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第三次习题课 Week 4 反常积分 石岩 shiyan200245 1 习题1 思考题 1 判断R a f x g x dx 是否收敛 如果 a R a f x dx 收敛 R a g x dx发散 b R a f x dx R a g x dx都发散 2 判断R a f x g x dx 是否收敛 如果 c R a f x dx R a g x dx都收敛 d R a f x dx R a g x dx都发散 e R a f x dx收敛 R a g x dx发散 相应地 瑕积分的结论 2 习题2 1 判断下列结论是否成立 若试证明 或举反例 设积分R a f x dx收敛 f x 在 a 上连续 则limx f x 0 a 如果f x 非负 结论是否成立 b 如果f x 有界 结论是否成立 c 如果f x 单调 结论是否成立 d 如果f x 一致连续 结论是否成立 2 设积分R a f x dx收敛 试证明 如果limx f x A 则A 0 3 设积分R a f x dx收敛 且f为非负减函数 试证明limx f x o 1 x 3 习题3 计算 1 Z 0 e axsinbxdx Z 0 e axcosbxdx 1 2 Z 2 0 lnsinxdx 2 Hint Z 2 0 lnsinxdx Z 4 0 lnsinxdx Z 2 4 lnsinxdx 3 4 习题4 讨论下列反常积分的敛散性 1 Z 0 sinx x dx 4 2 Z 0 ln 1 x x dx 5 5 习题5 判断下列反常积分的敛散性 1 Z 0 x 1 x dx 0 6 2 Z 0 dx xp xq 7 3 Z 1 dx xplnqx 8 6 习题6 已知a 0 b 0 1 设f x 在 0 上连续 且limx f x f 存在 证明 Z 0 f ax f bx x dx f 0 f lna b 9 2 设f x 在 0 上连续 且R 1 f x x dx收敛 证明 Z 0 f ax f bx x dx f 0 lna b 10 3 设f x 在 0 上连续 limx f x f 存在 且R 1 0 f x x dx收 敛 证明 Z 0 f ax f bx x dx f lna b 11 应用上面结果计算 1 Z 0 eax ebx x dx 12 2 Z 0 cos ax cos bx x dx 13 7 重要结论 1 积分R a f x dx收敛于I的充要条件是 对任一递增 趋于 的数列 An A1 a 级数P n 1 R An 1 An f x dx都收敛于I 2 若f是 a 上的非负函数 如果存在一个递增趋于 的数 列 An A1 a 使得级数P n 1 R An 1 An f x dx收敛 那么积分R a f x dx收 敛 且 Z a f x dx X n 1 Z An 1 An f x dx 习题7 应用上面结论证明积分 Z 0 x 1 x cos2x dx 4 14 收敛 证明 被积函数非负 只要证明级数 X n 0 Z n 1 n x 1 x cos2xdx 收敛即可 因为cos2x是偶函数 故 Z n 1 n xdx 1 x cos2x n 1 Z n 1 n dx 1 n cos2x n 1 Z 0 dx 1 n cos2x 2 n 1 Z 2 0 dx 1 n cos2x 2 n 1 Z 2 0 dx sin2x 1 n cos2x 2 n 1 Z 2 0 dx sin2x n cos2x 2 n 1 1 n 2 Z 0 dt 1 t2 t tanx n 2 2 n 1 1 n 2 2 2 2 n 2 1 8 由于 4 级数 X n 1 2 2 n 2