数学建模大赛获奖论文-关于企业退休职工养老金制度改革的研究.doc

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛关于企业退休职工养老金制度改革的研究摘 要养老金又称为退休金，是退休职工生活的依靠。近年来随着我国经济的快速发展，养老金问题已经逐渐从单一的经济问题转变为政治、金融等互相关联的问题，它在一定程度上反映我国政府对退休职工所采取的政策，反映我国人口老龄化的实况，同时也是实现我国经济发展战略目标的一个重要的指标。我国现在养老保险改革正处于过渡期，养老保险金管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。我国人口基数大，人口增长曲线已经越过刘易斯点,这也是造成人口老龄化加速的重要原因。养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系，工资的增长又与经济增长相关。因此，未来退休金的增长也会随着工资的增长等比例增加，退休金也是增长的。为了使我们的模型更加准确，我们结合了中国的具体国情，引入福利经济学、宏观经济学和人口学的相关理论，用人均国民生产总值的增长情况来预测未来中国经济发展状况。对于问题一,我们结合中国经济发展情况，利用支出法计算GDP，得到含有劳动报酬的函数方程式。进而通过Matlab软件拟绘出了附件1提供的山东省职工年平均工资的增长曲线，通过拟合的函数方程，得到了2011年2035年山东省职工的年平均工资具体数值，并通过SPSS软件对所求的数据进行回归分析，与结果符合很好，即从山东省的情况来看我国人均国民生产总值确实能够在21世纪中叶时达到中等发达国家的水平。针对问题二，我们结合问题一中所提到缴费指数参考值，计算出工资平均增长率为8%，针对职工在不同年龄段所缴养老保险金及缴纳年限建立模型，进行数据分析得到了30岁时开始缴纳养老金，到55岁、60岁、65岁退休时替代率：34.4%、41.8%、48.6%；40岁时开始缴纳养老金，到55岁、60岁、65岁退休时替代率： 36.1%、43.1%、58.5%。在问题三中我们利用问题一和问题二的数据和结论，进行计算分析得出：30岁时开始缴纳退休养老金，到55岁、60岁、65岁资金缺口：402636元、437378元、262276元；40岁时开始缴纳退休养老金，到55岁、60岁、65岁资金缺口：180900元、167263元、279241元。计算出该职工30岁起缴纳养老金，领取养老金到66、69、73岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡，而40岁起缴纳养老金，领取养老金到64、69、71岁时，达到收支平衡。对于问题四：企业退休养老保险金收支平衡是由多种情况决定的，为了简单化处理，我们在建立养老保险基金的数学模型时，重点考虑了替代率对收支平衡的影响，结合中国的国情对其他因素也进行了简单分析，并且提出了模型改进的意见。 关键词：SPSS软件、刘易斯点、回归分析、动态合意替代率、平衡模型一、问题重述我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式。这两个账户我们合称为养老保险基金。退休后，按缴费指数，再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出资金，加上个人工资账户中一定比例的资金，作为退休后每个月的养老金。养老金会随着社会平均工资的调整而调整。个人账户储存额，利率统一设定为3%。养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系；工资的增长又与经济增长相关。养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%。替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。我们根据附件1、2、3准备求解以下问题：一：对未来中国经济发展和工资增长的形式做出简化、合理的假设，参考附件1，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。二：根据附件2计算出2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。并把这些比值看作职工缴费指数的参考值，计算该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。三：如果该企业某职工自 2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休，并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，我们给出了较为合理的解决的措施。二、问题分析养老金也称退休金企业退休养老保险金制度是社会主义保障体系中重要的组成部分，是一种根据劳动者对社会所作贡献及其所具备享受养老保险的资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。对企业退休养老金制度的探究有很好的研究价值和对建设社会主以和谐社会及实现经济的可持续发展有积极和重大的意义。三、模型假设1. 假设我国经济发展平稳，在未来的几十年内没有大的变动；2. 评价中等发达国家国民生产总值（GDP）的标准为8000美元，并为定值；3. 人民币与美元汇率是6.3元，为基准价并且以每年4%的速度升值，不出现变化；4. 排除经济危机等不确定因素，借鉴于上一次全球经济危机中中国经济的表现从而确定中国经济增长速率为8%，该值为恒定值；5. 中国的企业退休职工养老金制度及计算方法不变；6. 问题中得到的数据正确；7. 假设计算平均工资时设1978年为第一年，其它问题设2000年为第一年。四、符号说明： 职工工作的第一年收入： 缴费率： 职工退休时缴费总数： 所有公式中资金总额： 工资年增长率： 工作年限： 替代率，即职工退休时，每月退休金占退休当月工资的百分比： 山东省企业职工未来的人均年收入： 养老保险费收入： 基础养老金： 个人账户养老金： 计发月数： 本人指数化月平均缴费工资、分别为个人账户存储额、个人账户养老金、社会统筹养老金、基础养老金及所支取的养老金总额。在（1）式中，分别表示就业的平均年龄，退休年龄和退休职工平均死亡年龄；：第年份职工的平均工资： 第年份岁到岁的在职职工人数： 第年份岁到岁的退休职工人数 ：第年份 职工的平均工资 ： 第年份 职工的平均养老金 ： 利息 ： 缴费率： 养老金收支平衡的的目标年数五、模型的建立与求解5.1问题一结合题目要求我们用人均GDP来预测未来中国经济的发展。为了检验我国经济是否能够在21世纪中叶达到中等发达国家水平即人均GDP8000美元，我们用SPSS软件进行了验证，我们假设我国GDP年增长率为8%。Step1：通过SPSS软件作图观察历年人均GNP的曲线走势图，并初步判断其与年份之间的关系。 Step2：建立模型：线性关系为：，为残差项；二次模型：；三次模型：；指数模型：=，其中为各年的人均GNP，为年份（即为=19522002）。Step3：通过SPSS统计软件求得各种模型的修正R2值，方差分析的F值概率，以及F值。Step4：通过比较步骤三的值的大小，选出其中最优模型。Step5：给出2005年人均GNP95%的置信区间并预测2020年的人均GNP值。首先，我们看看其存在是线性关系还是曲线关系，在SPSS软件界面输入数据，通过Graphs-Scatter-Simple作出趋势图，我们建立线性、二次、三次、指数曲线模型进行比较分析：明显看出指数模型曲线拟合度最好，通过SPSS统计软件对各模型进行分析并整理如下：从以上表格中我们发现，Compound（指数模型）的Adjusted R Square=0.900，说明拟合度达到90.0%，其次，方差分析的F值概率小于0.001，且此指数模型的F值为F=450.25，较其他线性、二次、三次的模型大，可得指数模型为：人均GNP=4.49E-070*1.088t（其中为年份），因此此模型为相对最佳模型。 图1 GDP增长率根据附录所给予的数据，我们可以得到自改革开放33年以来，山东省在岗职工的平均月工资的增长曲线。可以通过Excel绘得所求曲线图 2 1978-2010年山东省职工年平均工资曲线通过图表，我们可以假设，自1997年开始，该省平均工资按照一定的增长率进行增长，因此，我们通过数学函数软件Matlab，同个曲线拟合算法，绘制出一条拟合的曲线，并根据这条曲线来拟合出函数。图3 Matlab拟合平均工资曲线在图中，红色点代表拟合的函数曲线，蓝色小圈代表实际的数据。我们发现，拟合的函数图像接近实际的工资增长线，同时发现发现增长曲线接近于一元三次方程的函数。因此通过Matlab拟合函数得到了这个方程的的各项系数。我们得到的方程如下：；通过这个函数，我们运用了C语言的循环求解（见附录1）：得到了一组我们预计的工资额：我们预计的数据如下表所示：年份预计平均工资（元）2011357832012397732013440692014486822015536252016589092017645452018705462019769222020836862021908492022984222023106417202411484720251237212026133053202714285320281531342029163906203017518220311869732032199290203321214620342255512035239518表 1 预计未来25年平均工资5.2问题二：Step1：我们根据附件所提供的各年龄段的职工工资，详细的分析了该企业职工工资的分布情况，我们决定取每个工资段中间值作为该段得到平均工资，很容易求得其数据，根据每个年龄段所在的各个工资段求的这个年龄段的总值，然后就可以求的该年龄段的平均工资，同时根据相同方法求出了该企业的平均工资，我们根据Excel函数计算法则求出了我们要得的数据如下：年龄段20-2425-2930-3435-3940-4445-4950-5455-59平均工资（元）17262076253427513025326731182979表2 该企业各个年龄段平均工资同时得到的还有该企业的平均工资为：2579.732元。Step2：在该企业中，没有60-64岁的企业员工工资信息，但是，在以下结算中，我们多次使用到了该数值，因此我们再次运用了Matlab软件，对各个年龄段的平均工资进行了分析，所做的分析图如下：图 4 Matlab 拟合各个年龄段平均工资曲线我们看出，虽然职工的工资并非按照一定的规律在变化，但是，他基本上遵循了抛物线的规则，在50岁的年龄段上，达到了峰值，所以我们拟合了一个一元二次方程，如下：带入65岁时的数据，我们求得其平均工资为：3002元。Step 3：我们根据第一问所推算的未来25年山东职工平均工资，通过2035年的工资为239518；我们准备推算职工工资的平均增长率：计算公式如下：最后得到职工工资的平均增长率约为8.37%；根据山东省近几年公布的企业工资基准线，该增长率在其合理的范围之内。Step 4：在求得平均工资之后，我们根据附录所给出的本人指数化月平均工资的公式：我们可以提出该公式的公因式c1，便化简公式如下：我们通过“Step 1”得到的各年龄段的职工工资与企业平均工资。求得他们的比值如下：各年龄段平均工资与企业平均工资之比20-24岁0.669225-29岁0.804930-34岁0.982535-39岁1.066740-44岁1.172845-49岁1.266650-54岁1.208755-59岁1.155060-64岁1.1637表2：各年龄段平均工资与企业平均工资之比上面的职工工资与企业工资之比，根据题目要求，决定用此值作为本职工的缴费指数，并分五年为一个年龄段来取值。我们求得了各个年龄段的S的值：以列表形式如下：退休年龄S缴纳年龄556065302559438870564067414114000表3：各个年龄段本人指数化月平均缴费工资Step 5：根据基础养老金=（全省上年度职工平均工资S）；我们代入数据后得到了各个年龄段的基础养老金：30岁开始缴纳时：退休年龄55退休60退休65退休基础养老金（元）23594188685740岁开始缴纳时：退休年龄55退休60退休65退休基础养老金（元）99015804200表 6：各个年龄段的基础养老金Step 6：根据要求，个人账户养老金是当年职工的工资8%的累加和，并且每年附加了3%的利息，我们假设该企业职工工资增长情况符合山东省工资增长线，并计算出，在2000年该企业30岁、40岁职工的平均工资是：1198元与1428元。我们个人账户储存额的计算公式为： 年间社会养老金收支平衡 个人养老金：因此通过此公式，我们求的了的各个阶段的个人账户养老金；他们分别是：退休年龄（岁）55606530岁起缴纳（元）23912634184849365140岁起缴纳（元）87033144598144598表 7：每个阶段的个人账户养老金Step7：根据题目，替代率计算公式为： 我们得到了各个阶段的替代率如表所示：30岁起缴纳40岁起缴纳退休年龄（岁）替代率退休年龄(岁)替代率5534.41%5536.07%6041.84%6043.10%6548.64%6558.47%表 8：各个阶段的替代率5.3问题三Step 1：按照我们所求得的工资增长率，我们计算出，在2000年，该企业的职工工资总额为：解得：=24251891；Step 2：根据已知条件，养老金的领取月数已经确定，养老金的具体数额我们在第二问已经求得。总的养老金数额-养老金基金数额=缺口，如下表所示：30岁开始缴纳40岁开始缴纳退休年龄缺口值退休年龄缺口值554026375518090060437379601672636526227665279241表 9：缺口数额我们发现，不管采用哪种方式，来缴纳养老金，还是都会有缺口的。Step3：所谓达到平衡就是所存储的养老基金总额与所支取的养老金总额相等。因此在支取养老金的时，养老金的变化规律是：通过公式，平衡年龄是：30岁开始缴纳40岁开始缴纳退休年龄达到平衡时年龄退休年龄达到平衡时年龄556655646069606965736571表 10： 平衡年龄、分别为个人账户存储额、个人账户养老金、社会统筹养老金、基础养老金及所支取的养老金总额。5.4问题四5.4.1问题分析经过多年的探所和改革，我国建立了企业退休职工养老保险制度，该制度促进和解放了生产力，为我国经济发展和和谐社会的建立奠定了基础。由于该制度由老的的养老制度转轨而来的。急于求成的制度转轨带来了超重的历史债务。我国职工基本养老保险基金面临的财务危机中，一个主要危机就是偿还历史债务的压力，也就是我们所说的“转制成本”。1995年国务院发布了关于深化企业职工养老保险制度改革的通知，标志着我国企业职工基本养老保险从现收现付制开始向“统账结合”的模式转变。在转制过程中，由于“老人”和“中人”的退休金权益并没有以养老金形式形成积累，于是就出现了“转制成本”。这一历史债务规模到底有多大，目前还存在争议。由于统筹基金无法填补这一缺口，所以我们就采用了混账管理模式，统筹账户挤占个人账户资金，实行个人账户的空账运行。这种空账运行就使得统账结合的新制度又回归到本质上的现收现付制。据专家测算，截止到2002年底，国内养老保险累计的个人空账规模为4800多亿元，如果情况得不到改善，到2033年老龄化高峰期，当期支付缺口将达到4400多亿元，空账规模达14万亿元。 导致这一债务问题出现的主要原因在于我们在自上而下的改革中，采取了急于求成的推进方式。改革前，由于“文革”的破坏，职工养老保险已经退化为单位保障，虽然在“文革”结束后也出台了一些恢复性的制度规定，但是单位自保的状态并没有改变，还未实现社会统筹。另外，对于中老年职工养老金历史欠账问题也还未找到有效的化解办法。在这样的条件下，就从传统的、由单位负责的养老保障现收现付制一步跨入全新的部分积累模式，显然操之过急。尽管新制度的框架符合我国的长期利益，却因缺乏现实政治的、法律的、经济的扎实准备与预案筹划，不仅未能真正解决原有体制下存在的基金不足问题，而且还带来了沉重的转制成本。基金征缴不力导致的新债务。养老保险基金征缴是养老保险制度运行的核心。但基金征缴不足已是不争的事实，这方面的问题主要表现为以下几种情况： 其一，基金征缴中的“打折征收”，导致了“新隐性债务”。目前我国一些地方对社会养老保险缴费采取“优惠征收”、“打折征收”的办法，加上我国在养老保险缴费年限等方面存在的“政策漏洞”，形成新参保人员“缴费少、受益多”的财务失衡状态，“新隐性债务”正在大面积生成。实际是，在国外，养老金保险出现财务危机是一个普变的现象但是由于我国特定的历史和现实原因，该制度仍然有些不完善的地方,已经威胁到我国现行养老保险模式的运行。通过数学模型和数据，我们认为,危机的根源在于制度,根本的对策在于转变建制理念.。养老金的建立最主要的目的是为了保障群众晚年的幸福生活，这就涉及到了替代率问题。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率为58.5%。如果替代率较低，退休职工的生活水准较低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险金收支平衡难维持，可能会出现缺口。为此，我们应该采取诸如政府财政补贴，增加新税额，发行特别国债以及变现部分国有资产等措施，在逐步做实个人账户的同时，还应该借鉴国外发达国家的经验考虑选择适当时机提高我国在职职工的退休年的龄，这样可以减轻养老保险金收支失调的压力还可以减轻人口老龄化带来生产力不足的影响，发挥老年人的余热。根据有关专家的研究结论，如果从现在开始有步骤的将我国男女职工的退休年龄统一提高到2020年时的65岁，将减少养老金隐性债务12.26 %我们从数学的角度，对养老保险收支平衡与替代率及其他影响因素进行分析。替代率使职工最为关心的按照现行的养老保险规定，养老保险金等于个人账户资金的总数除以120.在这里我们设月养老保险退休金为D。则替代率T可化为以下形式T=(L=K)按年计算时：个人缴费数和个人帐户资金数形成两个等比数列（1）和（2）:（1）（2） 由此建立养老金收支平衡基本模型： （1）根据（1）式可以推导出养老金支平衡的条件。假定职工平均工资按工资增长率k逐年增长，即，= （3）另外，再用替代率T表示退休职工平均养老金与在职职工的平均工资之比，即 （4）并假定替代比例在目标期间内保持不变。这就是说，我们是在假定退休职工养老金占职工平均工资一定比例条件下来研究养老金收支平衡问题的。做出这一假定的目的是为是养老金始终保持一个相当于平均工资的的合适比例。把（3）式（4）式代入(1)式，可得出养老金收支平衡的条件表示式 （5）（5）式表示养老金的收支平衡与缴费率，替代率，工资增长率，利息等有关，因此我们可以得出如下结论：养老金收支平衡的实质是要根据一定的缴费率，替代率，工资增长率，银行利息，目标期间，退休年龄及目标期间工人数和退休职工人数的变动求出缴费率的数值。5.4.2影响基金收支平衡的相关变量分析1 缴费率 缴费率表示缴费者的养老金缴费占缴费工资总额的比率。缴费率是平衡养老金收支时应放在首位的考虑因素，是决定养老金收支平衡的关键。缴费率的大小取决于缴费者即企业和职工的承受能力。缴费率较低，缴费者承受负担轻，有利于企业资本的积累，缴费率高，缴费者负担重不利于企业资本的原始积累。企业的积累和发展受影响，国民经济发展水平也难以提高，未来社会保障水平也很难得到提高。因缴费率过高而影响企业和经济的发展。这是得不偿失的，同时也与设立养老保险制度的初衷相违背的。目前我国养老保险缴费率应控制26%28%以下，其中企业交费部分的缴费率应控制在18%20%以下。2 替代率替代率是退休职工平均养老金占职工平均工资的比率。替代比例是影响缴费率高低, 从而影响养老金收支平衡的重要因素。替代率下降所需时间（年）基金首次出现赤字的年份35202830203025203320203715204110表11 养老金替代率影响基金收支平衡分析表注：“”代表未出现的年份退休年龄替代比例（%） （缴费率单位：%）退休年龄（岁）606570758085909510055726.028.230.432.534.736.939.041.243.45824.126.128.230.232.234.236.238.240.25922.324.226.027.929.831.633.535.337.26020.622.324.025.727.429.130.932.634.36119.020.622.223.825.426.928.530.131.76217.518.920.421.823.324.826.227.729.16316.017.318.720.021.322.724.025.326.76414.715.917.118.319.520.822.023.224.46513.414.515.716.817.919.020.121.222.4表219902100年期间缴费率与替代比例、退休年龄的关系我们假定开始就业年龄为一定，退休年龄的规定关系到就业年龄以上人口中在职职工人口和退休职工人口的比重，从而影响抚养比的大小。退休年龄规定较早，则在职职工人口比重减小，反之亦然。退休年龄规定较晚，则抚养比减小，养老负担减轻。表 2的数据可知, 19902100 年目标期间内按70 100%替代比例计算的缴费率为30 43%。可见, 退休年龄过早正是我国养老负担沉重的重要原因。因此, 从长远看, 为了减轻社会养老负担, 退休年龄的延迟势在必行。根据表1 中80%替代比例的数据, 退休年龄从57 岁延迟到65 岁, 缴费率可以从3417%降到1719%, 即降去近一半。退休年龄平均每延迟一年, 缴费率平均可降低211 个百分点。但是延迟退休年龄的主要障碍是我国近二、三十年内就业压力过大。根据我国人口发展预测, 2020 年以前我国1859 岁就业年龄人口仍处于增长阶段, 延迟退休年龄等于是挤掉年轻人的就业机会。因此, 2020 年以前可维持现有退休年龄规定。2020 年以后, 就业年龄人口开始减少, 就业压力减轻, 此时可适当延长退休年龄以减轻缴费者负担。假定退休年龄延迟采取从2020 年起延迟到60 岁和从2050 年起延迟到65 岁的分步延迟办法, 可计算出 19902100 年目标期间在 70 80%替代比例下的缴费率为 21.1524.16%。这个缴费率负担对缴费者来说是比较适中的8。六、模型的评价与改进6.1模型评价模型的优点：该模型结合中国情在预测平均工资与人均国民生产总值(GNP)时考虑了国际经济对起的影响，把中国人口增长率加了进去，利用Spass软件进行了多次检验，提高了模型的准确性和稳定性。并且将一些可以忽略不计或者是对企业养老金影响较小的因素进行了假设，对模型进行了简化。使模型便于推广，具有一般代表性。模型的缺点： 该模型仍然具有一些不足，例如 对我国地域不同经济发展状况不同进行了简单的忽略，从而在某些计算上产生了误差。在一些计算中忽略了缴费率，从而产生了偏差。6.2模型改进由上分析可知,上述因素都对缴费比例的高位产生影响。也就是说,就业年龄低、退休年龄低、缴费基数低于工资总额、收缴率低、养老金替代率高、工资增长率高、基金收益率低,加之隐性债务的存在,使得缴费比例居高不下。而高的缴费比例又将进一步使覆盖面和收缴率降低,从而使基金收入总额减少进而对基金收支平衡产生负面影响。从而使我国的养老基金制度基本上是处在一个“收不抵支缴费比例上升收缴率下降、覆盖面减小依然收不抵支缴费率再上升”的恶性循环的状态。为了扭转这种状况,只有按照系统论的思维方法,综合采取各种有效措施,进一步强化对养老保险基金征缴、运营以及养老金发放的监管,建立适合中国国情的养老保险运行机制,逐步做实个人账户,逐渐消化隐性债务,有计划、分步骤地提高就业年龄、退休年龄,稳定提高基金收益率,适当降低养老金替代率,并在此基础上扩大覆盖面,提高收缴率,才能从根本上解决养老保险基金的收支平衡问题。参考文献：1胡逢云, 姚培勤. 关于建立养老金调整机制的探讨 J. 中国劳动科学, 1995 , 10 : 2612聂明隽. 完善基本养老金正常调整机制的探讨 J. 中国劳动, 1994 , 4 : 241 3辛荣环. 建立基本养老金正常调整机制研究 J. 辽宁经济, 1997 , 11 : 3614 李连友. 略论养老保险给付的调整 J. 湖南商学院学报, 2000 ,