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S2达朗伯原理 2 本章介绍动力学的一个重要原理 达朗伯原理 动力学 应用这一原理 将动力学问题从形式上转化为静力学问题 从而由解平衡问题的方法来求解 这种解答动力学问题的方法 也称动静法 根据矩心选取的任意性 可以通过选取合适的矩心 使得力矩方程中只有一个未知量 这样可以简化问题的求解过程 这一技巧对于求解刚体系统的动力学问题更为有效 3 S2 1惯性力的概念 质点的达朗伯原理 动力学 定义 质点惯性力 非自由质点M 质量m 受主动力 约束反力 合力 质点的达朗伯原理 4 动力学 该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡 并没有改变动力学问题的实质 采用动静法解决动力学问题的最大优点 可以利用静力学提供的解题方法 给动力学问题一种统一的解题格式 Inrigidbodydynamics wehavederivedtheformula ri Fi Mi rG maG IG 2 thesimplerformis Mp Mk p Combiningtranslationalequationofmotion F maG S2 2刚体的达朗伯原理 Asinthecaseofaparticle reformthetheaboveformulasasfollows F maG 0Mp MP maG IG 0 惯性力偶为 如将质心G改成C 角加速度用 表示 惯性力分量合成为一合力 则 F maG 0Mp MP maG IG 0 图中 maGx maGy 即惯性力分量 作用于质心G IG 即惯性力偶 8 动力学 平面运动刚体的达朗伯原理可由如下三个方程给出 P点是任意选取的 作用于刚体的所有真实的外力 外力偶和虚加的作用于质心的惯性力及惯性力偶构成平衡力系 这就是平面运动刚体的达朗伯原理 该原理也适用于刚体系统或任意质点系 O P 9 S2 3刚体惯性力系的简化 从刚体平面运动的达朗伯原理的推导过程中可以看出 为作用于质心的惯性力 为惯性力偶 这是作平面运动刚体上分布的惯性力系合成的结果 也叫做惯性力系的简化 适用条件 刚体具有质量对称平面 并且平行于该平面作平面运动 此时 所有作用于刚体的力和分布的惯性力系都在对称平面内 10 一 刚体作平动 特例 作用于质心 刚体作平面运动惯性力系的简化结果为 刚体平动时惯性力系为一平行力系 惯性力系合成为一过质心的合惯性力 11 惯性力系简化为通过O点的惯性力和一个惯性力偶 作用在C点 作用在O点 二 定轴转动刚体 定轴转动是一种特殊的平面运动 作用其上的惯性力系有以下惯性力系的简化 根据静力学中力系简化理论 可以将惯性力向轴O平移 附加一个力偶 于是附加力偶和原来的惯性力偶合成为新的惯性力偶 12 动力学 讨论 刚体作匀速转动 转轴不通过质点C 13 动力学 讨论 转轴过质点C ac 0 但 0 故惯性力系简化为一惯性力偶 与 反向 14 动力学 讨论 15 动力学 根据达朗伯原理 以静力学平衡方程的形式来建立动力学方程的方法 称为动静法 应用动静法既可求运动 例如加速度 角加速度 也可以求力 并且多用于已知运动 求质点系运动时的动约束反力 S2 4达朗伯原理的应用 应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上的便利 例如 矩心可以任意选取 二矩式 三矩式等等 因此当问题中有多个约束反力时 应用动静法求解它们时就方便得多 16 动力学 选取研究对象 原则与静力学相同 应用动静法求动力学问题的步骤及要点 虚加惯性力 在受力图上画上惯性力和惯性力偶 一定要在正确进行运动分析的基础上 熟记刚体惯性力系的简化结果 受力分析 画出全部主动力和外约束反力 运动分析 主要是刚体质心加速度 刚体角加速度 标出方向 17 动力学 列动静方程 选取适当的矩心和投影轴 求解未知量 建立补充方程 运动学补充方程 运动量之间的关系 18 动力学 例1 均质杆长l 质量m 与水平面铰接 杆由与平面成 0角位置静止落下 求开始落下时杆AB的角加速度及A点支座反力 选杆AB为研究对象 解 根据动静法 有 画出所有主动力 约束力和虚加惯性力系 19 动力学 0 实际方向与图示方向相反 20 动力学 例2 牵引车的主动轮质量为m 半径为R 沿水平直线轨道滚动 设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力 取轮为研究对象 解 O 及驱动力偶矩M 车轮对于通过质心C并垂直于轮盘的轴的回转半径为 轮与轨道间摩擦系数为f 试求在车轮滚动而不滑动的条件下 驱动力偶矩M之最大值 画出所有主动力 约束力和虚加惯性力系 P 21 动力学 由 1 得 O P 由动静法 得 由 2 得N P S 要保证车轮不滑动 必须F fN f P S 5 上式右端项即为Mmax 可见 f越大越不易滑动 把 5 代入 4 得 O P 23 动力学 例3 在图示机构中 沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O均为均质物体 各重为P和Q 半径均为R 绳子不可伸长 其质量不计 斜面倾角 如在鼓轮上作用一常力偶矩M 试求 1 鼓轮的角加速度 2 绳子的拉力 3 轴承O处的支反力 4 圆柱体与斜面间的摩擦力 不计滚动摩擦 24 动力学 解 列出动静方程 取轮A为研究对象 虚加惯性力和惯性力偶MQC如图示 取轮O为研究对象 虚加惯性力偶 25 动力学 运动学关系 将MQ RQ MQA及运动学关系代入到 1 和 4 式并联立求解得 列出动静方程 26 动力学 S2 5定轴转动刚体的轴承动反力 静平衡与动平衡的概念 一 刚体的轴承动反力刚体的角速度 角加速度 逆时针 主动力系向O点简化 主矢 主矩惯性力系向O点简化 主矢 主矩 27 动力学 See上册p518 10 6 10 7 28 动力学 根据动静法 其中有五个式子与约束反力有关 设AB l OA l1 OB l2可得 29 动力学 由两部分组成 使附加动反力为零 须有 一部分由主动力引起的 不能消除 称为静反力 一部分是由于惯性力系的不平衡引起的 称为附加动反力 它可以通过调整加以消除 30 动力学 当刚体转轴为中心惯性主轴时 轴承的附加动反力为零 31 动力学 静平衡 转轴通过刚体质心 即刚体在仅受重力而不受其它主动力时 不论位置如何 总能平衡 二 静平衡与动平衡的概念 动平衡 转动轴为中心惯性主轴时 转动时不产生附加动反力 32 动力学 例1 质量不计的转轴以角速度 匀速转动 其上固结着两个质量均为m的小球A和B 指出在图示各种情况下 哪些是静平衡的 哪些是动平衡的 静平衡 静平衡 动平衡 33 动力学 动平衡的刚体 一定是静平衡的 反过来 静平衡的刚体 不一定是动平衡的 作业 P40417 44P41717 70P43117 103P43317 109 P517R2 33 35 动力学 例4 质量为m1和m2的两重物 分别挂在两条绳子上 绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上 已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为I 系统在重力作用下发生运动 求鼓轮的角加速度 取系统为研究对象 解 36 动力学 虚加惯性力和惯性力偶 由动静法 列补充方程 代入上式得 37 动力学 例5 均质圆柱体重为P 半径为R 无滑动地沿倾斜平板由静止自O点开始滚动 平板对水平线的倾角为 试求OA S时平板在O点的约束反力 板的重力略去不计 解 1 用动能定理求速度 加速度圆柱体作平面运动 在初始位置时 处于静止状态 故T1 0 在末位置时 设角速度为 则vC R 动能为 P 38 动力学 主动力的功 由动能定理得 对t求导数 则 2 用达朗伯原理求约束反力 取系统为研究对象 虚加惯性力和惯性力偶MQC P