2019版高考数学大复习函数导数及其应用第5讲函数的单调性与最值优选学案.docx

第5讲函数的单调性与最值考纲要求考情分析命题趋势理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2017天津卷，62017浙江卷，172016北京卷，42016北京卷，10函数的单调性和最值是高考中的热点问题，考查内容经常是利用单调性求最值或者求参数的范围.分值：5分1增函数与减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I.(1)如果对于定义域I内某个区间D上的_任意两个_自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是_增函数_.(2)如果对于定义域I内某个区间D上的_任意两个_自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是_减函数_.2单调性与单调区间如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)_单调性_，区间D叫做yf(x)的_单调区间_.3函数的最大值与最小值一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的xI，都有_f(x)M_；存在x0I，使得_f(x0)M_，那么，我们称M是函数yf(x)的最大值(2)对于任意的xI，都有_f(x)M_；存在x0I，使得_f(x0)M_，那么，我们称M是函数yf(x)的最小值4函数单调性的常用结论区间D上单调递增区间D上单调递减定义法x1x2f(x1)f(x2)x1f(x2)图象法函数图象是上升的函数图象是下降的导数法导数大于零导数小于零运算法递增递增递减递减复合法内外层单调性相同内外层单调性相反5对勾函数的单调性对勾函数yx(a0)的递增区间为(，和，)；递减区间为(，0)和(0，)，且对勾函数为奇函数1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)函数y的单调递减区间为(，0)(0，)()(2)函数f(x)在区间a，b上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间为a，b()(3)若f(x)是增函数，g(x)是增函数，则f(x)g(x)也是增函数()(4)已知函数yf(x)在R上是增函数，则函数yf(x)在R上是减函数()解析(1)错误一个函数有多个单调区间时应分开表示，不能用并集符号“”连接，也不能用“或”连接(2)错误f(x)在区间a，b上是递增的并不能排除f(x)在其他区间上单调递增，而f(x)的单调递增区间为a，b意味着f(x)在其他区间上不可能是递增的(3)错误举反例：设f(x)x，g(x)x2都是定义域R上的增函数，但是 f(x)g(x)x22x在R上不是增函数(4)正确易知函数yf(x)与yf(x)的图象关于y轴对称，由对称性可知结论正确2下列函数中，定义域是R且为增函数的是(B)AyexByx3Cyln xDy|x|解析由所给选项知只有yx3的定义域是R且为增函数故选B3若函数yax1在1,2上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是(C)A2B2C2或2D0解析当a0时，由题意得2a1(a1)2，则a2；当a0)在x(1,1)上的单调性解析f(x).又a0，所以f(x)0，则x2.函数ylog(x23x2)的定义域为(，1)(2，)又ux23x2的对称轴为x，且开口向上，ux23x2在(，1)上是单调减函数，在(2，)上是单调增函数，而ylogu在(0，)上是单调减函数，ylog(x23x2)的单调递减区间为(2，)，单调递增区间为(，1)三求函数的最值(值域)求函数最值(值域)的常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值(值域)(2)图象法(数形结合法)：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值(值域)(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值(值域)(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值(值域)(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值(值域)(6)分离常数法：形如y(ac0)的函数的最值(值域)经常使用“分离常数法”求解(7)配方法：配方法是求“二次函数型函数”最值(值域)的基本方法，形如F(x)af(x)2bf(x)c(a0)的函数的最值(值域)问题，均可使用配方法另外，还可用判别式法、有界性法等来求最值(值域)【例3】 (1)函数f(x)的最大值为_2_.(2)函数yx的最小值为_1_.解析(1)当x1时，函数f(x)为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1；当xf(h(x)的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内(2)比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解(3)求参数的值或取值范围的思路：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组)或先得到其图象的升降，再结合图象求解求参数时需注意若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的【例5】 (1)(2017天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数若af，bf(log24.1)，cf(20.8)，则a，b，c的大小关系为(C)AabcBbacCcbaDca0成立，那么a的取值范围是_.解析(1)由f(x)是奇函数可得aff(log25)log25log24.11og24220.8，且函数f(x)是增函数，cba.(2)当a0时，f(x)2x3，在定义域R上是单调递增的，故在(，4)上单调递增；当a0时，二次函数f(x)的对称轴为x，因为f(x)在(，4)上单调递增，所以a0，且4，得a0.综上所述，得a0.故选D(3)由已知条件得f(x)为增函数，解得a1且62a0，解得1a3.故选B2已知偶函数f(x)在区间(，0上单调递减，则满足f(2x1)f的x的取值范围是(A)ABCD解析由函数f(x)为偶函数且在区间(，0上单调递减，得函数f(x)在区间0，)上单调递增，于是将不等式f(2x1)f转化为f(|2x1|)f.根据单调性，知|2x1|，解得x.故选A3(2018山西晋豫名校调研)若对x，yR，有f(xy)f(x)f(y)3，则函数g(x)f(x)在2 019，2 019上的最大值与最小值的和为_6_.解析对x，yR，有f(xy)f(x)f(y)3，令xy0，有f(0)f(0)f(0)3，f(0)3，令yx，有f(0)f(x)f(x)3，则f(x)f(x)6.令h(x)f(x)3，则h(x)h(x)0，则h(x)为奇函数又设函数(x)，(x)为奇函数，则g(x)(x)h(x)3，而(x)h(x)为奇函数，由于奇函数在关于原点对称的单调区间内的最大值与最小值互为相反数，则g(x)的最大值与最小值之和为6.4函数f(x)x3ax21在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围为_3，)_.解析函数f(x)x3ax21在(0,2)内单调递减，f(x)3x22ax0在(0,2)内恒成立，即ax在(0,2)内恒成立，而x0.课时达标第5讲解密考纲本考点考查函数的单调性，单独命题多以选择题的形式呈现，排在中间靠前的位置，题目难度中等；有时也与其他知识相结合出解答题，有一定难度一、选择题1下列四个函数中，在(0，)上为增函数的是(C)Af(x)3xBf(x)x23xCf(x)Df(x)|x|解析当x0时，f(x)3x为减函数当x时，f(x)x23x为减函数；当x时，f(x)x23x为增函数当x(0，)时，f(x)为增函数当x(0，)时，f(x)|x|为减函数2函数f(x)|x2|x的单调减区间是(A)A1,2B1,0C0,2D2，)解析由于f(x)|x2|x结合图象可知函数的单调减区间是1,23已知函数f(x)log(x2ax3a)在1，)上单调递减，则实数a的取值范围是(D)A(，2)B2，)CD解析令tg(x)x2ax3a，易知f(t)logt在其定义域上单调递减，要使f(x)log(x2ax3a)在1，)上单调递减，则tg(x)x2ax3a在1，)上单调递增，且tg(x)x2ax3a0，即所以即a2.4已知函数f(x)则“c1”是“函数f(x)在R上递增”的(A)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析若函数f(x)在R上递增，则需log21c1，即c1.由于c1c1，但c1/ c1，所以“c1”是“f(x)在R上递增”的充分不必要条件5定义新运算：当ab时，aba；当ab时，abb2.则函数f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于(C)A1B1C6D12解析由已知得，当2x1时，f(x)x2；当1f(a)，则实数a的取值范围是(C)A(，1)(2，)B(1,2)C(2,1)D(，2)(1，)解析f(x)由f(x)的图象可知f(x)在(，)上是单调增函数，由f(2a2)f(a)，得2a2a，即a2a20，解得2af(1)的实数x的取值范围是_(，0)(1，)_.解析由题意知1或x时，a靠近右端点5，此时|ta|4a|a4，即f(x)maxa4a2a45，不符合题意综上可得，a的取值范围是.三、解答题10(2018甘肃嘉峪关一中期中)已知函数f(x).(1)写出函数f(x)的定义域和值域；(2)证明：函数f(x)在(0，)上为单调递减函数，并求f(x)在x2,8上的最大值和最小值解析(1)定义域为x|x0又f(x)1，值域为y|y1(2)设0x1x2，则f(x1)f(x2).又0x10，x2x10，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(0，)上为单调递减函数，在x2,8上，f(x)的最大值为f(2)2，最小值为f(8).11已知f(x)，x1，)(1)当a时，用定义证明函数的单调性并求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x1，)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围解析(1)当a时，f(x)x2，任取1x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2).1x11，2x1x210.又x1x20，f(x1)0恒成立，则等价于a大于函数(x)(x22x)在1，)上的最大值(x)(x1)21在1，)上递减，当x1时，(x)取最大值为(1)3，a3，故实数a的取值范围是