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2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学 1 2012201220122012 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一 选择一 选择题题 1 1 1 1 8 8 8 8小题小题 每小题每小题 4 4 4 4 分分 共共 32323232分分 下列每题给出的四个选项中下列每题给出的四个选项中 只有一个选项符合题目要求的只有一个选项符合题目要求的 请请 将所选项前的字母填在将所选项前的字母填在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上 1 曲线 2 2 1 xx y x 渐近线的条数 A 0 B 1 C 2 D 3 2 设函数 2 1 2 xxnx y xeeen 其中n为正整数 则 0 y A 1 1 1 n n B 1 1 n n C 1 1 n n D 1 nn 3 如果函数 f x y在 0 0 处连续 那么下列命题正确的是 A 若极限 0 0 lim x y f x y xy 存在 则 f x y在 0 0 处可微 B 若极限 22 0 0 lim x y f x y xy 存在 则 f x y在 0 0 处可微 C 若 f x y在 0 0 处可微 则 极限 0 0 lim x y f x y xy 存在 D 若 f x y在 0 0 处可微 则 极限 22 0 0 lim x y f x y xy 存在 4 设 2 0 sin 1 2 3 k x K exdx k I则有 A 123 III B 321 III C 231 III D 213 III 5 设 1 1 0 0 C 2 2 0 1 C 3 3 1 1 C 4 4 1 1 C 其中 1234 C C C C为任意常数 则下列向量组线性相关的 为 A 123 B 124 C 134 D 234 6 设 A 为 3 阶矩阵 P 为 3 阶可逆矩阵 且 1 100 010 002 p AP 若 P 123 1223 则 1 Q AQ 2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学 2 A 100 020 001 B 100 010 002 C 200 010 002 D 200 020 001 7 设随机变量X与Y相互独立 且分别服从参数为1与参数为4的指数分布 则 p XY A 1 5 B 1 3 C 2 5 D 4 5 8 将长度为1m的木棒随机地截成两段 则两段长度的相关系数为 A 1 B 1 2 C 1 2 D 1 二 填空题二 填空题 9 9 9 9 14141414小题小题 每小题每小题 4 4 4 4 分分 共共 24242424 分分 请将答案写在请将答案写在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上 9 若函数 f x满足方程 2 0fxfxf x 及 2fxf xe 则 f x 10 2 2 0 2dxxxx 11 2 1 1 z grad xy y 12 设 1 0 0 0 x y z xyzxyz 则 2 y ds 13 设X为三维单位向量 E 为三阶单位矩阵 则矩阵 T EXX 的秩为 14 设A B C是随机变量 A 与 C 互不相容 11 23 p ABP Cp AB C 三 解答题三 解答题 1515 2323 小题小题 共共 9494 分分 请将解答写在请将解答写在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上 解答应写出文字说明 证明过程或演算步解答应写出文字说明 证明过程或演算步 骤骤 15 证明 2 1 lncos1 11 12 xx xxx x 16 求函数 22 2 xy f x yxe 的极值 17 求幂级数 2 2 0 443 21 n n nn x n 的收敛域及和函数 18 已知曲线 0 cos2 xf t Lt yt 设 ZXY 1 求Z的概率密度 2 f z 2 设 12 n z zz 为来自总体Z的简单随机样本 求 2 的最大似然估计量 2 3 证明 2 为 2 的无偏估计量 数一参考答案数一参考答案 一 选择题 12345678 CCBDCBAD 二 填空题 2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学 4 9 x e 10 2 11 1 1 1 12 3 12 13 2 14 3 4 三 解答题 15 证明 令 2 1 lncos1 12 xx f xxx x f x是偶函数 2 12 lnsin 11 xx fxxx xx 00f 22 2 2 2 14 11 cos1 11 1 xx fxx xx x 22 22 44 cos120 11 x xx 所以 00f xf 即证得 2 1 lncos111 12 xx xxx x 0 C 0 所以 1 1 0 P 为极小值点 极小值为 1 2 1 0fe 把 2 1 0P 代入二阶偏导数 B 0 A 0 C 0 所以 2 1 0P 为极大值点 极大值为 1 2 1 0fe 2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学 5 17 解 收敛域 2 2 1 1 2 22 22 21 1 443 4432 1 1 21 limlimlim 4 1 4 1 3 214 1 4 1 3 2 1 1 n n nnn n n nn x axnnn n Rxx nnaxnnn x n 令 2 1x 得11x 当1x 时 技术发散 所以 收敛域为 1 1 设 22 2222 000 443 21 22 21 1 212121 nnnn nnn nnn S xxxnxxx nnn 令 2 1 0 21 n n S xnx 2 2 0 2 21 n n Sxx n 因为 221 1 2 00 00 21 1 1 xx nn nn x S t dtnt dtxx x 所以 2 1 222 1 1 1 1 xx S xx xx 因为 21 2 0 2 21 n n xSxx n 所以 22 2 2 00 1 222 1 1 nn nn xSxxxx x 所以 2 2 000 1111 2 ln 1 1111 xxx x tS tdtdtdtx tttx 所以 sin cot t f t t 两边同时取不定积分可得 ln sectansinf ttttC 又由于 0 0f 所以 C 0 故 函数 ln sectansinf tttt 此曲线L与x轴和y轴所围成的无边界的区域的面积为 2 0 cos 4 Stf t dt 19 解 补充曲线 1 L沿y轴由点 2 0 到点 0 0 D 为曲线L和 1 L围城的区域 由格林公式可得 原式 11 2323 3d 2 d3d 2 d L LL x y xxxyyx y xxxyy 11 22 31 3 2 12 DLDL xxdy dydydy 2 2 222 0 0 11 2124 4222 ydyy 20 解 I 4 14 100 1000 010 101 1 101 001 00101 001 a aa a Aaaaa a a a II 对方程组Ax 的增广矩阵初等行变换 232 100110011001 010101010101 001000100010 0010001001 aaa aaa aaa aaaaaa 42 1001 0101 0010 0001 a a a aaa 可知 要使方程组Ax 有无穷多解 则有 4 10a 且 2 0aa 可知1a 2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学 7 此时 方程组Ax 的增广矩阵变为 11001 01101 00110 00000 进一步化为最简形得 10010 01011 00110 00000 可知 导出组的基础解系为 1 1 1 1 非齐次方程的特解为 0 1 0 0 故其通解为 10 11 10 10 k 21 解 1 由二次型的秩为 2 知 2 T r A A 故 2 T r Ar A A 对矩阵 A 初等变换得 101101101101 011011011011 10001001001 0101001000 aaaa aaa 因 2r A 所以1a 2 令 202 022 224 T BA A 202202102 022 2 22 2 122 2 6 0 224024024 EB 所 以 B 的特征值为 123 0 2 6 对于 1 0 解 1 0EB X 得对应的特征向量为 1 1 1 1 T 对于 2 2 解 2 0EB X 得对应的特征向量为 2 1 1 0 T 对于 3 6 解 3 0EB X 得对应的特征向量为 3 1 1 2 T 将 123 单位化可得 121 111 111 1 1 1 326 102 2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学 8 正交矩阵 111 326 111 326 12 0 36 Q 则 0 2 6 T Q AQ 因此 作正交变换xQy 二次型的标准形为 22 23 26 TTT f xxA A xy Ayyy 22 解 X012 P1 21 31 6 Y012 P1 31 31 3 XY0124 P7 121 301 12 11 20 02 10 44 P XYP XYP XY cov cov cov XY YX YY Y cov X YEXYEXEY 其中 22 25 1 1 33 EXEXEYEY 22 45 1 99 DXEXEX 22 52 1 33 DYEYEY 2 3 EXY 所以 22 cov 0 cov cov 0 33 XY X YY YDYXY Y 23 解 1 因为 2 XN u 2 2 YN u 且X与Y相互独立 故 2 0 3 ZXY 所以 Z 的概率密度为 2 2 2 6 1 6 z f zez 2 最大似然函数为 2 2 22 6 11 1 1 2 6 i z nn ii ii Lf zezin 则数列 n S有界是数列 n a收敛的 A 充分必要条件 B 充分非必要条件 C 必要非充分条件 D 非充分也非必要 4 设 2 0 sin d 1 2 3 k x k Iex x k 则有 A 123 III B 321 III C 231 III D 213 III 成 立的一个充分条件是 A 1212 xxyy C 1212 xxyy D 1212 xxyy 6 设区域D由曲线sin 1 2 yx xy 围成 则 5 1 d d D x yx y 2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学 10 A B 2 C 2 D 7 设 1 1 0 0 C 2 2 0 1 C 3 3 1 1 C 4 4 1 1 C 1 C 2 C 3 C 4 C均为任意常数 则下列数列组相关的 是 A 1 2 3 B 1 2 4 C 2 3 4 D 1 3 4 8 设A为 3 阶矩阵 P为 3 阶可逆矩阵 且 1 100 010 002 P AP 若 123 P 1223 Q 则 1 Q AQ A 100 020 001 B 100 010 002 C 200 020 001 D 200 020 001 二 填空题二 填空题 9 9 1414 小题小题 每小题每小题 4 4 分分 共共 2424 分分 请将答案写在请将答案写在答题纸答题纸 指定位置上 指定位置上 9 设 yy x 是由方程 2 1 y xye 所确定的隐函数 则 2 2 0 x d y d x 10 22222 111 lim 12 n n nnnn 11 设 1 ln zfx y 其中函数 f u 可微 则 2 zz xy xy 12 微分方程 2 d3d0y xxyy 满足条件 1 1 x y 的解为y 13 曲线 2 0yxx x 上曲率为 2 2 的点的坐标是 14 设A为3阶矩阵 3A A为A伴随矩阵 若交换A的第1行与第2行得矩阵B 则 BA 三 解答题三 解答题 1515 2323 小题小题 共共 9494 分分 请将解答写在请将解答写在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上 解答应写出文字说明 证明过程或演算步解答应写出文字说明 证明过程或演算步 骤骤 15 本题满分 10 分 已知函数 11 sin x f x xx 记 0 lim x af x I 求a的值 II 若0 x 当时 f xa 与 k x是同阶无穷小 求常数k的值 16 2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学 11 求函数 22 2 xy f x yxe 的极值 17 过 0 1 点作曲线 L ylnx 的切线 切点为A 又L与x轴交于B点 区域D由L与直线AB围城 求区域D 的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积 18 计算二重积分d D xy 其中区域D为曲线 1cos0r 与极轴围成 19 已知函数 f x满足方程 2 0fxfxf x 及 2 x fxf xe I 求的表达式 II 求曲线 22 0 d x yf xftt 的拐点 0 f 20 证明 2 1 lncos1 12 xx xx x 11 x 的整数 在区间 1 1 2 内有且仅有一个实根 II 记 I 中的实根为 n x 证明lim n n x 存在 并求此极限 22 设 100 010 001 001 a a A a a 1 1 0 0 I 计算行列式A II 当实数a为何值时 方程组Ax 有无穷多解 并求其通解 23 已知 101 011 10 01 A a a 二次型 123 TT f x xxxA A x 的秩为 2 I 求实数a的值 II 求正交变换xQy 将f化为标准形 数二参考答案数二参考答案 一 选择题 12345678 CCADDDCB 二 填空题 2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学 12 9 2 1 x x e 10 4 11 0 12 2 xy 13 1 0 14 27 三 解答题 15 解 I 000 11sin limlimlim0 11 sinsinsin xxx xxxx af x xxxxx II 000 11sinsin limlim1lim sinsinsin xxx xxxxx f xa xxxxx 3 00 1 sin1 6 limlim sinsin xx x xxx xxxx 3 00 1 6 1 sin limlim 6 xx x f xa xx xx 所以 k 1 16 解 222222 22 2 222 2 10 0 xyxyxy xy f x y exexex x f x y xey y 得驻点 12 1 0 1 0PP 2222 22 22 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 xyxy xy xy f x y xeexx x f x y exy x y f x y xey y 根据判断极值的第二充分条件 把 1 1 0 P 代入二阶偏导数 B 0 A 0 C 0 所以 1 1 0 P 为极小值点 极小值为 1 2 1 0fe 把 2 1 0P 代入二阶偏导数 B 0 A 0 C 0 所以 2 1 0P 为极大值点 极大值为 1 2 1 0fe 17 解 1 y x 设切点坐标 ln oo xx 切线方程为 1 ln oo o yxxx x 2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学 13 又切线过点 0 1 所以 2 o xe 故切线方程为 2 1 1yx e 切线与 x 轴交点为 B 2 0 e 所围面积 2 22 0 11 y Aeeydye 旋转体体积 2 22222 1 12 2ln3 33 e Veexdxe 18 解 1 cos 00 1 44 01 dcossin 1116 cos sin1cos1 4415 D xydd dttdt 19 解 I 2 0fxfxf x 对应的特征方程为 2 20rr r 2 r 1 所以 2 12 xx f xC eC e 把 2 12 xx f xC eC e 代入 2 x fxf xe 得到 x f xe II 同理 当 x 0 时 0y 2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学 14 所以 00f xf 即证得 2 1 lncos111 12 xx xxx x 1 1 1111 2 110 1 2222 1 2 nn f 根据零点定理 得到在区间 1 1 2 存在零点 又 f x单调 因此存在唯一零点 II 根据拉格朗日中值定理 存在点 1 2 n x 1 所以 111 222 nn n xf xf 由夹逼原理得lim n n x 0 22 解 I 4 14 100 1000 010 101 1 101 001 00101 001 a aa a Aaaaa a a a II 对方程组Ax 的增广矩阵初等行变换 232 100110011001 010101010101 001000100010 0010001001 aaa aaa aaa aaaaaa 42 1001 0101 0010 0001 a a a aaa 2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学 15 可知 要使方程组Ax 有无穷多解 则有 4 10a 且 2 0aa 可知1a 此时 方程组Ax 的增广矩阵变为 11001 01101 00110 00000 进一步化为最简形得 10010 01011 00110 00000 可知 导出组的基础解系为 1 1 1 1 非齐次方程的特解为 0 1 0 0 故其通解为 10 11 10 10 k 23 解 1 由二次型的秩为 2 知 2 T r A A 故 2 T r Ar A A 对矩阵 A 初等变换得 101101101101 011011011011 10001001001 0101001000 aaaa aaa 因 2r A 所以1a 2 令 202 022 224 T BA A 202202102 022 2 22 2 122 224024024 2 6 0 EB 所以 B 的特征值为 123 0 2 6 对于 1 0 解 1 0EB X 得对应的特征向量为 1 1 1 1 T 对于 2 2 解 2 0EB X 得对应的特征向量为 2 1 1 0 T 对于 3 6 解 3 0EB X 得对应的特征向量为 3 1 1 2 T 将 123 单位化可得 2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学 16 121 111 111 1 1 1 326 102 正交矩阵 111 326 111 326 12 0 36 Q 则 0 2 6 T Q AQ 因此 作正交变换xQy 二次型的标准形为 22 23 26 TTT f xxA A xy Ayyy 2012012 2 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学三三试题试题 一一 选择题选择题 1 1 8 8 小题小题 每小题每小题 4 4 分分 共共 3232 分分 下列每题给出的四个选项中下列每题给出的四个选项中 只有一个选项符合题目要求的只有一个选项符合题目要求的 请将所请将所 选项前的字母填在选项前的字母填在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上 1 曲线 2 2 1 xx y x 渐近线的条数为 A 0 B 1 C 2 D 3 2 设函数 2 1 2 xxnx f xeeen 其中n为正整数 则 0 f A 1 1 1 n n B 1 1 n n C 1 1 n n D 1 nn 3 设函数 f t连续 则二次积分 2 2 2 02cos d df rr r A 2 2 24 2222 02 d d x x x xxy f xyy B 2 2 24 22 02 d d x x x xf xyy C 2 2 24 2222 011 d d y y yxy f xyx D 2 2 24 22 011 d d y y yf xyx 4 已知级数 1 1 1 sin n n n n 绝对收敛 级数 2 1 1 n a n n 条件收敛 则 A 1 0 2 a B 1 1 2 a C 3 1 2 a D 3 2 2 a 0 的简单随机样本 则统计量 12 34 2 XX XX 的分布为 A N 0 1 B t 1 C 2 1 D 1 1F 二 填空题二 填空题 9 9 1414 小题小题 每小题每小题 4 4 分分 共共 2424 分分 请将答案写在请将答案写在答题纸答题纸 指定位置上 指定位置上 9 1 cossin 4 lim tanxx x x 10 设函数 ln 1 21 1 xx f x xx yff x 则 x e dy dx 11 设连续函数 zf x y 满足 220 1 22 lim0 1 x y f x yxy xy 则 0 1 d z 12 由曲线 4 y x 和直线yx 及4yx 在第一象限中围成的平面图形的面积为 13 设A为 3 阶矩阵 3A A为A的伴随矩阵 若交换A的第 1 行与第 2 行得矩阵B 则 BA 14 设A B C是随机事件 A与C互不相容 1 2 P AB 1 3 P C 则 P AB C 三 解答题三 解答题 1515 2323 小题小题 共共 9494 分分 请将解答写在请将解答写在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上 解答应写出文字说明 证明过程或演算步解答应写出文字说明 证明过程或演算步 骤骤 15 求极限 2 2 2cos 4 0 lim xx x ee x 16 计算二重积分d d x e xy x y 其中D是以曲线 1 yx y x 及y轴为边界的无界区域 17 某企业为生产甲 乙两种型号的产品 投入的固定成本为 10000 万元 设该企业生产甲 乙两种产品的产量 2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学 18 分别为x 件 和y 件 且定两种产品的边际成本分别为20 2 x 万元 件 与6y 万元 件 1 求生产甲乙两种产品的总成本函数 C x y 万元 2 当总产量为 50 件时 甲乙两种的产量各为多少时可使总成本最小 求最小 成本 3 求总产量为 50 件时且总成本最小时甲产品的边际成本 并解释其经济意义 18 证明 2 1 lncos1 11 12 xx xxx x 所以 00f xf 即证得 2 1 lncos111 12 xx xxx x 19 解 I 2 0fxfxf x 对应的特征方程为 2 20rr r 2 r 1 所以 2 12 xx f xC eC e 把 2 12 xx f xC eC e 代入 2 x fxf xe 得到 x f xe II 同理 当 x 0 时 0y 可知 0 0 点是曲线唯一的拐点 20 解 I 4 14 100 1000 010 101 1 101 001 00101 001 a aa a Aaaaa a a a II 对方程组Ax 的增广矩阵初等行变换 2012 年全国硕