高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数1 第3讲 函数的奇偶性与周期性课件 理 新人教A版.ppt

第3讲函数的奇偶性与周期性 考试要求1 函数奇偶性的含义及判断 b级要求 2 运用函数的图象理解 研究函数的奇偶性 a级要求 3 函数的周期性 最小正周期的含义 周期性的判断及应用 b级要求 知识梳理 1 函数的奇偶性 f x f x y轴 f x f x 原点 相同 相反 奇函数 偶函数 偶函数 奇函数 3 若函数f x 是奇函数且在x 0处有定义 则f 0 0 3 周期性 1 周期函数 对于函数y f x 如果存在一个非零常数t 使得当x取定义域内的任何值时 都有f x t 那么就称函数y f x 为周期函数 称t为这个函数的周期 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中的正数 那么这个最小正数就叫做f x 的最小正周期 f x 存在一个最小 诊断自测 2 2015 福建卷改编 给出下列函数 y y sinx y cosx y ex e x 其中为奇函数的是 填序号 答案 答案1 4 已知函数f x 是定义在r上的奇函数 当x 0时 f x x 1 x 则x 0时 f x 解析当x 0时 则 x 0 f x x 1 x 又f x 为奇函数 f x f x x 1 x 即f x x 1 x 答案x 1 x 答案1 考点一函数奇偶性的判断 例1 判断下列函数的奇偶性 规律方法判断函数的奇偶性 其中包括两个必备条件 1 定义域关于原点对称 这是函数具有奇偶性的必要不充分条件 所以首先考虑定义域 2 判断f x 与f x 是否具有等量关系 在判断奇偶性的运算中 可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式f x f x 0 奇函数 或f x f x 0 偶函数 是否成立 训练1 2014 新课标全国 卷改编 设函数f x g x 的定义域都为r 且f x 是奇函数 g x 是偶函数 给出下列结论 f x g x 是偶函数 f x g x 是奇函数 f x g x 是奇函数 f x g x 是奇函数 则上述结论中正确的是 填序号 解析依题意得对任意x r 都有f x f x g x g x 因此 f x g x f x g x f x g x f x g x 是奇函数 错 f x g x f x g x f x g x f x g x 是偶函数 错 f x g x f x g x f x g x f x g x 是奇函数 正确 f x g x f x g x f x g x f x g x 是偶函数 错 答案 考点二函数奇偶性的应用 2 已知f x 是奇函数 g x 是偶函数 且f 1 g 1 2 f 1 g 1 4 则g 1 等于 答案 1 0 1 2 3 规律方法 1 已知函数的奇偶性求参数 一般采用待定系数法求解 根据f x f x 0得到关于待求参数的恒等式 由系数的对等性得参数的值或方程 组 进而得出参数的值 2 已知函数的奇偶性求函数值或解析式 首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式 或充分利用奇偶性得出关于f x 的方程 从而可得f x 的值或解析式 训练2 2013 江苏卷 已知f x 是定义在r上的奇函数 当x 0时 f x x2 4x 则不等式f x x的解集用区间表示为 答案 5 0 5 考点三函数的周期性及其应用 例3 设f x 是定义在r上的奇函数 且对任意实数x 恒有f x 2 f x 当x 0 2 时 f x 2x x2 1 求证 f x 是周期函数 2 当x 2 4 时 求f x 的解析式 3 计算f 0 f 1 f 2 f 2014 1 证明 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x f x 是周期为4的周期函数 2 解 x 2 4 x 4 2 4 x 0 2 f 4 x 2 4 x 4 x 2 x2 6x 8 又f 4 x f x f x f x x2 6x 8 即f x x2 6x 8 x 2 4 3 解 f 0 0 f 1 1 f 2 0 f 3 1 又f x 是周期为4的周期函数 f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 2008 f 2009 f 2010 f 2011 0 f 0 f 1 f 2 f 2014 f 2012 f 2013 f 2014 f 0 f 1 f 2 1 规律方法 1 判断函数的周期性只需证明f x t f x t 0 即可 且周期为t 2 根据函数的周期性 可以由函数的局部性质得到函数的整体性质 函数的周期性常与函数的其他性质综合命题 3 在解决具体问题时 要注意结论 若t是函数的周期 则kt k z且k 0 也是函数的周期 的应用 2 2015 广州模拟 已知f x 是定义在r上的偶函数 且f x 2 f x 当2 x 3时 f x x 则f 105 5 思想方法 1 判断函数的奇偶性 首先应该判断函数定义域是否关于原点对称 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件 2 利用函数奇偶性可以解决以下问题 1 求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解 2 求解析式 将待求区间上的自变量转化到已知区间上 再利用奇偶性求出 3 求解析式中的参数 利用待定系数法求解 4 画函数图象 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象 易错防范 1 f 0 0