自考高等数学(一)精讲第四章.pdf

自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 1 第四章第四章微分中值定理和导数的应用微分中值定理和导数的应用 4 14 1微分中值定理微分中值定理 费马引理 设函数 y f x 在点的一个邻域上有定义 并在可导 如果 或 则 一 罗尔一 罗尔 Rolle Rolle 定理定理 1 罗尔 Rolle 定理 如果函数 f x 在闭区间 a b 上连续 在开区间 a b 内可导 且在区间端点的函数值相等 即 f a f b 那么在 a b 内至少有一点 使得函数 f x 在该点的导数等于零 即 2 几何解释 在曲线弧 AB 上至少有一点 C 在该点处的切线是水平的 例 1 判断函数 在 1 3 上是否满足罗尔定理条件 若满足 求出它的驻点 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 2 答疑编号 11040101 解满足 在 1 3 上连续 在 1 3 上可导 且 f 1 f 3 0 取 例 2 设 f x x 1 x 2 x 3 x 5 判断有几个实根 并指出这些根所在的区间 答疑编号 11040102 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 3 二 拉格朗日二 拉格朗日 Lagrange Lagrange 中值定理中值定理 1 拉格朗日 Lagrange 中值定理如果函数 f x 在闭区间 a b 上连续 在开区间 a b 内 可导 那么在 a b 内至少有一点 使等式成立 注意 与罗尔定理相比条件中去掉了 f a f b 结论亦可写成 2 几何解释 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 4 在曲线弧 AB 上至少有一点 C 在该点处的切线平行于弦 AB 拉格朗日中值定理又称微分中值定理 例 3 教材 162 页习题 4 1 3 题 2 题 判断 f x sinx 在上是否满足拉格朗日中 值定理 答疑编号 11040103 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 5 推论 1如果函数 f x 在区间 I 上的导数恒为零 那么 f x 在区间 I 上是一个常数 例 4 教材 162 页习题 4 1 4 题 证明 答疑编号 11040104 证设 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 6 又 即 推论 2假设在区间 I 上两个函数 f x 和 g x 的导数处处相等 则 f x 与 g x 至多相差一个 常数 4 24 2洛必达法则洛必达法则 一 一 型及型及型未定式解法 洛必达法则型未定式解法 洛必达法则 1 定义如果当 x a 或 x 时 两个函数 f x 与 F x 都趋于零或都趋于无穷大 那么 极限称为或型未定式 例如 2 定理 设 1 当 x 0 时 函数 f x 及 F x 都趋于零 2 在 a 点的某临域内 点 a 本身可以除外 f x 及 F x 都存在且 F x 0 3 存在 或为无穷大 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 7 那么 3 定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必 达法则 当 x 时 以及 x a x 时 该法则仍然成立 4 例题分析 例 1 求 答疑编号 11040201 解 原式 例 2 求 答疑编号 11040202 例 3 求 答疑编号 11040203 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 8 例 4 求 答疑编号 11040204 例 5 求 答疑编号 11040205 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 9 例 6 答疑编号 11040206 例 7 教材 166 页例 4 求 答疑编号 11040207 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 10 例 8 求 答疑编号 11040208 解 原式 例 9 求 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 11 答疑编号 11040209 解 原式 例 10 求 答疑编号 11040210 例 11 教材 168 页 例 8 求 a 0 答疑编号 11040211 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 12 解 当 x 时 ln x 这是型未定式 用洛必达法则 例 12 求 n 是正整数 答疑编号 11040212 解 这是型未定式 接连用洛必达法则 n 次 得 对于任意的 0 同样可以证明 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 13 二 二 型未定式解法型未定式解法 关键 将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 1 0 型 步骤 或 例 13 求 0 答疑编号 11040213 解 原式 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 14 例 14 求 答疑编号 11040214 例 15 教材 169 页 例 10 求 答疑编号 11040215 解 当 x 时 所以这是 0 型未定式 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 15 2 型 步骤 例 16 求 答疑编号 11040216 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 16 例 17 教材 172 页习题 4 2 3 题 2 题 求 答疑编号 11040217 3 型 步骤 例 18 求 答疑编号 11040218 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 17 解 原式 例 19 答疑编号 11040219 解 原式 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 18 例 20 教材 172 页习题 4 2 4 题 设是连续函数 求 a 答疑编号 11040220 注意 洛必达法则的使用条件是分子分母都有导数 且分母的导数不为 0 导数比的极限存在 例 21 求 答疑编号 11040221 解 原式 洛必达法则失效 原式 4 34 3函数的单调性函数的单调性 一 单调性的判别法一 单调性的判别法 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 19 定理 设函数 y f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 1 如果在 a b 内 f x 0 那么函数 y f x 在 a b 上单调增加 2 如果在 a b 内 f x 0 那么函数 y f x 在 a b 上单调减少 例 1 讨论函数的单调性 答疑编号 11040301 解 二 单调区间求法二 单调区间求法 问题 如上例 函数在定义区间上不是单调的 但在各个部分区间上单调 定义 若函数在其定义域的某个区间内是单调的 则该区间称为函数的单调区间 导数等于零的点和不可导点 可能是单调区间的分界点 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 20 方法 用方程 f x 0 的根及 f x 不存在的点来划分函数 f x 的定义区间 然后判断区间 内导数的符号 注意 函数的单调性是一个区间上的性质 要用导数在这一区间上的符号来判定 而不能用一点 处的导数符号来判别一个区间上的单调性 例 2 求的单调区间 答疑编号 11040302 例 3 确定函数的单调区间 答疑编号 11040303 解 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 21 例 4 确定的单调区间 答疑编号 11040304 利用导数判断函数的单调性的性质可以证明一些不等式 例 5 当 x 0 证明 x ln 1 x 这个不等式成立 答疑编号 11040305 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 22 单调增函数的含义 例 6 证明 当 x 0 时 答疑编号 11040306 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 23 4 54 5函数的极值与最值函数的极值与最值 函数极值的定义 定义设函数 f x 在区间 a b 内有定义 是 a b 内的一个点 如果存在着点的一个邻域 对于这邻域内的任何点 x 除了点外 f x 均成立 就称是函数 f x 的一个极大值 如果存在着点的一个邻域 对于这邻域内的任何点 x 除了点外 f x 均成立 就称是函数 f x 的一个极小值 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 24 函数的极大值与极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 函数极值的求法 定理 1 必要条件 设 f x 在点处具有导数 且在处取得极值 那么必定 f 0 定义使导数为零的点 即方程 f x 0 的实根 叫做函数 f x 的驻点 注意 可导函数 f x 的极值点必定是它的驻点 但函数的驻点却不一定是极值点 如例 7 答疑编号 11040307 注意 函数的不可导点 也可能是函数的极值点 所以 连续函数的极值点必是函数的驻点和不可导点 定理 2 第一充分条件 设函数 f x 在点的一个邻域上连续 在去心邻域 上可导 1 如果 有 f x 0 而 有 f x 0 则 f x 在处 取得极大值 2 如果 有 f x 0 而 有 f x 0 则 f x 在处 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 25 取得极小值 3 如果当及时 f x 符号相同 则 f x 在处无极值 是极值点情形 不是极值点情形 求极值的步骤 1 求定义域 2 求导数 f x 及导数不存在的点 3 求驻点 即方程 f x 0 的根 4 检查 f x 在驻点左右的正负号 判断极值点 5 求极值 例 8 求出函数的极值 答疑编号 11040308 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 26 x 1 1 1 3 3 3 f x 0 0 f x 极大值 极小值 极大值 f 1 10 极小值 f 3 22 定理 3 第二充分条件 设 f x 在 x0 处具有二阶导数 且 f 0 f 0 那么 1 当 f 0 时 函数 f x 在处取得极大值 2 当 f 0 时 函数 f x 在处取得极小值 例 9 求出函数的极值 答疑编号 11040309 解 f x 3 6x 24 3 x 4 x 2 令 f x 0 得驻点 4 2 f x 6x 6 f 4 18 0 故极大值 f 4 60 f 2 18 0 故极小值 f 2 48 例 10 求出函数的极值 答疑编号 11040310 解 当 x 2 时 f x 不存在 但函数 f x 在该点连续 当 x 2 时 f x 0 当 x 2 时 f x 0 f 2 1 为 f x 的极大值 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 27 二 函数的最值二 函数的最值 若函数 f x 在 a b 上连续 除个别点外 处处可导 并且至多有有限个导数为零的点 则 f x 在 a b 上的最大值与最小值存在 步骤 1 求驻点和不可导点 2 求区间端点及驻点和不可导点的函数值 比较大小 大的就是最大值 小的就是最小值 应用举例 例 1 求函数 y 2x 3 3x2 12x 14 的在 3 4 上的最大值与最小值 答疑编号 11040401 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 28 比较得 最大值 f 4 142 最小值 f 1 7 实际问题求最值应注意 1 建立目标函数 2 求最值 若目标函数只有唯一驻点 则该点的函数值即为所求的最大 或最小 值 例 2 由直线 y 0 x 8 及抛物线 y x 2围成一个曲边三角形 在曲边 y x2上求一点使曲线在该点 处的切线与直线 y 0 及 x 8 所围成的三角形面积最大 答疑编号 11040402 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 29 令 解得 舍去 为极大值 故为所有三角形中面积的最大者 补 第三章第六节 导数和微分在经济学中的简单应用 3 3 6 6 1 1 边际分析边际分析 定义 设 y f x 是一个经济函数 其导数 f x 称为 f x 的边际函数 f x0 称为 f x 在点的边际函数值 成本 收入 利润函数的导数称为边际成本 MC 边际收入 MR 边际利润 ML 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 30 例 147 页例 1 已知某产品的产量为 q 件时总成本为 百元 求 q 900 件时的边际成本 答疑编号 11040403 解 即 MC 1 5 当 q 从 900 件改变 增加或减少 1 件时 成本要改变 150 元 3 3 6 6 2 2弹性分析弹性分析 定义 设y f x 是一个经济函数 当经济变量x在点x0改变 x时 经济变量y相应地在y0 f x0 处改变 y f x0 x f x0 如果极限 存在 则称此极限值为 y f x 在点 x0 的弹性 记为 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 31 在任意点的弹性记为 它作为 x 的函数称为 y f x 的弹性函数 例 4 149 页例 3 设 S S p 是市场对某一种商品的供给函数 其中 p 是商品价格 S 是市 场的供给量 则称为供给价格弹性 由于 S 一般随 p 的上升而增加 S p 是单调增加函数 当 p 0 时 S 0 故 0 其意义是 当价格从 p 上升 1 时 市场供给量从 S p 增加个百分数 答疑编号 11040404 例 5 149 页例 4 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 32 答疑编号 11040405 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 33 例 6 07 年 4 月考题 设某商品市场需求量 D 对价格 p 的函数关系为 则 需求价格弹性是 答疑编号 11040406 解 例 7 05 年 1 月考题 已知某厂生产 x 件产品的成本为 问 1 要使平均成本最小 应生产多少件产品 答疑编号 11040407 2 如产品以每件 500 元出售 要使利润最大 应生产多少件产品 答疑编号 11040408 解 1 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 34 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 35 4 44 4曲线的凹凸性和拐点曲线的凹凸性和拐点 曲线凹凸的定义 问题 如何研究曲线的弯曲方向 曲线凹凸的判定 定理 1 如果 f x 在 a b 上连续 在 a b 内具有二阶导数 若在 a b 内 1 f x 0 则 f x 在 a b 上的图形是凹的 2 f x 0 则 f x 在 a b 上的图形是凸的 例 1 判断曲线 y x 3的凹凸性 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 36 答疑编号 11040501 解 当 x 0 时 y 0 曲线在 0 为上凸的 当 x 0 时 y 0 曲线在 0 为上凹的 注意到 点 0 0 是曲线由凸变凹的分界点 曲线的拐点及其求法 1 定义 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点 2 拐点的求法 拐点只可能是二阶导数为零的点以及二阶导数不存在的点 设函数 f x 在 x0的邻域内二阶可导且 f x0 0 或者二阶不可导 1 x0两侧 f x 变号 点 x0 f x0 即为拐点 2 x0两侧 f x 不变号 点 x0 f x0 不是拐点 例 2 求曲线 y 3x 4 4x3 1 的拐点及凹