工程数学-线性代数第五版答案第四章.doc

第四章向量组的线性相关性 1. 已知向量组 A: a1=(0, 1, 2, 3)T, a2=(3, 0, 1, 2)T, a3=(2, 3, 0, 1)T; B: b1=(2, 1, 1, 2)T, b2=(0, -2, 1, 1)T, b3=(4, 4, 1, 3)T, 证明B组能由A组线性表示, 但A组不能由B组线性表示. 证明 由 知R(A)=R(A, B)=3, 所以B组能由A组线性表示. 由 知R(B)=2. 因为R(B)R(B, A), 所以A组不能由B组线性表示. 2. 已知向量组 A: a1=(0, 1, 1)T, a2=(1, 1, 0)T; B: b1=(-1, 0, 1)T, b2=(1, 2, 1)T, b3=(3, 2, -1)T, 证明A组与B组等价. 证明 由,知R(B)=R(B, A)=2. 显然在A中有二阶非零子式, 故R(A)2, 又R(A)R(B, A)=2, 所以R(A)=2, 从而R(A)=R(B)=R(A, B). 因此A组与B组等价. 3. 已知R(a1, a2, a3)=2, R(a2, a3, a4)=3, 证明 (1) a1能由a2, a3线性表示; (2) a4不能由a1, a2, a3线性表示. 证明 (1)由R(a2, a3, a4)=3知a2, a3, a4线性无关, 故a2, a3也线性无关. 又由R(a1, a2, a3)=2知a1, a2, a3线性相关, 故a1能由a2, a3线性表示. (2)假如a4能由a1, a2, a3线性表示, 则因为a1能由a2, a3线性表示, 故a4能由a2, a3线性表示, 从而a2, a3, a4线性相关, 矛盾. 因此a4不能由a1, a2, a3线性表示. 4. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T, (2, 1, 0)T, (1, 4, 1)T; (2) (2, 3, 0)T, (-1, 4, 0)T, (0, 0, 2)T. 解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A. 因为 , 所以R(A)=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关. (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B. 因为 , 所以R(B)=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关. 5. 问a取什么值时下列向量组线性相关？ a1=(a, 1, 1)T, a2=(1, a, -1)T, a3=(1, -1, a)T. 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A. 由 知, 当a=-1、2时, R(A)3, 此时向量组线性相关. 6. 设a1, a2线性无关, a1+b, a2+b线性相关, 求向量b用a1, a2线性表示的表示式. 解 因为a1+b, a2+b线性相关, 故存在不全为零的数l1, l2使 l1(a1+b)+l2(a2+b)=0, 则因a1, a2线性无关,故，不然，由上式得。矛盾。由此得 , 7. 设a1, a2线性相关, b1, b2也线性相关, 问a1+b1, a2+b2是否一定线性相关？试举例说明之. 解 不一定. 例如, 当a1=(1, 2)T, a2=(2, 4)T, b1=(-1, -1)T, b2=(0, 0)T时, 有 a1+b1=(1, 2)T+b1=(0, 1)T, a2+b2=(2, 4)T+(0, 0)T=(2, 4)T, 而a1+b1, a2+b2的对应分量不成比例, 是线性无关的. 8. 举例说明下列各命题是错误的: (1)若向量组a1, a2, , am是线性相关的, 则a1可由a2, , am线性表示. 解 设a1=e1=(1, 0, 0, , 0), a2=a3= =am=0, 则a1, a2, , am线性相关, 但a1不能由a2, , am线性表示. (2)若有不全为0的数l1, l2, , lm使l1a1+ +lmam+l1b1+ +lmbm=0成立, 则a1, a2, , am线性相关, b1, b2, , bm亦线性相关. 解 有不全为零的数l1, l2, , lm使l1a1+ +lmam +l1b1+ +lmbm =0,原式可化为l1(a1+b1)+ +lm(am+bm)=0. 取a1=e1=-b1, a2=e2=-b2, , am=em=-bm, 其中e1, e2, , em为单位坐标向量, 则上式成立, 而a1, a2, , am和b1, b2, , bm均线性无关. (3)若只有当l1, l2, , lm全为0时, 等式l1a1+ +lmam+l1b1+ +lmbm=0才能成立, 则a1, a2, , am线性无关, b1, b2, , bm亦线性无关. 解 由于只有当l1, l2, , lm全为0时, 等式由l1a1+ +lmam+l1b1+ +lmbm =0成立, 所以只有当l1, l2, , lm全为0时, 等式l1(a1+b1)+l2(a2+b2)+ +lm(am+bm)=0成立. 因此a1+b1, a2+b2, , am+bm线性无关.取a1=a2= =am=0, 取b1, , bm为线性无关组, 则它们满足以上条件, 但a1, a2, , am线性相关. (4)若a1, a2, , am线性相关, b1, b2, , bm亦线性相关, 则有不全为0的数, l1, l2, , lm使l1a1+ +lmam=0, l1b1+ +lmbm=0同时成立. 解 a1=(1, 0)T, a2=(2, 0)T, b1=(0, 3)T, b2=(0, 4)T, l1a1+l2a2 =0l1=-2l2,l1b1+l2b2 =0l1=-(3/4)l2,l1=l2=0, 与题设矛盾. 9. 设b1=a1+a2, b2=a2+a3, b3=a3+a4, b4=a4+a1, 证明向量组b1, b2, b3, b4线性相关. 证明 由已知条件得 b1-b2+b3-b4=0, 向量组b1, b2, b3, b4线性相关. 10. 设b1=a1, b2=a1+a2, , br =a1+a2+ +ar, 且向量组a1, a2, , ar线性无关, 证明向量组b1, b2, , br线性无关. 证明 已知的r个等式可以写成,上式记为B=AK. 因为|K|=10, K可逆, 所以R(B)=R(A)=r, 从而向量组b1, b2, , br线性无关. 11. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组: (1)a1=(1, 2, -1, 4)T, a2=(9, 100, 10, 4)T, a3=(-2, -4, 2, -8)T; 解由 , 知R(a1, a2, a3)=2. 因为向量a1与a2的分量不成比例, 故a1, a2线性无关, 所以a1, a2是一个最大无关组. (2)a1T=(1, 2, 1, 3), a2T=(4, -1, -5, -6), a3T=(1, -3, -4, -7). 解 由, 知R(a1T, a2T, a3T)=R(a1, a2, a3)=2. 因为向量a1T与a2T的分量不成比例, 故a1T, a2T线性无关, 所以a1T, a2T是一个最大无关组. 12. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组: (1); 解 =,所以是一个最大无关组. (2). 解 =,所以是一个最大无关组. 13. 设向量组(a, 3, 1)T, (2, b, 3)T, (1, 2, 1)T, (2, 3, 1)T的秩为2, 求a, b. 解 设a1=(a, 3, 1)T, a2=(2, b, 3)T, a3=(1, 2, 1)T, a4=(2, 3, 1)T. 因为, 而R(a1, a2, a3, a4)=2, 所以a=2, b=5. 14. 设a1, a2, , an是一组n维向量, 已知n维单位坐标向量e1, e2, , en能由它们线性表示, 证明a1, a2, , an线性无关. 证 因为e1, e2, , en能由a1, a2, , an线性表示, 所以R(e1, e2, , en)R(a1, a2, , an),而R(e1, e2, , en)=n, R(a1, a2, , an)n, 所以R(a1, a2, , an)=n, 从而a1, a2, , an线性无关. 15. 设a1, a2, , an是一组n维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是: 任一n维向量都可由它们线性表示. 证明 必要性: 设a为任一n维向量. 因为a1, a2, , an线性无关, 而a1, a2, , an, a是n+1个n维向量, 是线性相关的, 所以a能由a1, a2, , an线性表示, 且表示式是唯一的. 充分性: 已知任一n维向量都可由a1, a2, , an线性表示, 故单位坐标向量组e1, e2, , en能由a1, a2, , an线性表示, 于是有n=R(e1, e2, , en)R(a1, a2, , an)n,即R(a1, a2, , an)=n, 所以a1, a2, , an线性无关. 16. 设向量组a1, a2, , am线性相关, 且a10, 证明存在某个向量ak (2km), 使ak能由a1, a2, , ak-1线性表示. 证明 因为a1, a2, , am线性相关, 所以存在不全为零的数l1, l2, , lm, 使l1a1+l2a2+ +lmam=0,而且l2, l3, , lm不全为零. 这是因为, 如若不然, 则l1a1=0, 由a10知l1=0, 矛盾. 按足标从大到小考察上式中系数，设其第一个不为零的数为，使lk0, lk+1=lk+2= =lm=0,于是 l1a1+l2a2+ +lkak=0,ak=-(1/lk)(l1a1+l2a2+ +lk-1ak-1),即ak能由a1, a2, , ak-1线性表示. 17. 设向量组B: b1, , br能由向量组A: a1, , as线性表示为(b1, , br)=(a1, , as)K, 其中K为sr矩阵, 且A组线性无关. 证明B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)=r. 证明令B=(b1, , br), A=(a1, , as), 则有B=AK. 必要性: 设向量组B线性无关. 由向量组B线性无关及矩阵秩的性质, 有 r=R(B)=R(AK)minR(A), R(K)R(K), 及 R(K)minr, sr.因此R(K)=r.充分性: 因为R(K)=r,要证组线性无关。由于 从而b1, , br线性无关. 18. 设,证明向量组a1, a2, , an与向量组b1, b2, , bn等价. 证明 将已知关系写成,将上式记为B=AK. 因为,所以K可逆, 故有A=BK -1. 由B=AK和A=BK -1可知向量组a1, a2, , an与向量组b1, b2, , bn可相互线性表示. 因此向量组a1, a2, , an与向量组b1, b2, , bn等价. 19. 已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A3x=3Ax-A2x, 且向量组x, Ax, A2x线性无关. (1)记P=(x, Ax, A2x), 求3阶矩阵B, 使AP=PB; 解 因为 AP=A(x, Ax, A2x) =(Ax, A2x, A3x) =(Ax, A2x, 3Ax-A2x) , 所以. (2)求|A|. 解 则,故。 20. 求下列齐次线性方程组的基础解系: (1); 解对系数矩阵进行初等行变换, 有 , 于是得 . 取(x3, x4)T=(4, 0)T, 得(x1, x2)T=(-16, 3)T; 取(x3, x4)T=(0, 4)T, 得(x1, x2)T=(0, 1)T. 因此方程组的基础解系为 x1=(-16, 3, 4, 0)T, x2=(0, 1, 0, 4)T. (2). 解 对系数矩阵进行初等行变换, 有 , 于是得 . 取(x3, x4)T=(19, 0)T, 得(x1, x2)T=(-2, 14)T; 取(x3, x4)T=(0, 19)T, 得(x1, x2)T=(1, 7)T. 因此方程组的基础解系为 x1=(-2, 14, 19, 0)T, x2=(1, 7, 0, 19)T. (3)nx1 +(n-1)x2+ +2xn-1+xn=0. 解 原方程组即为xn=-nx1-(n-1)x2- -2xn-1. 取x1=1, x2=x3= =xn-1=0, 得xn=-n; 取x2=1, x1=x3=x4= =xn-1=0, 得xn=-(n-1)=-n+1; ; 取xn-1=1, x1=x2= =xn-2=0, 得xn=-2. 因此方程组的基础解系为 x1=(1, 0, 0, , 0, -n)T, x2=(0, 1, 0, , 0, -n+1)T, , xn-1=(0, 0, 0, , 1, -2)T. 21. 设, 求一个42矩阵B, 使AB=0, 且R(B)=2.解 设，因故线性无关。又，得。显然B的两个列向量应是方程组的两个线性无关的解向量. 因为 , 故，于是的基础解系所含向量的个数为。而方程组的任意两个线性无关的解向量均为它的一个基础解系，于是下面我们求出的一个基础解系记为。所以与方程组同解方程组为 . 取(x3, x4)T=(8, 0)T, 得(x1, x2)T=(1, 5)T; 取(x3, x4)T=(0, 8)T, 得(x1, x2)T=(-1, 11)T. 方程组AB=0的基础解系为 b1=(1, 5, 8, 0)T, b2=(-1, 11, 0, 8)T. 因此所求矩阵为. 22. 求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为x1=(0, 1, 2, 3)T , x2=(3, 2, 1, 0)T . 解 显然原方程组的通解为, 即, (k1, k2R), 消去k1, k2得,此即所求的齐次线性方程组. 23. 设四元齐次线性方程组 I: , II: . 求: (1)方程I与II的基础解系; (2) I与II的公共解. 解 (1)由方程I得. 取(x3, x4)T=(1, 0)T, 得(x1, x2)T=(0, 0)T; 取(x3, x4)T=(0, 1)T, 得(x1, x2)T=(-1, 1)T. 因此方程I的基础解系为 x1=(0, 0, 1, 0)T, x2=(-1, 1, 0, 1)T. 由方程II得. 取(x3, x4)T=(1, 0)T, 得(x1, x2)T=(0, 1)T; 取(x3, x4)T=(0, 1)T, 得(x1, x2)T=(-1, -1)T. 因此方程II的基础解系为 x1=(0, 1, 1, 0)T, x2=(-1, -1, 0, 1)T. (2) I与II的公共解就是方程 III: 的解. 因为方程组III的系数矩阵 , 所以与方程组III同解的方程组为 . 取x4=1, 得(x1, x2, x3)T=(-1, 1, 2)T, 方程组III的基础解系为 x=(-1, 1, 2, 1)T. 因此I与II的公共解为x=c(-1, 1, 2, 1)T, cR. 24. 设n阶矩阵A满足A2=A, E为n阶单位矩阵, 证明R(A)+R(A-E)=n. 证明 因为A(A-E)=A2-A=A-A=0, 由矩阵的秩的性质8知，R(A)+R(A-E)n. 又R(A-E)=R(E-A), 可知R(A)+R(A-E)=R(A)+R(E-A)R(A+E-A)=R(E)=n,由此R(A)+R(A-E)=n. 25. 设A为n阶矩阵(n2), A*为A的伴随阵, 证明. 证明 (1)当R(A)=n时, |A|0, 故有 |AA*|=|A|E|=|A|0, |A*|0, 所以R(A*)=n.(2)当R(A)=n-1时, 由矩阵秩的定义中至少有一个阶子式不为零，也即中至少有一个元素不为零，故。另一方面，因R(A)=n-1有|A|=0, 由 AA*=|A|E=0,由矩阵的秩的性质8， .把R(A)=n-1代入上式得。 综合两方面有（3）当R(A)n-2时,由矩阵的秩的定义知 A的所有阶子式即 的任一元素均为零，故A*=O, 从而R(A*)=0. 26. 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系: (1); 解 对增广矩阵进行初等行变换, 有. 与所给方程组同解的方程为. 当x3=0时, 得所给方程组的一个解h=(-8, 13, 0, 2)T. 与对应的齐次方程组同解的方程为. 当x3=1时, 得对应的齐次方程组的基础解系x=(-1, 1, 1, 0)T. (2). 解 对增广矩阵进行初等行变换, 有 . 与所给方程组同解的方程为. 当x3=x4=0时, 得所给方程组的一个解h=(1, -2, 0, 0)T. 与对应的齐次方程组同解的方程为. 分别取(x3, x4)T=(1, 0)T, (0, 1)T, 得对应的齐次方程组的基础解系x1=(-9, 1, 7, 0)T. x2=(1, -1, 0, 2)T. 27. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, 已知h1, h2, h3是它的三个解向量. 且h1=(2, 3, 4, 5)T, h2+h3=(1, 2, 3, 4)T,求该方程组的通解. 解 记，由于方程组中未知数的个数是4, 系数矩阵的秩为, 所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个解向量, 因此的任何一个非零解均为其一个基础解系。 由，知为的一个基础解系, 故的通解: x=k(3, 4, 5, 6)T+(2, 3, 4, 5)T, (kR). 28. 设有向量组A: a1=(a, 2, 10)T, a2=(-2, 1, 5)T, a3=(-1, 1, 4)T, 及b=(1, b, -1)T, 问a, b为何值时 (1)向量b不能由向量组A线性表示; (2)向量b能由向量组A线性表示, 且表示式唯一; (3)向量b能由向量组A线性表示, 且表示式不唯一, 并求一般表示式. 解 . (1)当a=-4, b0时, R(A)R(A, b), 此时向量b不能由向量组A线性表示. (2)当a-4时, R(A)=R(A, b)=3, 此时向量组a1, a2, a3线性无关, 而向量组a1, a2, a3, b线性相关, 故向量b能由向量组A线性表示, 且表示式唯一. (3)当a=-4, b=0时, R(A)=R(A, b)=2, 此时向量b能由向量组A线性表示, 且表示式不唯一. 当a=-4, b=0时, 方程组(a3, a2, a1)x=b的解为 , cR. 因此 b=(2c+1)a3+(-3c-1)a2+ca1, 即 b= ca1+(-3c-1)a2+(2c+1)a3, cR. 29. 设a=(a1, a2, a3)T, b=(b1, b2, b3)T, c=(c1, c2, c3)T, 证明三直线 l1: a1x+b1y+c1=0, l2: a2x+b2y+c2=0, (ai2+bi20, i=1, 2, 3) l3: a3x+b3y+c3=0,相交于一点的充分必要条件为: 向量组a, b线性无关, 且向量组a, b, c线性相关. 证明 三直线相交于一点的充分必要条件为方程组, 即有唯一解. 上述方程组可写为xa+yb=-c. 因此三直线相交于一点的充分必要条件为c能由a, b唯一线性表示, 而c能由a, b唯一线性表示的充分必要条件为向量组a, b线性无关, 且向量组a, b, c线性相关. 30. 设矩阵A=(a1, a2, a3, a4), 其中a2, a3, a4线性无关, a1=2a2- a3. 向量b=a1+a2+a3+a4, 求方程Ax=b的通解. 解 由b=a1+a2+a3+a4知h=(1, 1, 1, 1)T是方程Ax=b的一个解. 由a1=2a2- a3得a1-2a2+a3=0, 知x=(1, -2, 1, 0)T是Ax=0的一个解. 由a2, a3, a4线性无关，线性相关，知,故 故方程Ax=b所对应的齐次方程Ax=0的基础解系中含一个解向量.因此的任何一个非零解均为其一个基础解系。因此x=(1, -2, 1, 0)T是方程Ax=0的一个基础解系. 方程Ax=b的通解为x=c(1, -2, 1, 0)T+(1, 1, 1, 1)T, cR. 31. 设h*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解, x1, x2, , xn-r ,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系, 证明: (1)h*, x1, x2, , xn-r线性无关; (2)h*, h*+x1, h*+x2, , h*+xn-r线性无关. 证明 (1)反证法, 假设h*, x1, x2, , xn-r线性相关. 因为x1, x2, , xn-r线性无关, 而h*, x1, x2, , xn-r线性相关, 所以h*可由x1, x2, , xn-r线性表示, 且表示式是唯一的, 这说明h*也是齐次线性方程组的解, 矛盾. (2)显然向量组h*, h*+x1, h*+x2, , h*+xn-r与向量组h*, x1, x2, , xn-r可以相互表示, 故这两个向量组等价, 而由(1)知向量组h*, x1, x2, , xn-r线性无关, 所以向量组h*, h*+x1, h*+x2, , h*+xn-r也线性无关. 32. 设h1, h2, , hs是非齐次线性方程组Ax=b的s个解, k1, k2, , ks为实数, 满足k1+k2+ +ks=1. 证明x=k1h1+k2h2+ +kshs也是它的解. 证明 因为h1, h2, , hs都是方程组Ax=b的解, 所以 Ahi=b (i=1, 2, , s), 从而 A(k1h1+k2h2+ +kshs)=k1Ah1+k2Ah2+ +ksAhs =(k1+k2+ +ks)b=b. 因此x=k1h1+k2h2+ +kshs也是方程的解. 33. 设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r, h1, h2, , hn-r+1是它的n-r+1个线性无关的解. 试证它的任一解可表示为x=k1h1+k2h2+ +kn-r+1hn-r+1, (其中k1+k2+ +kn-r+1=1). 证明因为h1, h2, , hn-r+1均为Ax=b的解, 所以x1=h2-h1, x2=h3-h1, , xn-r=h n-r+1-h1均为Ax=b的解. 用反证法证: x1, x2, , xn-r线性无关. 设它们线性相关, 则存在不全为零的数l1, l2, , ln-r, 使得 l1x1+ l2x2+ + l n-r x n-r=0,即 l1(h2-h1)+ l2(h3-h1)+ + l n-r(hn-r+1-h1)=0,亦即 -(l1+l2+ +ln-r)h1+l1h2+l2h3+ +l n-rhn-r+1=0,由h1, h2, , hn-r+1线性无关知 -(l1+l2+ +ln-r)=l1=l2= =ln-r=0,矛盾. 因此x1, x2, , xn-r线性无关. x1, x2, , xn-r为Ax=b的一个基础解系. 设x为Ax=b的任意解, 则x-h1为Ax=0的解, 故x-h1可由x1, x2, , xn-r线性表出, 设 x-h1=k2x1+k3x2+ +kn-r+1xn-r =k2(h2-h1)+k3(h3-h1)+ +kn-r+1(hn-r+1-h1), x=h1(1-k2-k3 -kn-r+1)+k2h2+k3h3+ +k n-r+1hn-r+1. 令k1=1-k2-k3 -kn-r+1, 则k1+k2+k3 -kn-r+1=1, 于是 x=k1h1+k2h2+ +kn-r+1hn-r+1. 34. 设V1=x=(x1, x2, , xn)T | x1, , xnR满足x1+x2+ +xn=0,V2=x=(x1, x2, , xn)T | x1, , xnR满足x1+x2+ +xn=1,问V1, V2是不是向量空间？为什么？ 解 V1是向量空间, 因为任取 a=(a1, a2, , an)T V1, b=(b1, b2, , bn)T V1, lR,有 a1+a2+ +an=0, b1+b2+ +bn=0, 从而 (a1+b1)+(a2+b2)+ +(an+bn) =(a1+a2+ +an)+(b1+b2+ +bn)=0, la1+la2+ +lan=l(a1+a2+ +an)=0,所以 a+b=(a1+b1, a2+b2, , an+bn)TV1, la=(la1, la2, , lan)T V1. V