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求解恒成立问题的常见方法 摘 要：恒成立问题是高考中常见的一类问题，常见类型有：第一类是关于x的一元二次不等式对任意xR恒成立，求参数取值范围；第二类是不等式在给定区间上恒成立求参数的取值范围。因这类问题综合性强，思维容量大，因而成为高考一直常考不衰的热点问题。 关键词：恒成立；参数；解题方法 一、一元二次不等式中的恒成立问题 例1.已知函数f（x）=x2+ax+3对任意xR时恒有f（x）a成立，求a的取值范围。 解：f（x）a对xR恒成立，x2+ax+3-a0对xR恒成立 xR， 0，即a2-4（3-a）0a-6或a2 例2.已知函数y=lg（mx2-6mx+m+8）的定义域为R，求m的取值范围。 解：由已知得mx2-6mx+m+80对任意xR恒成立 当m=0时显然成立 当m0时有m0（6m）2+4m（m+8）00m1 综上可知0m0（或f（x）0）对任意xR恒成立，则有a000），若f（x）0（或f（x）0）对任意xR恒成立，则有a00（或a0，a-（x+ ） 令g（x）=x+ ，易知g（x）在（4，+）上为增函数， g（x）min=g（4）=5g（x）5 -（x+ ）-5a-5 例4.已知函数f（x）=x2+2x+a lnx，在区间（0，1上为单调函数，求实数a的取值范围。 分析：求f （x）由题意转化为恒成立问题求最值求得a的取值范围 解：易知f （x）=2x+2+ ，f （x）在f （x）上单调 f （x）0或f （x）（或f（x）（或a f（x）恒成立？圳am（或am）；（2）若f（x）在定义域内存在最小值m，则af（x）或（af（x）恒成立？圳am（或am）；（3）若f（x）在其定义域内不存在最值，只需找到f（x）在定义域上的最大界（或最小下界）m，即f（x）在定义域上增大（或减小）时无限接近但永远达不到的那个位置来代替上述两种情况下的m，此时要注意结果所求参数范围在端点处是否要取到等号。 例5.已知f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1与x=- 时都取得极值， （1）求a、b的值； （2）若对x（-1，2）时都有f（x） 恒成立，求c的取值范围。 解：（1）f（x）=x3+ax2+bx+cf （x）=x3- x2-2x+c 由- a=1- =- 得a=- b=-2f（x）=x3- x2-2x+c （2）f（x）x3- x2-2x 令g（x）=x3- x2-2x则g（x）=3x3-x-2=（3x+2）（x-1） 令g（x）=0则x=- 或x=1 在（-1，2）内易知g（x）max=g（2）=2又x2g（x）2 -c2即 0c
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