高三数学空间向量和立体几何专题.doc

高三数学第二轮专题复习系列(8)- 空间向量、立体几何一、大纲解读立体几何的主要内容是空间几何体，点线面之间的位置关系，空间向量与立体几何其考查内容主要是空间两直线的位置关系、直线与平面的位置关系、两平面的位置关系；异面直线所成的角、二面角、线面角；几何体的表面积和体积、空间几何体的三视图和直观图等.其中线面平行与垂直判定定理与性质定理、面面平行与垂直判定定理与性质定理是考查的重点.对于理科生来说，空间向量作为一种新的快捷有效的工具已被广泛应用于解决立体几何综合问题，是高考的焦点所在. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 二、高考预测一般来说立体几何有两个左右的选择题或填空题和一道解答题，约20-25分，占整章试卷的15. 选择题或填空题考查的是空间几何体和点线面位置关系的基本问题，与三视图相结合考查是一种典型题型；解答题近年已成为一个较为固定的模式，以多面体（少数为旋转题）为载体，考查点线面的位置关系的判断推理，求空间角和距离，求有关最值和体积一般分步设问，难度逐渐增大，但都可以用基本方法解决，理科生要会用空间向量来解决这类问题.三重点剖析立体几何的重点内容是柱锥台球的表面积和体积，空间几何体的三视图和直观图，平面的基本性质，空间线面位置关系，空间向量的基本问题，空间向量与立体几何，特别是用空间向量解决立体几何中的线面平行与垂直的证明，求解异面直线所成的角、二面角、线面角，以及简单的距离计算重点一：空间几何体的三视图、体积与表面积【例1】 一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为直角三角形，边长如图所示，那么这个几何体的体积为（ ）A. B. C. D.【分析】根据三个试图可以知道这个几何体是一个一条侧棱和底面垂直，底面是直角三角形的三棱锥。【解析】该几何体是底面两直角边长分别是的直角三角形，高为的三棱锥，故其体积为。【点评】主试图和侧视图的高就是实际几何体的高。【例2】已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图中圆的半径为，等腰三角形的腰长为，则该几何体的体积是 （ ）A. B. C. D.【分析】这个空间几何体是一个圆锥和一个半球组成的组合体，把其中的数量关系找出来按照圆锥和球的体积计算公式计算就行【解析】A 这个几何体是一个底面半径为，高为的圆锥和一个半径为的半球组成的组合体，故其体积为【点评】空间几何体的三视图是课标高考的一个考点，主要考查方式之一就是根据三视图还原到原来的空间几何体，并进行有关的计算重点二：空间点、线、面位置关系的判断【例3 】已知、是不重合的直线，和是不重合的平面，有下列命题：（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则且；（4）若，则其中真命题的个数是（ ）012 3【 分析】（1）是假命题，如果一条直线平行于一个平面，该直线不与平面内所有直线平行，只与部分直线平行；（2）是假命题，平行于同一直线的两平面的位置关系不确定；（3）是假命题，因为可能为和内的直线，则且不一定成立；（4）是真命题，垂直于同一直线的两平面平行。【解析】选。【点评】本题考查的是有关线面关系命题的真假，所以通过利用定理来解决上述有关问题。【例4】 在下列关于直线、与平面和的命题中，真命题的是（ ）若且，则；若且，则；若且，则；若且，则【分析】高考中通常以选择或填空的形式来考查垂直关系的判定。显然是错误的；中可在平角内，故错误；中可在平角内，故错误；【解析】选。【点评】该题主要考查的是想象能力和位置关系。【例5】正方体中，对角线平面=，和交于点，求证：点、共线。【分析】要证明若干点共线问题，只需要证明这些点同在两个相交平面内即可。【证明】如图所示，由，则确定平面。平面，平面。又平面=，平面。在平面与平面的交线上。又，平面平面=，即、三点共线。【点评】该题的考向是点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，这样就可以根据公理2证明这些点都是在这两个平面的交线上。重点三：空间线面位置关系的证明和角的计算【例6】 是边长为正方体，计算下列问题：（1）与所成角的大小；（2）若、为对应棱的中点，求，所成的角。【分析】该题可以采用平移法，即将，平移到和即可。【解析】（1）连，则，所以，则，即与所成角为；（2）连，则，即为和所成的角，因为为正三角形，=，即和所成的角为。 图2【点评】掌握此类基本题的解法，也是反映同学们的立体几何基础。【例7】如图，四棱锥中，底面， 底面为梯形，点在棱上，且（1）求证：平面平面；（2）求证：平面；（3）（理）求平面和平面所成锐二面角的余弦值【分析】（1）根据两个平面垂直的判定定理，寻找一个面对一条直线垂直于另一个平面；（2）根据线面平行的判定定理，寻找线线平行；（3）可以利用传统的方法作出二面角的平面角解决，也可以利用空间向量的方法解决。【解析】（1）底面，又，平面 又平面，平面平面 （2）底面， ,又，平面，在梯形中，由，得，又，故为等腰直角三角形 连接，交于点，则 在中，又平面，平面，平面 （3）方法一：在等腰直角中，取中点，连结，则平面平面，且平面平面=，平面在平面内，过作直线于，连结，由、，得平面，故就是二面角的平面角 在中，设，则，由，可知：，代入解得：在中，平面和平面所成锐二面角的余弦值为 方法二：以为原点，所在直线分别为轴、轴，如图建立空间直角坐标系设，则， 设为平面的一个法向量，则，解得， 设为平面的一个法向量，则，又，解得， 平面和平面所成锐二面角的余弦值为 【点评】求二面角的平面角的方法通常有：一是根据线面垂直关系作出二面角的平面角，通过解三角形解决；二是用空间向量的方法来求解，方法是：求出两个平面的法向量和，然后利用数量积公式计算出锐二面角，其公式为=，当然考虑到二面角的取值范围是，所以，二面角的平面角与这两个平面的法向量的夹角相等或互补。四 扫雷先锋错误之一：概念理解错误【例8】空间四边形ABCD中，ABCD且成的角，点 M、N分别为BC 、AD的中点，求异面直线AB和MN成的角【错解】如图所示，取AC的中点P，连PM，PN，MN。 M、N分别为BC 、AD的中点，MPAB，且MP= AB ；NPCD，且NP=CD。又AB=CD， 且AB，CD所成的角为， MP=NP且直线MP于NP成角， MPN=，即使等边三角形， PMN=，即直线AB和MN成的角为 ABCMNDP【剖析】上面的解法遗漏了当直线PM与PN成角，而MPN=的情形，此时直线AB和MN所成角为为防止遗漏或错误，在解题过程中应正确理解定义【点评】题目中的错误，是同学们最易忽视的，有时看到一例题目，似乎会做，但是，不经过缜密的思考，就会出现“千里之堤，溃于蚁穴”的慨叹错误之二：忽视分类讨论错误【例9】点是线段AB的中点，若A、B到平面的距离分别为4和6，则点M到平面的距离为【错解】如图1，分别过点A、B、M作平面的垂线，MH，垂足分别为AB图AB图则线段，MH的长分别为点，A、B、M到平面的距离，由题设知，=4，=6， 因此，MH=【剖析】不少同学在解此类问题时，总认为A、B在的同侧，只注意检验计算是否正确，并没有发现异侧的情况，缺乏分类讨论的意识事实上，如图2 ，若A、B在异侧，则MH=1【点评】分类讨论是数学中一种重要的思想方法，它在立体几何中应用非常广泛但不少同学不能正确的利用这种思想方法，经常片面地考虑问题，使问题出现漏解五 规律总结1.空间几何体的三视图“长对正、高平齐、宽相等”的规律。2.在计算空间几何体体积时注意割补法的应用。3.注意多面体中的特征图和旋转体的轴截面在解题的应用。4.空间平行与垂直关系的关系的证明要注意转化：线线平行线面平行面面平行，线线垂直线面垂直面面垂直。5求异面直线所成的角的方法（文科）求异面直线所成的角的最关键是要找出一个点，把其作为角的顶点，然后把两条直线“平行平移”过来，这个角就完成了。这个点有时很好找，中点、交点、对称点等。若用平移转化烦琐或无法平移时，可考虑是否异面垂直，即可通过证明垂直的位置关系得到90的数量关系。（理科）利用空间向量法：=（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）。6直线与平面所成的角（文科）在斜线上找到任意一点，过该点向平面作垂线，找到斜线在该平面上的射影，则斜线和射影所成的角便是直线与平面所成的角。（理科）直线与平面所成角(为平面的法向量).7（理科）二面角方法一：常见的方法有三垂线定理法和垂面法；方法二：向量法：二面角的平面角或（，为平面， 的法向量）。8（理科）空间距离（1）点与点的距离、点到直线的距离，一般用三垂线定理“定性”；（2）给出公垂线的两条异面直线的距离，先进行论证（先定性），后计算（后定量）；（3）线面距、面面距都转化为点面距；（4）求点面距： （为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）。 六 能力突破 例1如图在直三棱柱ADE-BCF中,面ABFE和面ABCD都为正方形,且互相垂直, M为AB的中点, O为DF中点. （1）求证：OM平面BCF ; （2）求证：平面MDF平面EFCD ; （3）（理科）求二面角F-DM-C的正切值。 ABCGFODEM【分析】问题（1）是证明线面平行，则可以利用线面平行的判定定理；问题（2）是证明面面垂直，方法比较多，当然最好的办法是用线面垂直的判定定理来证明。 【解析】（1）取FC的中点G , 连结OG、BG。O为DF的中点, OG/DC且OG=DC . 在正方形ABCD中, M为AB中. MB/DC且MB=DC. OG/MB且OG=MB， 四边形OMBG为平行四边形. OM/BG , 又BG平面BFC , OM平面BFC， OM/平面BCF.ABCGFODEM（2）在直三棱柱ADE-BCF中, DC平面BCF, DCBG , 在等腰FBC中, BF=BC, G为FC的中点, BGFC , BG平面EFCD. 又OM/BG , OM平面EFCD. 又OM平面MDF, 平面MDF平面EFCD.（3）过B作BHDM交DM的延长线于H , 连结FH . 平面EFBA平面ABCD, FBAB. FB平面ABCD .BH为FN在平面ABCD上的射影. FHDH (三垂线定理).FHB为二面角F-DM-C的平面角, 设AB=1 ,则BH=BMsinAMD=，tanFHB=. 二面角F-DM-C的正切值为。【点评】该题主要是能够熟练应用判定定理来证明相关的问题，因此要熟悉定理并能灵活应用。【例2】 如图, 己知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形, AD/BC , BCD=90, PA=PB, PC=PD。（1）证明: CD与平面PAD不垂直；（2）证明：平面PAB平面ABCD；（3）（理科）如果CD=AD+BC , 二面角P-BC-A等于60, 求二面角P-CD-A的大小。PBCFDAE【分析】问题（1）需要利用反证法来证明，问题（2）仍用面面垂直的判定定理来证明。【解析】（1）若CD平面PAD, 则CDPD, 由己知PC=PD得PCD=PDC90, 这与CDPD矛盾,所以CD与平面QAD不垂直.（2）取AB、CD的中点E、F , 连结PE、PF、EF, EF为直角梯形的中位线, EFCD.由PA=PB , PC=PD得 PEAB. 又PFEF=FCD平面PEF , 由PE平面PEF 得 CDPE , 又ABPE且梯形两腰AB、CD必相交。PE平面ABCD, 又PE平面PAB , 平面PAB平面ABCD.（3）由（2）及二面角定义可知PFE为二面角P-CD-A的平面角. 作EGBC于G , 连PG. BCPG. PGE为二面角P-CD-A的平面角, 即PGE=60. 由己知 得 EF=(AD+BC)= CD. 又EG=CF=CD. EF=EG。 易证得RtPEFRtPEG , PFE=PGE =60即为所求。【点评】会添加辅助线，并注意一定的逻辑推理，这是立体几何大题的解题所应该注意的地方。ABCD【例3】已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，ABDC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。（1）证明：面PAD面PCD；（2）求AC与PB所成的角余弦值；（3）（理科）求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值。【分析】本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角和二面角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力。【解析】方法一：（1）证明：PA面ABCD，CDAD，由三垂线定理得：CDPD。因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，CD面PAD。又CD面PCD，面PAD面PCD.（2）解：过点B作BE/CA，且BE=CA，则PBE是AC与PB所成的角.连结AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，所以四边形ACBE为正方形. 由PA面ABCD得PEB=90，在RtPEB中BE=，PB=， 。ADCBEPMN（3）解：作ANCM，垂足为N，连结BN。在RtPAB中，AM=MB，又AC=CB，AMCBMC,BNCM，故ANB为所求二面角的平面角.CBAC，由三垂线定理，得CBPC，在RtPCB中，CM=MB，所以CM=AM。在等腰三角形AMC中，ANMC=，. AB=2，方法二：（理科）因为PAPD，PAAB，ADAB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，.（1）证明：因。由题设知ADDC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC面PAD.又DC在面PCD上，故面PAD面PCD.（2）解：因（3）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在使。要使。为所求二面角的平面角。【点评】建立空间直角坐标系，通过代数计算得到几何值，这种问题是近几年中高考的重点内容。七、高考风向标考查方向一：空间几何体的三视图以及面积、体积的计算例右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）ABCD俯视图正(主)视图侧(左)视图2322分析：本题考查三视图、球和圆锥的表面积等基础知识，考查空间想象能力和运算能力三视图是课标高考相对于大纲高考的新增内容，是课标高考的一个热点内容解题的关键是由这个三视图想象出这个空间几何体是如何构成的解析：D 该几何体下面是一个底面半径为，母线长为的圆柱，上面是一个半径为的球，其表面积是点评：本题容易出错的答复有两个，一是不能由这个三视图想象出这个空间几何体，二是用错球的表面积公式、圆柱的侧面积公式或在计算圆柱的表面积时忽视了上下底面考查方向二：空间线面位置关系的判断例（08年安徽理4）已知是因为两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）ABC D分析：考查空间线面位置关系的判断本题主要用到的是“两条直线如果和同一个平面垂直，则这两条直线平行”，这是空间直线和平面垂直的性质定理，是空间线面位置关系的主要定理之一。解析：D 均为直线，其中平行，可以相交也可以异面，故A不正确；m，n则同垂直于一个平面的两条直线平行点评：对空间线面位置关系的判定定理生疏或者不会结合图形进行分析是本题解答错误或不会解答的主要原因在空间直线和直线的平行关系、平面和平面之间的平行关系具有传递性，但是直线和平面之间的平行关系没有传递性，本题中A、C两个选择支就是针对这个问题而设计的。在平面上和同一条直线垂直的两条直线平行，但在空间这个结论不成立，同时在空间和同一个平面垂直的两个平面也不平行，本题的选择支B就是针对这个问题设计的。考查方向三：空间垂直与平行关系的证明例3如图，在四面体中，点分别是的中点，求证：（1）直线面；（2）面面BCAFDE分析：根据线面平行的判定定理和面面垂直的判定定理，寻找需要的直线。证明：（1）E、F分别是AB、BD的中点， EF是ABD的中位线，EF/AD又面ACD，AD面ACD，直线EF/面ACD（2） 点评：本题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定，考查空间想象能力、推理论证能力主要检测考生对空间线面位置关系的判定和性质定理的掌握程度考查方向四：全面考查立体几何的综合性试题例4如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图它的正视图和俯视图在下面画出（单位：cm）（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积； （3）在所给直观图中连结，证明：面 46422EDABCFG2分析：根据图中的数据和图中反应的线面位置关系解决。解析：（1）如图4642224622（俯视图）（正视图）（侧视图） （2）所求多面体体积ABCDEFG（3）证明：在长方体中，连接，则因为分别为，中点，所以，从而又平面，所以面 点评：本题考查立体几何初步的基本知识和方法立体几何初步中的主要问题是空间几何体的三视图、直观图、表面积和体积计算，空间线面位置关系的证明，本题把这些问题糅合在一起综合检测考生对立体几何初步的掌握程度，这可以说是针对立体几何初步而设计的一道典型试题。在画俯视图时不标明尺寸，或是只画一个矩形；在计算体积时没有体积分割的思想意识，或是忽视了锥体体积公式中的，在空间几何体的体积计算中“割补法”是最重要的技巧之一，在复习中要认真体会。例4如图PBECDFA，已知四棱锥，底面为菱形，平面，分别是的中点（1）证明：；（2）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值分析：第一问转化为证明线面垂直；第二问根据与平面所成最大角的正切值为可以找出四棱锥的底面边长和高之间的关系，然后用传统的方法作出二面角的平面角解决，或是用空间向量的方法解决。证明：（1）由四边形为菱形，可得为正三角形因为为的中点，所以又，因此因为平面，平面，所以而平面，平面且，所以平面又平面，所以解：（2）设，为上任意一点，连接，如图PBECDFAHOS由（1）知平面，则为与平面所成的角在中，所以当最短时，最大，即当时，最大此时，因此又，所以，所以解法一：因为平面，平面，所以平面平面过作于，则平面，过作于，连接，则为二面角的平面角，在中，又是的中点，在中，又，在中，即所求二面角的余弦值为解法二：由（1）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图PBECDFAyzx所示的空间直角坐标系，因为分别为的中点，所以，所以设平面的一法向量为，则因此取，则，因为，所以平面，故为平面的一法向量又，所以因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为点评：本题考查空间线面位置关系的有关定理、线面角、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查转化的数学思想，考查空间想象、逻辑思维、运算求解等能力本题第一问是一个证明线线垂直问题，证明的基本思想是转化为证明线面垂直，只要考生熟悉这个转化策略，熟悉空间线面位置关系的有关定理，解决起来困难不大；第二问以一个动态的情境给出，确定动点的位置是解决的关键所在，这就要求有一定的逻辑推理能力和分析问题的能力，这个地方能有效地检测考生的思维层次，是一个设计优秀的试题八、沙场练兵一、选择题1一条直线与一个平面所成的角等于，另一直线与这个平面所成的角是. 则这两条直 线的位置关系（ ）A必定相交 B平行 C必定异面 D不可能平行1.D2在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为13，则锥 体被截面所分成的两部分的体积之比为（ ）A1B19C1D12.D3正方体中，、分别是、的中点那么，正方体的过、的截面图形是（ ）A三角形 B四边形 C五边形 D六边形3.D4正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ ）A75B60C45D304.C5对于直线m、n和平面，下面命题中的真命题是（ ）A如果、n是异面直线，那么B如果、n是异面直线，那么相交C如果、n共面，那么D如果、n共面，那么5.C6已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，长为定值的线段EF在棱AB上移动（EFa），若P是A1D1上的定点，Q是C1D1上的动点，则四面体PQEF的体积是（ ）A有最小值的一个变量 B有最大值的一个变量C没有最值的一个变量 D是一个常量6.D7已知平面所成的二面角为80，P为、外一定点，过点P的一条直线与、 所成的角都是30，则这样的直线有且仅有（ ）A1条B2条C3条 D4条7.D8如图所示，在水平横梁上A、B两点处各挂长为50cm的细线AM、BN、AB的长度为60cm，在MN处挂长为60cm的木条MN平行于横梁，木条中点为O，若木条绕O的铅垂线旋转60，则木条比原来升高了（）A10cmB5cmC10cmD5cm8.A9如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的 边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是（ ）A258 B234 C222 D2109.C10设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）A若与所成的角相等，则B若，则C若，则D若，则10.D 提示：A中若与所成的角相等，则和不一定平行，可能异面，也可能相交；B中若，则和不一定平行，也可能是异面；C中若，则和也可能平行，也可能相交。11底面边长为a，高为h的正三棱锥内接一个正四棱柱（此时正四棱柱上底面有两个顶点在同一个侧面内），此棱柱体积的最大值（ ）A B C D11.B12将半径都为的个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（ ）A B2+ C4+ D12.B二、填空题13已知点在正方形所在的平面外，平面，则和所成角的度数为 。13. 提示：将四棱锥补成正方体，如图所示，则和所成角的度数即为和所成的角，而为等边三角形，所以所求的角为14如图，矩形ABCD中，DC=，AD=1，在DC上截取DE=1，将ADE沿AE翻折到D1点，点D1在平面ABC上的射影落在AC上时，二面角D1AEB的平面角的余弦值是 .14. 15.如图所示，在等腰梯形中，是中点，将与分别沿、向上折起，使、重合于点，则三棱锥的外接球的体积为 。15. 提示：根据题意，折叠后的三棱锥为正四面体，且棱长为1，以这个正四面体来构造正方体，则此立方体的棱长为，故立方体的对角线长为，且立方体的外接球也为正四面体外接球，所以外接球半径为，则外接球的体积为。16. 已知平面和直线，给出条件：；。（i）当满足条件 时，有；（ii）当满足条件 时，有。（填所选条件的序号）16. （i）； （ii）。提示：可以分析出当满足条件和时，则，也就是说面面平行可以推出线面平行。出当满足条件和时，有。九、实战演练一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.某几何体的三视图如下图所示，则这个几何体是正视图 侧视图 府视图A三棱锥B四棱锥C五棱锥D六棱锥1.2.ABCDA1B1C1D1是正方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论中错误的是（）AA、M、O三点共线BM、O、A1、A四点共面CA、O、C、M四点共面 DB、B1、O、M四点共面 2.D3.如图所示，点S在平面ABC外，SBAC，SBAC2， E、F分别是SC和AB的中点，则EF的长是（）A1 B C D3.B 提示：取BC的中点G，连接EG、FG，SBAC，故，且EG=1、FG=1，所以。已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H，设四面体EFGH的表面积为T，则（ ）A B C D4.A 提示：如图，即四面体EFGH的棱长是正四面体ABCD的棱长的，故其表面积之比为。5.在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，P是上一点，且，则多面体BCPB1C1的体积为 （ ）A BC4 D165.B 提示：多面体BCPB1C1 ，即四棱锥，其体积为。6.如下图所示，已知棱长为的正方体（左图），沿阴影面将它切割成两块，拼成右图所示的几何体，那么拼成的几何体的全面积为（ ）A、 B、 C、 D、6.D 提示：切割拼合后，前后左右四个面的面积没变，上下两个面的面积是正方体的对角面的面积。故拼成的几何体的全面积为。7.已知圆锥的底面半径为，高为，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）7.B 提示：组合体的轴截面如图所示，由相似三角形的比例关系，圆柱的高为，所以圆柱的为，当时，S取最大值，。8半径为R的球的内接正三棱柱的侧面积（各侧面面积之和）的最大值为（ ）ABCD8.A 提示： 如图设球的内接正三棱柱高的，则，设球的内接正三棱柱高的底面边长为，则，即，在直角三角形中，所以，所以球的内接正三棱柱的侧面积。9如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AA1，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为（ ）AB CD9.C 提示：（法一）如图1所示，取BC的中点D，连接AD、，易知平面BB1C1C，即是AC1与平面BB1C1C所成的角。在三角形中，设，则，所以选C（法二）（理科）建立如图2所示的空间直角坐标系，设AB=2，则，平面BB1C1C的一个法向量为，所以AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为。10过正方形ABCD的顶点A，引PA平面ABCD，若PA = AB，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是（ ）30 45 60 9010.B 提示：（1）将其补成正方体，如图2，不难发现平面ABP和平面CDP所成的二面角就是平面ABPQ和平面CDPQ所成的二面角，其大小为是明显的。（2）（理科）建立如图1所示的空间直角坐标系，不难求出平面PAB、PCD的法向量，故平面ABP和平面CDP所成的二面角的余弦值为，平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是。选B。11已知直线及平面，下列命题中的假命题是 （ ） A若，则. B若，则.若，则. 若，则.11D 12已知平面、都垂直于平面，且给出下列四个命题：若；若；若；若. 其中真命题的个数为（ ）A4B3C2D112.A 提示：借助与正方体模型，不难发现4个命题都是真命题。选A。二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案直接填在题中横线上.13已知ABCD是空间四边形形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，如果对角线AC4，BD2，那么EG2HF2的值等于13. 提示：易知四边形EFGH是平行四边形，EF=GH=2、EH=FG=1，在平行四边形两条对角线的平方和等于四个边的平方和。故其和为10。提示：14如图所示，平面M、N互相垂直，棱l上有两点A、B， ACM，BDN，且ACl，AB8cm，AC6 cm，BD24 cm，则CD_14. 提示：（一）（理科）。（二）补成一个长方体，不难发现CD是这个长方体的体对角线。提示：15现有正四面体ABCD，记此四面体能容纳得下的最大球体半径为R1，能容纳得下此四面体的最小球体半径为R2，则 15. 提示：即正四面体的内切球与外接球的问题。16已知在三棱柱中，底面为直角三角形，是上一动点，则的最小值为_ 16. 提示：计算知，又，故是的直角三角形。铺平平面、平面，如图，在中，由余弦定理故。三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17（ 12分）在长方体中，已知，求异面直线与所成角的余弦值17.法一：连接，如图 为异面直线与所成的角. 连接，在中， 则. 异面直线与所成角的余弦值为. 法二：（理科）以为坐标原点，分别以、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. 如图 则 ， 得 .设与的夹角为，则， 与的夹角余弦值为， 即异面直线与所成角的余弦值为. 18.（理科）（分）三棱锥的底面是边长为的正三角形，平面且，设、分别是、的中点。（I）求证：平面；（II）求二面角的余弦值18.解：（I）证明：是的中位线，平面，平面，平面 （II）以为原点，为轴正向，为轴正向，在平面内作轴并以为轴正向建立空间直角坐标系（如图）则题意得:O,， 设平面的法向量为， 由且得，令得，取 取平面的法向量， 二面角的余弦值是 另一种建立坐标系的方法是。18.（文科）（12分）已知四棱台上，下底面对应边分别是a，b，试求其中截面把此棱台侧面分成的两部分面积之比18.解：设A1B1C1D1是棱台ABCDA2B2C2D2的中截面，延长各侧棱交于P点.如图BC=a，B2C2=b，B1C1=，BCB1C1，同理 同理：由等比定理，得19.（理科）（分）如图所示，、分别是圆、圆的直径，与两圆所在的平面均垂直，.是圆的直径，,.(I)求二面角的大小；(II)求直线与所成的角的余弦值.19.解：()AD与两圆所在的平面均垂直,ADAB, ADAF,故BAD是二面角BADF的平面角，依题意可知，ABCD是正方形，所以BAD450.即二面角BADF的大小为450；()以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，0），B（，0，0）,D（0，8），E（0，0，8），F（0，0）所以，设异面直线BD与EF所成角为，则直线BD与EF所成的角为余弦值为19.（文科）（12分）已知直三棱柱ABCA1B1C1 中，AC BC 1，ACB 90，AA1 ，D 是A1B1 中点（1）求证C1D 平面A1B ；（2）当点F 在BB1 上什么位置时，会使得AB1 平面C1DF ？并证明你的结论19解：（1）证明：如图， ABCA1B1C1 是直三棱柱， A1C1 B1C1 1，且A1C1B1 90又 D 是A1B1 的中点， C1D A1B1 AA1 平面A1B1C1 ，C1D 平面A1B1C1 ， AA1 C1D ， C1D 平面AA1B1B （2）解：作DE AB1 交AB1 于E ，延长DE 交BB1 于F ，连结C1F ，则AB1 平面C1DF ，点F 即为所求事实上， C1D 平面AA1BB ，AB1 平面AA1B1B ， C1D AB1 又AB1 DF ，DF C1D D ， AB1 平面C1DF 20.（12分）如图，在三棱锥S-ABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点。 （）证明：ACSB；（）求二面角N-CM-B的余弦值； 解法一：（）取AC中点D，连结SD、DB.如图SA=SC，AB=BC，ACSD且ACBD，AC平面 SDB，又SB平面SDB，ACSB. （）AC平面SDB，AC平面ABC，平面SDB平面ABC.过N作NEBD于E，NE平面ABC，过E作EFCM于F，连结NF，则NFCM.NFE为二面角N-CM-B的平面角.平面SAC平面ABC，SDAC，SD平面ABC.又NE平面ABC，NESD.SN=NB，NE=SD=，且ED=EB.在正ABC中，由平几知识可求得EF=MB=，在RtNEF中，tanNFE=2，二面角N-CM-B余弦值是 解法二：（理科）（）取AC中点O，连结OS、OB.SA=SC，AB=BC，ACSO且ACBO.平面SAC平面ABC，平面SAC平面ABC=AC SO面ABC，SOBO.如图所示建立空间直角坐标系O-xyz.则A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），M(1，0)，N(0，).=（-4，0，0），=（0，2，2），=（-4，0，0）