06浙江省初中数学竞赛试题及答案.doc

2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的请将正确选项的代号填入题后的括号里不填、多填或错填均得零分）DBCA（第2题）EF1要使方程组的解是一对异号的数，则a的取值范围是（）(A) a3 (B) a (C) a3(D) a，或a32一块含30角的直角三角板（如图），它的斜边AB=8cm，里面空心DEF的各边与ABC的对应边平行，且各对应边的距离都是1 cm，那么DEF的周长是（ ）(A) 5 cm (B) 6 cm (C)（）cm (D)（）cm3将长为15 dm的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有（ ）(A) 5种 (B) 6种 (C) 7种 (D) 8种4作抛物线A关于x轴对称的抛物线B，再将抛物线B向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是，则抛物线A所对应的函数表达式是（ ）(A) (B) (C) (D) 5书架上有两套同样的教材，每套分上、下两册，在这四册教材中随机抽取两册，恰好组成一套教材的概率是（）GFEDCBA(第6题)(A) (B) (C) (D) 6如图，一枚棋子放在七边形ABCDEFG的顶点A处，现顺时针方向移动这枚棋子10次，移动规则是：第k次依次移动k个顶点如第一次移动1个顶点，棋子停在顶点B处，第二次移动2个顶点，棋子停在顶点D处依这样的规则，在这10次移动的过程中，棋子不可能停到的顶点是（）(A) C，E，F(B) C，E，G(C) C，E (D) E，F7一元二次方程中，若a，b都是偶数，c是奇数，则这个方程（）(第8题)(A) 有整数根 (B) 没有整数根 (C) 没有有理数根 (D) 没有实数根8如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L形，那么在由45个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L形图案个数是（）(A) 16 (B) 32 (C) 48 (D) 64得 分评卷人二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9已知直角三角形的两直角边长分别为3 cm和4 cm，那么以两直角边为直径的两圆公共弦的长为 cm10将一组数据按由小到大（或由大到小）的顺序排列，处于最中间位置的数（当数据的个数是奇数时），或最中间两个数据的平均数（当数据的个数是偶数时）叫做这组数据的中位数现有一组数据共有100个数，其中有15个数在中位数和平均数之间，如果这组数据的中位数和平均数都不在这100个数中，那么这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是11ABC中，a，b，c分别是A、B、C的对边已知a=，b=，c=，则bsinB+csinC的值等于 12设直线和直线（k是正整数）及x轴围成的三角形面积为，则的值是 AEFBCDGM（第13题）13如图，正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是2和3，且点B，C，G在同一直线上，M是线段AE的中点，连结MF，则MF的长为 14边长为整数的等腰三角形一腰上的中线将其周长分为12的两部分，那么所有这些等腰三角形中，面积最小的三角形的面积是 三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）得分评卷人15已知a，b，c都是整数，且，求的值得分评卷人16做服装生意的王老板经营甲、乙两个店铺，每个店铺在同一段时间内都能售出A，B两种款式的服装合计30件，并且每售出一件A款式和B款式服装，甲店铺获毛利润分别为30元和40元，乙店铺获毛利润分别为27元和36元某日王老板进货A款式服装35件，B款式服装25件怎样分配给每个店铺各30件服装，使得在保证乙店铺获毛利润不小于950元的前提下，王老板获取的总毛利润最大？最大的总毛利润是多少？17如图所示，O沿着凸n边形A1 A2 A3An-1An的外侧(圆和边相切)作无滑动的滚动一周回到原来的位置得分评卷人(1) 当O和凸n边形的周长相等时，证明O自身转动了两圈(2) 当O的周长是a，凸n边形的周长是b时，请写出此时O自身转动的圈数A1A2A3An-1AnO（第17题）18已知二次函数得分评卷人(1) 随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由(2) 如果直线经过二次函数图象的顶点P，求此时m的值2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题参考答案DBCA（第2题）EFNM一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1答案：D解：解方程组，得要使方程组的解是一对异号的数，只需或即a或a32答案：B解：连结BE，分别过E，F作AC的平行线交BC于点M和N，则EM=1，BM=，MN= 小三角形的周长是cm3答案：C解：能组成三角形的只有（1，7，7）、（2，6，7）、（3，5，7）、（3，6，6）、（4，4，7）、（4，5，6）、（5，5，5）七种4答案：D解：将抛物线C再变回到抛物线A：即将抛物线向下平移1个单位，再向右平移2个单位，得到抛物线，而抛物线关于x轴对称的抛物线是5答案：AGFEDCBA(第6题)解：四册教材任取两册共有6种不同的取法，取出的两册是一套教材的共有4种不同的取法，故所求概率是6答案：A解： 经实验或按下述方法可求得顶点C，E和F棋子不可能停到设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是，应停在第格，这里是整数，且使06，分别取k=1，2，3，4，5，6，7，时，=1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋若7k10，设（t=1，2，3）代入可得，=，由此可知，停棋的情形与时相同故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到7答案：B(第8题)解：假设有整数根，不妨设它的根是2k或2k+1（k为整数），分别代入原方程得方程两边的奇偶性不同的矛盾结果，所以排除A；若a，b，c分别取4，8，3则排除C，D8答案：C解：每个22小方格图形有4种不同的画法，而位置不同的22 小方格图形共有12个，故画出不同位置的L形图案个数是124=48二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9答案：解：不难证明其公共弦就是直角三角形斜边上的高(设为h)，则5h=34，h=10答案：35或65（答对一个给3分）解：如果平均数小于中位数，那么小于平均数的数据有35个；如果平均数大于中位数，那么小于平均数的数据有65个，所以这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是35或6511答案：解：不难验证，a2=b2+c2所以ABC是直角三角形，其中a是斜边bsinB+csinC=+=a=12答案：解：方程组的解为 直线的交点是直线，与x轴的交点分别是（，0）、（，0）=所以=AEFBCDGM（第13题）N=13答案：解：连结DM并延长交EF于N，则ADMENM，FN=1，则FM是等腰直角DFN的底边上的高，所以FM=14答案：解：设这个等腰三角形的腰为x，底为y，分为的两部分边长分别为n和2n，得 或 解得 或 (此时不能构成三角形，舍去)， 取其中n是3的倍数三角形的面积对于，当n0时，随着n的增大而增大，故当n=3时，取最小三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）15(12分)解：将代入，得2b2+4b+c2=0， 2分 2分 b，c都是整数， 只能取 ，4分相对应a1=4，a2=4，a3=，a4=0故所求的值有4个：5，3， 4分16(12分)解：设分配给甲店铺A款式服装x件(x取整数，且5x30)，则分配给甲店铺B款式服装(30)件，分配给乙店铺A款式服装(35x)件，分配给乙店铺B款式服装25(30)= (x)件，总毛利润(设为y总)为： y总=30x+40(30)+27(35)+36(x)= +1 9654分 乙店铺的毛利润(设为y乙)应满足： y乙=27(35)+36(x)950，得x3分对于y总=+1 965，y总随着x的增大而减小，要使y总最大，x必须取最小值，又x，故取x=21即分配给甲店铺A，B两种款式服装分别为21件和9件，分配给乙店铺A，B两种款式服装分别为14件和16件，此时既保证了乙店铺获毛利润不小于950元，又保证了在此前提下王老板获取的总毛利润最大， 3分其最大的总毛利润为：y总最大=+1 965=1 944(元)2分17(12分)解：(1) 一个圆沿着线段的一个端点无滑动地滚动到另一个端点，圆自身转动的圈数=(线段的长度圆的周长)圈因此若不考虑O滚动经过n个顶点的情况，则O自身恰好转动了一圈 3分OA1A2A3An-1AnO（第17题）ggab现证明，当O在某边的一端，滚动经过该端点(即顶点)时，O自身转动的角度恰好等于n边形在这个顶点的一个外角如图所示，设A2 A1 An为钝角，已知An A1是O的切线，O滚动经过端点A1后到的位置，此时A1A2是的切线，因此OA1AnA1，A1A1 A2当O转动至时，则g 就是O自身转动的角度g +b =90，a+b =90，g =a 即O滚动经过顶点A1自身转动的角度恰好等于顶点A1的一个外角 3分对于顶点是锐角或直角的情况，类似可证（注：只证明直角的情况，只给2分） 凸n边形的外角和为360， O滚动经过n个顶点自身又转动了一圈3分 O自身转动了两圈(2) O自身转动的圈数是圈 3分18(14分)解：(1) 该二次函数图象的顶点P是在某条抛物线上 2分求该抛物线的函数表达式如下： 利用配方，得y=(x+m+1)2，顶点坐标是P(，)2分方法一：分别取m=0，1，得到三个顶点坐标是P1(，0)、P2(0，2)、 P3(，)，过这三个顶点的二次函数的表达式是y=+x+2 3分将顶点坐标P(，)代入y=x2+x+2的左右两边，左边=，右边=)2+()+2=， 左边=右边即无论m取何值，顶点P都在抛物线y=+x+2上即所求抛物线的函数表达式是y=+x+23分（注：如果没有“左边=右边”的证明，那么解法一最多只能得4分）方法二：令=x，将m=代入，得)23()=+x+23分即所求抛物线的函数表达式是y=+x+2上 3分(2) 如果顶点P(，)在直线y=x+1上，则=+1， 2分即 m=0或 m=当直线y=x+1经过二次函数y=x2+2(m+1)x+1图象的顶点P时，m的值是或0 2分2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题（2006年4月2日 下午1：003：00）得 分评卷人一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的请将正确选项的代号填入题后的括号里不填、多填或错填均得零分）1 5个相异自然数的平均数为12，中位数为17，这5个自然数中最大一个的可能值的最大值是（ ）ADBC（第2题）（A）21 （B）22 （C）23 （D）242 如图，长方形ABCD恰好可分成7个形状大小相同的小长方形，如果小长方形的面积是3，则长方形ABCD的周长是（ ）（A）17 （B）18 （C）19 （D）3设0k1，关于x的一次函数，当1x2时的最大值是（ ）（A）k （B） （C） （D）4钟面上的112这12个数字把圆周12等分，以其中任意4个等分点为顶点作四边形，其中矩形的个数是（ ）（A）10个 （B）14个 （C）15个 （D）30个5平面直角坐标系中，如果把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，那么函数的图象上整点的个数是 （ ）（A）2个 （B）4个 （C）6个 （D）8个6用标有1克，2克，6克，26克的法码各一个，在一架无刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置法码，那么可以称出的不同克数（正整数的重物）的种数共有（ ）（A）15种 （B）23种 （C）28种 （D）33种得 分评卷人二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）ABOPC（第8题）7三个实数按从小到大排列为，把其中每两个数作和得到三个数分别是14，17，33，则= 8如图，AB为半O的直径，C为半圆弧的三等分点，过B，C两点的半O的切线交于点P，若AB的长是2a，则PA的长是 ABCDPE（第10题）9函数的最小值是 10在正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE=10，EC=14，点P是BD上的一动点，则PE+PC的最小值是 11某商店出售A、B、C三种生日贺卡，已知A种贺卡每张0.5元，B种贺卡每张1元，C种贺卡每张2.5元营业员统计3月份的经营情况如下：三种贺卡共售出150张，营业收入合计180元则该商店3月份售出的C种贺卡至少有 张12有一个英文单词由5个字母组成，如果将26个英文字母a，b，c，y，z按顺序依次对应0到25这26个整数，那么这个单词中的5个字母对应的整数按从左到右的顺序分别为x1，x2，x3，x4，x5已知x1+3x2，4x2，x3+2x4,，5x4，6x4+x5 除以26所得的余数分别为15，6，20，9，9则该英文单词是 三、解答题（共4小题，满分54分）得 分评卷人13（本题满分12分）某列从上海到温州的火车，包括起始和终点在内共有6个停靠站，将这6个站按火车到达的先后次序，依次记为A，B，C，D，E，F小张乘坐这趟列车从上海出发去温州，火车驶离上海时，小张发现他乘坐的车厢里连他自己在内共19名旅客，这些旅客小张都认识，其中有些是浙江人，其他的都是上海人一路上小张观测到下列情况：除了终点站，在每一站，当火车到达时这节车厢里浙江人的人数与下车旅客的人数相同，且这次行程中没有新的旅客进入这节车厢；当火车离开车站B时，车厢里有12名旅客；当火车离开车站D时，还有7名旅客在这一车厢里；在F站下车的旅客包括小张在内共5人（1）火车驶离上海时，小张乘坐的这节车厢里共有多少浙江人？多少上海人？（2）在B到C、C到D、D到E的旅途中，分别有多少浙江人？多少上海人？得 分评卷人14（本题满分12分）BACMNPEF如图，M、N、P分别为ABC三边AB、BC、CA的中点，BP与MN、AN分别交于E、F， （1）求证：BF=2FP；（2）设ABC的面积为S，求NEF的面积得 分评卷人15（本题满分15分）设 是整数，且满足下列条件： -12，n=1，2，3，2006；求 的最小值和最大值得 分评卷人16（本题满分15分）一只青蛙在平面直角坐标系上从点（1，1）开始，可以按照如下两种方式跳跃：能从任意一点（a，b），跳到点（2a，b）或（a，2b）；对于点（a，b），如果ab，则能从（a，b）跳到（ab，b）；如果ab，则能从（a，b）跳到（a，ba）例如，按照上述跳跃方式，这只青蛙能够到达点（3，1），跳跃的一种路径为：（1，1）（2，1）（4，1）（3，1）请你思考：这只青蛙按照规定的两种方式跳跃，能到达下列各点吗？如果能，请分别给出从点（1，1）出发到指定点的路径；如果不能，请说明理由（）（3,5）；（）（12，60）；（3）（200，5）；（4）（200，6）2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题参考答案一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）1答案：D解：设这5个自然数从小到大排列依次为x1，x2，x3，x4，x5，则x3=17当这5个自然数中最大一个x5的可能值最大时，其他3个自然数必取最小的可能值，x1=0，x2=1，x4=18，此时x5=242答案：C解：设小长方形的长、宽分别为x，y，则3 x = 4 y， ，x =2 长方形ABCD的周长为193答案：A解：， 0k1， 0，该一次函数的值随x的增大而减小，当1x2时，最大值为4答案：C解：连结圆周上12个等分点，得6条直径，以其中任意两条为对角线的四边形即为矩形，共15个矩形5答案：C解：将函数表达式变形，得， x，y都是整数， 也是整数 或 或 或 或 或 解得整点为（13，1），（-12，0），（1，13），（0，-12），（3，3），（-2，-2）6答案：C解：（1）当天平的一端放1个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有1克，2克，6克，26克；（2）当天平的一端放2个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有3克，7克，8克，27克， 28克，32克；（3）当天平的一端放3个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有9克，29克，33克，34克；（4）当天平的一端放4个砝码时，可以称量重物的克数有35克（5）当天平的一端放1个砝码，另一端也放1个砝码时，可以称量重物的克数有1克，4克，5克，20克，24克，25克；（6）当天平的一端放1个砝码，另一端放2个砝码时，可以称量重物的克数有3克，5克，7克，18克，19克，21克，22克，23克，25克，27克，30克，31克；（7）当天平的一端放1个砝码，另一端放3个砝码时，可以称量重物的克数有17 克，23克，31克，33克；（8）当天平的一端放2个砝码，另一端也放2个砝码时，可以称量重物的克数有19克，21克，29克ABOPC（第8题）去掉重复的克数后，共有28种二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）7答案：15解： ， ，xyO（第9题）8答案：解：连结OC，OP，则OCP=90，COP=60，OC = a， PC =，PB =PC =，PA =9答案：解：y =其图象如图，由图象可知，当x = 0时，y最小为 -110答案：26解：连结AP，则PE+PC=PE+PA，当点P在AE上时，其值最小，最小值为11答案：20解：设A、B、C三种贺卡售出的张数分别为x，y，z，则 消去y得，由，得12答案：right，evght解：由题意得，（为非负整数）由025，可分析得出，三、解答题（共4题，满分54分）13(12分)解：（1）由条件得，在B站有7人下车， 19名旅客中有7位浙江人，即火车驶离上海时，车厢里有7个浙江人，12个上海人 2分（2）在E站有2人下车，即在DE途中有2个浙江人，5个上海人， 2分从而CD途中至少有2位浙江人，在D站至少有2人下车， 2分 C站后车厢里至少有9个人 火车离开B站时车厢里有12人，离开D站时有7人， 在C站至少有3人下车，即经