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文档简介

概率密度函数 定义 设X为一随机变量 若存在非负实函数f x 使对任意实数a b 有 则称X为连续型随机变量 f x 称为X的概率密度函数 简称概率密度或密度函数 分布函数 定义 则称X为连续型随机变量 f x 称为X的概率密度函数 简称概率密度或密度函数 概率密度函数的性质 1 非负性 2 规范性 密度函数和分布函数的关系 积分关系 导数关系 连续型随机变量的分布函数在实数域内处处连续 P X a 0 P a X b P a X b P a X b P a X b X取值在某区间的概率等于密度函数在此区间上的定积分 连续型随机变量的分布函数的性质 因此 连续型随机变量取任意指定实数值a的概率为0 解利用密度函数的性质求出a 已知密度函数求概率 例 求 1 常数a 2 3 X的分布函数 1 由概率密度的性质可知 所以a 1 2 例设随机变量X具有概率密度 解 已知分布函数求密度函数 2 X的密度函数 2 密度函数为 解 例 Ex 已知连续型随机变量X的概率密度为 2 求X的分布函数 均匀分布 若连续型随机变量X的概率密度为 则称X在区间 a b 上服从均匀分布 记为X U a b 定义 分布函数 X 等可能 地取区间 a b 中的值 这里的 等可能 理解为 X落在区间 a b 中任意等长度的子区间内的可能性是相同的 或者说它落在子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关 意义 例设 在 1 5 上服从均匀分布 求方程 有实根的概率 解方程有实数根 即 而的密度函数为 所求概率为 指数分布 若连续型随机变量X的概率密度为 定义 分布函数 则称X服从参数为的指数分布 定义 分布函数 f x 和F x 可用图形表示 正态分布 正态分布的密度函数的性质与图形 关于x 对称 升 降 单调性 对称性 拐点 中间高两边低 对密度曲线的影响 正态分布的分布函数 标准正态分布 定义 X N 0 1 分布称为标准正态分布 密度函数 分布函数 偶函数 标准正态分布的概率计算 分布函数 X x 标准正态分布的概率计算 公式 查表 例 X N 0 1 一般正态分布的标准化 定理 查标准正态分布表 概率计算 一般正态分布的区间概率 设X N 1 4 求P 0 X 1 6 解 例 正态分布的实际应用 分析 然后根据录取率或者分数线确定能否录取 解成绩X服从 录取率为 可得 得 查表得 查表得 解得 故 设录取的最低分为 则应有 某人78分 可被录取 X的取值几乎都落入以 为中心 以3 为半径的区间内 这是因为 3 准则 是小概率事件 例 设X服从参数为3的指数分布 求它的密度
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