尽可能规范 但作图中必然会有误差 假如图上的最优点不容易看出时 需将几个有可能是最优点的坐标都求出来 然后逐一检查 以确定最优解 某厂计划生产甲 乙两种产品 甲产品售价50千元 件 乙产品售价30千元 件 生产这两种产品需要a b两种原料 生产甲产品需要a种原料4t 件 b种原料2t 件 生产乙产品需要a种原料3t 件 b种原料1t 件 该厂能获得a种原料120t b种原料50t 问生产甲 乙两种产品各多少件时 能使销售总收入最大 最大总收入为多少 画出不等式组表示的平面区域即可行域如图 易知直线z 50 x 30y过点 15 20 时 取得最大值 zmax 50 15 30 20 1350 答 生产甲 乙两种产品分别为15件 20件 总收入最大是1350千元 某公司的仓库a存有货物12t 仓库b存有货物8t 现按7t 8t和5t把货物分别调运给甲 乙 丙三个商店 从仓库a运货物到商店甲 乙 丙 每吨货物的运费分别为8元 6元 9元 从仓库b运货物到商店甲 乙 丙 每吨货物的运费分别为3元 4元 5元 则应如何安排调运方案 才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少 耗费资源 人力 物力 资金等 最少问题 某旅行社租用a b两种型号的客车安排900名客人旅行 a b两种车辆的载客量分别为36人和60人 租金分别为1600元 辆和2400元 辆 旅行社要求租车总数不超过21辆 且b型车不多于a型车7辆 则租金最少为 a 31200元b 36000元c 36800元d 38400元 答案 c 要将两种大小不同的钢板截成a b c三种规格 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 今需要a b c三种规格的成品分别为15 18 27块 问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格的成品 且使所用钢板张数最少 线性规划中的整点问题 方法总结 可行域内最优解为整点的问题的处理用图解法解线性规划题时 求整数最优解是个难点 对作图精确度要求较高 平行直线系f x y t的斜率要画准 可行域内的整点要找准 那么如何解决这一实际问题呢 确定最优整数解常按以下思路进行 1 若可行域的 顶点 处恰好为整点 那么它就是最优解 在包括边界的情况下 2 若可行域的 顶点 不是整点或不包括边界时 一般采用网格法 即先在可行域内打网格 描整点 平移直线l 最先经过或最后经过的整点坐标是整数最优解 这种方法依赖作图 所以作图应尽可能精确 图上操作尽可能规范 3 采用优值调整法 此法的一般步骤为 先求出非整点最优解及其相应的最优值 调整最优值 代入约束条件 解不等式组 根据不等式组的解筛选出整点最优解 某公司计划在今年内同时出售电子琴和洗衣机 由于两种产品的市场需求量非常大 有多少就能销售多少 因此该公司要根据实际情况 如资金 劳动力 确定产品的月供应量 以使得总利润达到最大 已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力 通过调查 得到关于这两种产品的有关数据如下表 试问 怎样确定两种货物的供应量 才能使总利润达到最大 最大利润是多少 作出平面区域如图 令t a b 则t是直线b a t的纵截距 显然当直线b a t与直线a b 1 0重合时 t最大 tmax 1 当直线b a t经过点 0 4 时 t最小 tmin 4 4 t 1