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文档简介
第2讲矩阵与变换 考试要求1 矩阵的概念 a级要求 2 一阶矩阵与平面向量 b级要求 3 常见的平面变换 a级要求 4 矩阵的复合与矩阵的乘法 b级要求 5 二阶逆矩阵 b级要求 6 二阶矩阵的特征值与特征向量 b级要求 7 二阶矩阵的简单应用 b级要求 知识梳理 1 乘法规则 a11 b11 a12 b21 3 两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵 其乘法法则如下 性质 两个二阶矩阵的乘法满足律 但不满足律和律 即 ab c a bc ab ba 由ab ac不一定能推出b c 一般地 两个矩阵只有当前一个矩阵的与后一个矩阵的相等时才能进行乘法运算 交换 消去 列数 行数 结合 2 几种常见的变换 1 恒等变换 2 伸缩变换 3 反射变换 4 投影变换 5 旋转变换 6 切变变换 3 矩阵的逆矩阵 1 逆矩阵的有关概念 对于二阶矩阵a b 若有ab ba 则称a是可逆的 称为a的逆矩阵 若二阶矩阵a存在逆矩阵b 则逆矩阵是唯一的 通常记a的逆矩阵为a 1 a 1 b e b 4 二阶矩阵的特征值和特征向量 1 特征值与特征向量的概念设a是一个二阶矩阵 如果对于实数 存在一个非零向量 使得a 那么称为a的一个特征值 而称为a的一个属于特征值 的一个特征向量 2 特征多项式与特征方程 3 特征值与特征向量的计算 诊断自测 1 求a的逆矩阵a 1 2 求矩阵c 使得ac b 考点一矩阵与变换 规律方法理解变换的意义 掌握矩阵的乘法运算法则是求解的关键 利用待定系数法 构建方程是解决此类题的关键 考点二二阶逆矩阵与二元一次方程组 规律方法求逆矩阵时 可用定义法解方程处理 也可以用公式法直接代入求解 在求逆矩阵时要重视 ab 1 b 1a 1性质的应用 考点三求矩阵的特征值与特征向量 思想方法 1 在解决通过矩阵进行平面曲线的变换问题时 变换矩阵可以通过待定系数法解决 在变换时一定要把变换前后的变量区别清楚 防止混淆 2 对于二阶矩阵 要能够熟练地根据常见的几种变换的坐标形式和矩阵形式相互转化的规则 直接指明对应的变换 3 关于特征值与特征向量的讨论与矩阵的变换性质 矩阵的乘积 行列式以及线性方程组的解有密切联系 易错防范 1 两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算 2 矩阵的特征值与特征向量 1 不是每个矩阵都有特征值与特征向量 2 属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线
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