1.1分类加法计数原理与分步计数乘法原理(3).ppt

1 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 3 复习回顾 两个计数原理的内容是什么 解决两个计数原理问题需要注意什么问题 有哪些技巧 例1一种号码锁有4个拨号盘 每个拨号盘上有从0到9共10个数字 这4个拨号盘可以组成多少个四位数字号码 N 10 10 10 10 10000 种 例2要从甲 乙 丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班 有多少种不同的选法 第一步 选1人上日班 第二步 选1人上晚班 有3种方法 有2种方法 N 3 2 6 种 例3某班有5人会唱歌 另有4人会跳舞 还有2人能歌善舞 从中任选1人表演一个节目 共可表演多少个节目 N 5 4 2 2 13 种 第1类 从会唱歌者中选1人唱歌 第2类 从会跳舞者中选1人跳舞 第3类 从能歌善舞者中选1人唱歌或跳舞 例4从5人中选4人参加数 理 化学科竞赛 其中数学2人 理 化各1人 求共有多少种不同的选法 5种 4种 3种 N 5 4 3 60 种 例4有架楼梯共6级 每次只允许上一级或两级 求上完这架楼梯共有多少种不同的走法 第1类 走3步第2类 走4步第3类 走5步第4类 走6步 N 1 6 5 1 13 种 例6由数字0 1 2 3 4 5可以组成多少个无重复数字的三位数 5种 4种 5种 N 5 5 4 100 种 例7在1 2 3 200这些自然数中 各个数位上都不含数字8的自然数共有多少个 不含8的一位数不含8的二位数不含8的三位数 N 8 72 82 162 个 N 5 4 3 3 180 种 5 4 3 3 例9将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色 并使同一条棱上的两端点颜色不同 如果只有5种颜色可供使用 求共有多少种不同的染色方法 涂S点涂A点涂D点涂B C点 N 5 4 3 7 420 种 例10从 3 2 1 0 1 2 3中任取三个不同的数作为抛物线y ax2 bx c a 0 的系数 如果抛物线过原点 且顶点在第一象限 问这样的抛物线共有多少条 c取值a取值b取值 N 3 3 1 9 种 c 1a 0b 0 例11某4名田径运动员报名参加100m 200m和400m三项短跑比赛 1 每人限报1个项目 共有多少种不同的报名方法 2 每人至少报1个项目 且每个项目限报1人 共有多少种不同的报名方法 1 34 81种 2 43 96种 例12630的正约数 包括1和630 共有多少个 630 2 32 5 7 正约数 2a 3b 5c 7d 2 3 2 2 24 个 例13将20个大小相同的小球放入编号为1 2 3的三个盒子中 要求每个盒子内的球数不小于该盒子的编号数 求共有多少种不同的放法 15 14 2 1 120 种 例14某电视节目中有A B两个信箱 分别存放着先后两次竞猜中入围的观众来信 其中A信箱中有30封来信 B信箱中有20封来信 现由主持人从A信箱或B信箱中抽取1名幸运观众 再由该幸运观众从A B两个信箱中各抽取1名幸运伙伴 求共有多少种不同的可能结果 30 29 20 20 19 30 17400 11400 28800 种 练习 三个比赛项目 六人报名参加 每人参加一项有多少种不同的方法 每项 人 且每人至多参加一项 有多少种不同的方法 每项 人 每人参加的项数不限 有多少种不同的方法 例1用0 1 2 3 4 5这六个数字 1 可以组成多少个各位数字不允许重复的三位的奇数 2 可以组成多少个各位数字不重复的小于1000的自然数 3 可以组成多少个大于3000 小于5421且各位数字不允许重复的四位数 升华发展 一 排数字问题 1 将数字1 2 3 4 填入标号为1 2 3 4的四个方格里 每格填一个数字 则每个格子的标号与所填的数字均不同的填法有 种 引申 号方格里可填 三个数字 有 种填法 号方格填好后 再填与 号方格内数字相同的号的方格 又有 种填法 其余两个方格只有 种填法 所以共有3 3 1 9种不同的方法 二 映射个数问题 例2设A a b c d e f B x y z 从A到B共有多少种不同的映射 三 染色问题 例3有n种不同颜色为下列两块广告牌着色 要求在 四个区域中相邻 有公共边界 区域中不用同一种颜色 1 若n 6 为 1 着色时共有多少种方法 2 若为 2 着色时共有120种不同方法 求n 1 2 如图 要给地图A B C D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种 允许同一种颜色使用多次 但相邻区域必须涂不同的颜色 不同的涂色方案有多少种 解 按地图A B C D四个区域依次分四步完成 第一步 m1 3种 第二步 m2 2种 第三步 m3 1种 第四步 m4 1种 所以根据乘法原理 得到不同的涂色方案种数共有N 3 2 1 1 6种 如图 要给地图A B C D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种 允许同一种颜色使用多次 但相邻区域必须涂不同的颜色 不同的涂色方案有多少种 若用2色 4色 5色等 结果又怎样呢 答 它们的涂色方案种数分别是0 4 3 2 2 48 5 4 3 3 180种等 思考 分析 如图 A B C三个区域两两相邻 A与D不相邻 因此A B C三个区域的颜色两两不同 A D两个区域可以同色 也可以不同色 但D与B C不同色 由此可见我们需根据A与D同色与不同色分成两大类 解 先分成两类 第一类 D与A不同色 可分成四步完成 第一步涂A有5种方法 第二步涂B有4种方法 第三步涂C有3种方法 第四步涂D有2种方法 根据分步计数原理 共有5 4 3 2 120种方法 根据分类计数原理 共有120 60 180种方法 第二类 A D同色 分三步完成 第一步涂A和D有5种方法 第二步涂B有4种方法 第三步涂C有3种方法 根据分步计数原理 共有5 4 3 60种方法 某城市在中心广场建造一个花圃 花圃分为6个部分 如右图 现要栽种4种不同颜色的花 每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花 不同的栽种方法有 种 以数字作答 1 与 同色 则 也同色或 也同色 所以共有N1 4 3 2 2 1 48种 所以 共有N N1 N2 N3 48 48 24 120种 2 与 同色 则 或 同色 所以共有N2 4 3 2 2 1 48种 3 与 且 与 同色 则共N3 4 3 2 1 24种 解法一 从题意来看6部分种4种颜色的花 又从图形看知必有2组同颜色的花 从同颜色的花入手分类求 6 将 种作物种植在如图所示的 块试验田里 每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物 不同的种植方法共有种 以数字作答 42 5 如图 是5个相同的正方形 用红 黄 蓝 白 黑5种颜色涂这些正方形 使每个正方形涂一种颜色 且相邻的正方形涂不同的颜色 如果颜色可反复使用 那么共有多少种涂色方法 四 子集问题 规律 n元集合的不同子集有个 例 集合A a b c d e 它的子集个数为 真子集个数为 非空子集个数为 非空真子集个数为 五 综合问题 例4若直线方程ax by 0中的a b可以从0 1 2 3 4这五个数字中任取两个不同的数字 则方程所表示的不同的直线共有多少条 75600有多少个正约数 有多少个奇约数 解 由于75600 24 33 52 7 75600的每个约数都可以写成的形式 其中 于是 要确定75600的一个约数 可分四步完成 即i j k l分别在各自的范围内任取一个值 这样i有5种取法 j有4种取法 k有3种取法 l有2种取法 根据分步计数原理得约数的个数为5 4 3 2 120个 解 从总体上看 如 蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法 从局部上看每类又需两步完成 所以 第一类 m1 1