全等三角形.doc

解答题（共30小题）1（2010顺义区）已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分DAE，AEBE，垂足为E求证：AD=AE2（2010十堰）如图，ABC中，AB=AC，BDAC，CEAB求证：BD=CE3（2008台州）CD经过BCA顶点C的一条直线，CA=CBE，F分别是直线CD上两点，且BEC=CFA=（1）若直线CD经过BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：如图1，若BCA=90，=90，则BE_CF；EF_|BEAF|（填“”，“”或“=”）；如图2，若0BCA180，请添加一个关于与BCA关系的条件_，使中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立（2）如图3，若直线CD经过BCA的外部，=BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）4（2007绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD中，AC平分DAB，DAB=60，B与D互补，求证：AB+AD=AC小敏反复探索，不得其解她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题（1）特殊情况入手添加条件：“B=D”，如图2，可证AB+AD=AC；（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F（请你补全证明）5（2005内江）如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A，B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程6（2002呼和浩特）如图，ABC中，ACB=90，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CFAE，垂足为F，过B作BDBC交CF的延长线于D（1）求证：AE=CD；（2）若AC=12cm，求BD的长7把两个含有45角的大小不同的直角三角板如图放置，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F说明：AFBE8如图，在ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BDDE于D，CEDE于点E；（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD=CE求证：ABAC；（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由9如图，ABC中，ABC=BAC=45，点P在AB上，ADCP，BECP，垂足分别为D，E，已知DC=2，求BE的长10如图，已知在ABC中，AB=AC，BAC=90，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F（1）如图过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE+CF；（2）如图过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：FE长11如图，已知AB=AC，BDAC于D，CEAB于E，BD、CE相交于F，请说明BE=CD12如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰RtABC（1）求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰RtAPD，过D作DEx轴于E点，求OPDE的值13如图，等腰直角ACB，ACB=90，CA=CB操作：如图1，过点A任作一条直线（不经过点C和点B）交BC所在直线于点D，过点B作BFAD交AD于点F，交AC所在直线于点E，连接DE（1）猜想CDE的形状；（2）请你利用图2、图3作与上述位置不同的直线，然后按上述方法操作画出相应的图形；（3）在经历（2）之后，若你认为（1）中的结论是成立的，请你利用图2加以证明；若你认为不成立，请你利用其中一图说明理由14如图，A=B=90，E是AB上的一点，且AE=BC，1=2（1）RtADE与RtBEC全等吗？并说明理由；（2）CDE是不是直角三角形？并说明理由15（2012珠海）如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45得到正方形ABCD（此时，点B落在对角线AC上，点A落在CD的延长线上），AB交AD于点E，连接AA、CE求证：（1）ADACDE；（2）直线CE是线段AA的垂直平分线16（2012镇江）如图，在四边形ABCD中，ADBC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且GDF=ADF（1）求证：ADEBFE；（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由17（2012岳阳）（1）操作发现：如图，D是等边ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边DCF，连接AF你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论（2）类比猜想：如图，当动点D运动至等边ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：如图，当动点D在等边ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边DCF和等边DCF，连接AF、BF，探究AF、BF与AB有何数量关系？并证明你探究的结论如图，当动点D在等边边BA的延长线上运动时，其他作法与图相同，中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论18（2012扬州）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，ABC=CDA=90，BEAD，垂足为E求证：BE=DE19（2012烟台）（1）问题探究如图1，分别以ABC的边AC与边BC为边，向ABC外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2，过点C作直线KH交直线AB于点H，使AHK=ACD1作D1MKH，D2NKH，垂足分别为点M，N试探究线段D1M与线段D2N的数量关系，并加以证明（2）拓展延伸如图2，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C作直线K1H1，K2H2，分别交直线AB于点H1，H2，使AH1K1=BH2K2=ACD1作D1MK1H1，D2NK2H2，垂足分别为点M，ND1M=D2N是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由如图3，若将中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变D1M=D2N是否仍成立？（要求：在图3中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）20（2012襄阳）如图，在ABC中，AB=AC，ADBC于点D，将ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，点D落在点E处，AE的延长线交CB的延长线于点M，EB的延长线交AD的延长线于点N求证：AM=AN21（2012泰安）如图，在ABC中，ABC=45，CDAB，BEAC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，ABE=CBE（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；（2）求证：BG2GE2=EA222（2012沈阳）已知，如图，MON=60，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），且AB=4，在MON的内部，AOB的外部有一点P，且AP=BP，APB=120（1）求AP的长；（2）求证：点P在MON的平分线上（3）如图，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP当ABOP时，请直接写出四边形CDEF的周长的值；若四边形CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围23（2012山西）问题情境：将一副直角三角板（RtABC和RtDEF）按图1所示的方式摆放，其中ACB=90，CA=CB，FDE=90，O是AB的中点，点D与点O重合，DFAC于点M，DEBC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：解：OM=ON，证明如下：连接CO，则CO是AB边上中线，CA=CB，CO是ACB的角平分线（依据1）OMAC，ONBC，OM=ON（依据2）反思交流：（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：_依据2：_（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程拓展延伸：（3）将图1中的RtDEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程24（2012南充）在RtPOQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与POQ的两直角边分别交于点A、B（1）求证：MA=MB；（2）连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，AOB的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由25（2012泸州）如图，ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE求证：AEBC26（2012阜新）（1）如图，在ABC和ADE中，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE=90当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；将图1中的ADE绕点A顺时针旋转角（090），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由（2）当ABC和ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由甲：AB：AC=AD：AE=1，BAC=DAE90；乙：AB：AC=AD：AE1，BAC=DAE=90；丙：AB：AC=AD：AE1，BAC=DAE9027（2012长春）感知：如图，点E在正方形ABCD的边BC上，BFAE于点F，DGAE于点G，可知ADGBAF（不要求证明）拓展：如图，点B、C分别在MAN的边AM、AN上，点E、F在MAN内部的射线AD上，1、2分别是ABE、CAF的外角已知AB=AC，1=2=BAC，求证：ABECAF应用：如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，ABBC点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，1=2=BAC若ABC的面积为9，则ABE与CDF的面积之和为_28（2011绍兴）数学课上，李老师出示了如下框中的题目小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系请你直接写出结论：AE_DB（填“”，“”或“=”）（2）特例启发，解答題目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE_DB（填“”，“”或“=”）理由如下：如图2，过点E作EFBC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC若ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）29（2011沈阳）已知，ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）以AD为边作菱形ADEF，使DAF=60，连接CF（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：ADB=AFC；请直接判断结论AFC=ACB+DAC是否成立；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，结论AFC=ACB+DAC是否成立？请写出AFC、ACB、DAC之间存在的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当点D在边CB的延长线上时，且点A、F分别在直线BC的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出AFC、ACB、DAC之间存在的等量关系30（2011山西）如图（1），RtABC中，ACB=90，CDAB，垂足为DAF平分CAB，交CD于点E，交CB于点F（1）求证：CE=CF（2）将图（1）中的ADE沿AB向右平移到ADE的位置，使点E落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示试猜想：BE与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1（2010顺义区）已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分DAE，AEBE，垂足为E求证：AD=AE考点：直角三角形全等的判定；全等三角形的性质。723928 专题：证明题。分析：求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，结合本题，证ADBAEB即可解答：证明：AB=AC，点D是BC的中点，ADB=90，AEEB，E=ADB=90，AB平分DAE，1=2；在ADB和AEB中，ADBAEB（AAS），AD=AE点评：此题考查简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明，要判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件2（2010十堰）如图，ABC中，AB=AC，BDAC，CEAB求证：BD=CE考点：直角三角形全等的判定；全等三角形的性质。723928 专题：证明题。分析：欲证BD、CE两边相等，只需证明这两边所在的ABD与ACE全等，这两个三角形，有一对直角相等，公共角A，AB=AC，所以两三角形全等解答：证明：BDAC，CEAB，ADB=AEC=90在ABD和ACE中，ABDACE（AAS）BD=CE点评：本题考查证明两边相等的方法，证明这两边所在的三角形全等选择要证的三角形时要结合图形及已知条件3（2008台州）CD经过BCA顶点C的一条直线，CA=CBE，F分别是直线CD上两点，且BEC=CFA=（1）若直线CD经过BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：如图1，若BCA=90，=90，则BE=CF；EF=|BEAF|（填“”，“”或“=”）；如图2，若0BCA180，请添加一个关于与BCA关系的条件+BCA=180，使中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立（2）如图3，若直线CD经过BCA的外部，=BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）考点：直角三角形全等的判定；三角形内角和定理。723928 专题：几何综合题。分析：由题意推出CBE=ACF，再由AAS定理证BCECAF，继而得答案解答：解：（1）BCA=90，=90，BCE+CBE=90，BCE+ACF=90，CBE=ACF，CA=CB，BEC=CFA；BCECAF，BE=CF；EF=|BEAF|所填的条件是：+BCA=180证明：在BCE中，CBE+BCE=180BEC=180BCA=180，CBE+BCE=BCA又ACF+BCE=BCA，CBE=ACF，又BC=CA，BEC=CFA，BCECAF（AAS）BE=CF，CE=AF，又EF=CFCE，EF=|BEAF|（2）EF=BE+AF点评：本题综合考查全等三角形、等边三角形和四边形的有关知识注意对三角形全等，相似的综合应用4（2007绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD中，AC平分DAB，DAB=60，B与D互补，求证：AB+AD=AC小敏反复探索，不得其解她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题（1）特殊情况入手添加条件：“B=D”，如图2，可证AB+AD=AC；（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F（请你补全证明）考点：直角三角形全等的判定。723928 专题：证明题；开放型。分析：（1）如果：“B=D”，根据B与D互补，那么B=D=90，又因为DAC=BAC=30，因此我们可在直角三角形ADC和ABC中得出AD=AB=AC，那么AD+AB=AC（2）按（1）的思路，作好辅助线后，我们只要证明三角形CFD和BCD全等即可得到（1）的条件根据AAS可证两三角形全等，DF=BE然后按照（1）的解法进行计算即可解答：证明：（1）B=D=90，CAD=CAB=30，AB=AC，AD=AB+AD=（2）由（1）知，AE+AF=AC，AC为角平分线，CFCD，CEAB，CE=CF而ABC与D互补，ABC与CBE也互补，D=CBE在RtCDF与RtCBE中，RtCDFRtCBEDF=BEAB+AD=AB+（AF+FD）=（AB+BE）+AF=AE+AF=AC点评：本题考查了直角三角形全等的判定及性质；通过辅助线来构建全等三角形是解题的常用方法，也是解决本题的关键5（2005内江）如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A，B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程考点：直角三角形全等的判定。723928 专题：探究型。分析：分析图可知，全等三角形为：ACDCBE根据这两个三角形中的数量关系选择ASA证明全等解答：解：全等三角形为：ACDCBE证明如下：由题意知CAD+ACD=90，ACD+BCE=90，CAD=BCE在ACD与CBE中，ACDCBE（AAS）点评：本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角6（2002呼和浩特）如图，ABC中，ACB=90，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CFAE，垂足为F，过B作BDBC交CF的延长线于D（1）求证：AE=CD；（2）若AC=12cm，求BD的长考点：直角三角形全等的判定；全等三角形的性质。723928 专题：计算题；证明题。分析：（1）证两条线段相等，通常用全等，本题中的AE和CD分别在三角形AEC和三角形CDB中，在这两个三角形中，已经有一组边相等，一组角相等了，因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答（2）由（1）得BD=EC=BC=AC，且AC=12，即可求出BD的长解答：（1）证明：DBBC，CFAE，DCB+D=DCB+AEC=90D=AEC又DBC=ECA=90，且BC=CA，DBCECA（AAS）AE=CD（2）解：由（1）得AE=CD，AC=BC，CDBAEC（HL）BD=EC=BC=AC，且AC=12BD=6点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件7把两个含有45角的大小不同的直角三角板如图放置，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F说明：AFBE考点：直角三角形全等的判定；全等三角形的性质。723928 专题：证明题。分析：可通过全等三角形将相等的角进行转换来得出结论本题中我们可通过证明三角形BEC和ACD全等得出FBD=CAD，根据CAD+CDA=90，而BDF=ADC，因此可得出BFD=90，进而得出结论那么证明三角形BED和ACD就是解题的关键，两直角三角形中，EC=CD，BC=AC，两直角边对应相等，因此两三角形就全等了解答：证明：AFBE，理由如下：由题意可知DEC=EDC=45，CBA=CAB=45，EC=DC，BC=AC，又DCE=DCA=90，ECD和BCA都是等腰直角三角形，EC=DC，BC=AC，ECD=ACB=90在BEC和ADC中EC=DC，ECB=DCA，BC=AC，BECADC（SAS）EBC=DACDAC+CDA=90，FDB=CDA，EBC+FDB=90BFD=90，即AFBE点评：本题考查了全等三角形的判定，通过全等三角形来将相等的角进行适当的转换是解题的关键8如图，在ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BDDE于D，CEDE于点E；（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD=CE求证：ABAC；（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由考点：直角三角形全等的判定；全等三角形的性质。723928 专题：证明题；探究型。分析：（1）由已知条件，证明ABDACE，再利用角与角之间的关系求证BAD+CAE=90，即可证明ABAC；（2）同（1），先证ABDACE，再利用角与角之间的关系求证BAD+CAE=90，即可证明ABAC解答：（1）证明：BDDE，CEDE，ADB=AEC=90，在RtABD和RtACE中，RtABDRtACEDAB=EAC，DBA=ACEDAB+DBA=90，EAC+ACE=90，BAD+CAE=90BAC=180（BAD+CAE）=90ABAC（2）ABAC理由如下：同（1）一样可证得RtABDRtACEDAB=ECA，DBA=EAC，CAE+ECA=90，CAE+BAD=90，即BAC=90，ABAC点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，借助全等三角形的性质得到相等的角，然后证明垂直是经常使用的方法，注意掌握、应用9如图，ABC中，ABC=BAC=45，点P在AB上，ADCP，BECP，垂足分别为D，E，已知DC=2，求BE的长考点：直角三角形全等的判定；全等三角形的性质。723928 分析：已知了CD的长，求BE的长，可通过证明三角形BEC和ACD全等来得出这两个三角形中已知的条件只有一组直角，根据ABC=BAC=45，因此ACB=90，AC=BC，我们发现DAC和BCE同为ACD的余角，因此DAC=BCE，这样就构成了三角形ACD和BCE全等的条件，两三角形全等这样就能求出BE、CD的关系就能得出BE的长解答：解：ABC=BAC=45ACB=90，AC=BCDAC+ACD=90，BCE+ACD=90DAC=BCE又ADC=CEBACDCEBBE=CD=2点评：此题考查简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明，等腰直角三角形在直角三角形的题目中经常出现，注意应用等角对等边来解题10如图，已知在ABC中，AB=AC，BAC=90，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F（1）如图过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE+CF；（2）如图过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：FE长考点：直角三角形全等的判定；全等三角形的性质。723928 专题：计算题；证明题。分析：此题根据已知条件容易证明BEAAFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；（2）根据（1）知道BEAAFC仍然成立，再根据对应边相等就可以求出EF了解答：（1）证明：BEEA，CFAF，BAC=BEA=CFE=90，EAB+CAF=90，EBA+EAB=90，CAF=EBA，在ABE和AFC中，BEA=AFC=90，EBA=CAF，AB=AC，BEAAFCEA=FC，BE=AFEF=EA+AF（2）解：BEEA，CFAF，BAC=BEA=CFE=90，EAB+CAF=90，ABE+EAB=90，CAF=ABE，在ABE和ABF中，BEA=AFC=90，EBA=CAF，AB=AC，BEAAFCEA=FC=3，BE=AF=10EF=AFCF=103=7点评：此题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题11如图，已知AB=AC，BDAC于D，CEAB于E，BD、CE相交于F，请说明BE=CD考点：直角三角形全等的判定；全等三角形的性质。723928 专题：证明题。分析：根据已知利用AAS判定ABDACE，则AD=AE，因为AC=AB，得证解答：解：理由：AB=AC，ADB=AEC=90，A=A，ABDACEAD=AEAC=AB，ACAD=ABAEBE=CD点评：此题考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，本题比较简单12如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰RtABC（1）求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰RtAPD，过D作DEx轴于E点，求OPDE的值考点：直角三角形全等的判定。723928 专题：动点型。分析：如图1，过C作CMx轴于M点，则可以求出MACOBA，可得CM=OA=2，MA=OB=4，故点C的坐标为（6，2）如图2，过D作DQOP于Q点，则DE=OQ利用三角形全等的判定定理可得AOPPQD（AAS）进一步可得PQ=OA=2，即OPDE=2解答：解：（1）如图1，过C作CMx轴于M点，MAC+OAB=90，OAB+OBA=90，则MAC=OBA，在MAC和OBA中MACOBA（AAS），CM=OA=2，MA=OB=4，OM=OA+AM=2+4=6，点C的坐标为（6，2）（2）如图2，过D作DQOP于Q点，则DE=OQOPDE=OPOQ=PQ，APO+QPD=90，APO+OAP=90，QPD=OAP，在AOP和PQD中，AOPPQD（AAS）PQ=OA=2即OPDE=2点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，关键还要巧妙作出辅助线，再结合坐标轴才能解出，本题难度较大13如图，等腰直角ACB，ACB=90，CA=CB操作：如图1，过点A任作一条直线（不经过点C和点B）交BC所在直线于点D，过点B作BFAD交AD于点F，交AC所在直线于点E，连接DE（1）猜想CDE的形状；（2）请你利用图2、图3作与上述位置不同的直线，然后按上述方法操作画出相应的图形；（3）在经历（2）之后，若你认为（1）中的结论是成立的，请你利用图2加以证明；若你认为不成立，请你利用其中一图说明理由考点：直角三角形全等的判定。723928 专题：探究型。分析：（1）猜想CDE是等腰直角三角形；（2）据要求画出图形；（3）只要证得ACDBEC，可得到CD=CE，即可得到结论；解答：解：（1）由AC=BC，ACD=BCE，容易猜想到ACDBEC，那么CD=CE，则CDE是等腰直角三角形；（2）据要求画出图形如下：（3）结论成立；证明：ACB=90，AFBE，FDB+B=90B+CEB=90，FDB=CEB；又FDB=ADC（对顶点角相等），ADC=CEB；在直角三角形ACD和BCE中，CA=CB，ADC=CEB，ACB=BCE=90，ACDBEC；CD=CE，CDE是等腰直角三角形即猜想CDE是等腰直角三角形结论成立点评：此题主要考查直角三角形全等的判定，要利用已知条件寻找缺少的条件判定三角形全等，解题关键在于证明两腰相等14如图，A=B=90，E是AB上的一点，且AE=BC，1=2（1）RtADE与RtBEC全等吗？并说明理由；（2）CDE是不是直角三角形？并说明理由考点：直角三角形全等的判定；全等三角形的性质。723928 分析：（1）根据1=2，得DE=CE，利用“HL”可证明RtADERtBEC；（2）是直角三角形，由RtADERtBEC得，3=4，从而得出4+5=90，则CDE是直角三角形解答：解：（1）全等，理由是：1=2，DE=CE，A=B=90，AE=BC，RtADERtBEC（HL）；（2）是直角三角形，理由是：RtADERtBEC，3=4，3+5=90，4+5=90，DEC=90，CDE是直角三角形点评：考查了直角三角形的判定，全等三角形的性质，做题时要结合图形，在图形上找条件15（2012珠海）如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45得到正方形ABCD（此时，点B落在对角线AC上，点A落在CD的延长线上），AB交AD于点E，连接AA、CE求证：（1）ADACDE；（2）直线CE是线段AA的垂直平分线考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；正方形的性质；旋转的性质。723928 专题：证明题。分析：（1）根据正方形的性质可得AD=CD，ADC=90，EAD=45，则ADE=90，再计算出AED=45，根据等角对等边可得AD=ED，即可利用SAS证明AADCED；（2）首先由AC=AC，可得点C在AA的垂直平分线上；再证明AEBAED，可得AE=AE，进而得到点E也在AA的垂直平分线上，再根据两点确定一条直线可得直线CE是线段AA的垂直平分线解答：证明：（1）四边形ABCD是正方形，AD=CD，ADC=90，ADE=90，根据旋转的方法可得：EAD=45，AED=45，AD=DE，在AAD和CED中，AADCED（SAS）；（2）AC=AC，点C在AA的垂直平分线上，AC是正方形ABCD的对角线，CAE=45，AC=AC，CD=CB，AB=AD，在AEB和AED中，AEBAED，AE=AE，点E也在AA的垂直平分线上，直线CE是线段AA的垂直平分线点评：此题主要考查了正方形的性质，以及旋转的性质，关键是熟练掌握正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；找准旋转后相等的线段16（2012镇江）如图，在四边形ABCD中，ADBC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且GDF=ADF（1）求证：ADEBFE；（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由考点：全等三角形的判定与性质。723928 专题：证明题。分析：（1）由AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，再由一对对顶角相等及E为AB中点得到一对边相等，利用AAS即可得出ADEBFE；（2）GDF=ADE，以及（1）得出的ADE=BFE，等量代换得到GDF=BFE，利用等角对等边得到GF=GD，即三角形GDF为等腰三角形，再由（1）得到DE=FE，即GE为底边上的中线，利用三线合一即可得到GE与DF垂直解答：（1）证明：ADBC，ADE=BFE，E为AB的中点，AE=BE，在AED和BFE中，AEDBFE（AAS）；（2）解：EG与DF的位置关系是EGDF，理由为：连接EG，GDF=ADE，ADE=BFE，GDF=BFE，由（1）AEDBFR得：DE=EF，即GE为DF上的中线，GEDF点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键17（2012岳阳）（1）操作发现：如图，D是等边ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边DCF，连接AF你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论（2）类比猜想：如图，当动点D运动至等边ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：如图，当动点D在等边ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边DCF和等边DCF，连接AF、BF，探究AF、BF与AB有何数量关系？并证明你探究的结论如图，当动点D在等边边BA的延长线上运动时，其他作法与图相同，中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。723928 专题：几何综合题。分析：（1）根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得BCDACF；然后由全等三角形的对应边相等知AF=BD；（2）通过证明BCDACF，即可证明AF=BD；（3）AF+BF=AB；利用全等三角形BCDACF（SAS）的对应边BD=AF；同理BCFACD（SAS），则BF=AD，所以AF+BF=AB；中的结论不成立新的结论是AF=AB+BF；通过证明BCFACD（SAS），则BF=AD（全等三角形的对应边相等）；再结合（2）中的结论即可证得AF=AB+BF解答：解：（1）AF=BD；证明如下：ABC是等边三角形（已知），BC=AC，BCA=60（等边三角形的性质）；同理知，DC=CF，DCF=60；BCADCA=DCFDCA，即BCD=ACF；在BCD和ACF中，BCDACF（SAS），BD=AF（全等三角形的对应边相等）；（2）证明过程同（1），证得BCDACF（SAS），则AF=BD（全等三角形的对应边相等），所以，当动点D运动至等边ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，AF=BD仍然成立；（3）AF+BF=AB；证明如下：由（1）知，BCDACF（SAS），则BD=AF；同理BCFACD（SAS），则BF=AD，AF+BF=BD+AD=AB；中的结论不成立新的结论是AF=AB+BF；证明如下：在BCF和ACD中，BCFACD（SAS），BF=AD（全等三角形的对应边相等）；又由（2）知，AF=BD；AF=BD=AB+AD=AB+BF，即AF=AB+BF点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质等边三角形的三条边都相等，三个内角都是6018（2012扬州）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，ABC=CDA=90，BEAD，垂足为E求证：BE=DE考点：全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质。723928 专题：证明题。分析：作CFBE，垂足为F，得出矩形CFED，求出CBF=A，根据AAS证BAECBF，推出BE=CF即可解答：证明：作CFBE，垂足为F，BEAD，AEB=90，FED=D=CFE=90，CBE+ABE=90，BAE+ABE=90，BAE=CBF，四边形EFCD为矩形，DE=CF，在BAE和CBF中，有CBE=BAE，BFC=BEA=90，AB=BC，BAECBF，BE=CF=DE，即BE=DE点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，矩形的判定和性质的应用，关键是求出BAECBF，主要考查学生运用性质进行推理的能力19（2012烟台）（1）问题探究如图1，分别以ABC的边AC与边BC为边，向ABC外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2，过点C作直线KH交直线AB于点H，使AHK=ACD1作D1MKH，D2NKH，垂足分别为点M，N试探究线段D1M与线段D2N的数量关系，并加以证明（2）拓展延伸如图2，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C作直线K1H1，K2H2，分别交直线AB于点H1，H2，使AH1K1=BH2K2=ACD1作D1MK1H1，D2NK2H2，垂足分别为点M，ND1M=D2N是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由如图3，若将中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变D1M=D2N是否仍成立？（要求：在图3中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质；正多边形和圆。723928 专题：几何综合题。分析：（1）根据正方形的每一个角都是90可以证明AHK=90，然后利用平角等于180以及直角三角形的两锐角互余证明D1CK=HAC，再利用“角角边”证明ACH和CD1M全等，根据全等三角形对应边相等可得D1M=CH，同理可证D2N=CH，从而得证；（2）过点C作CGAB，垂足为点G，根据三角形的内角和等于180和平角等于180证明得到H1AC=D1CM，然后利用“角角边”证明ACG和CD1M全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=D1M，同理可证CG=D2N，从而得证；结论仍然成立，与的证明方法相同解答：（1）D1M=D2N（1分）证明：ACD1=90，ACH+D1CK=18090=90，AHK=ACD1=90，ACH+HAC=90，D1CK=HAC，（2分）在ACH和CD1M中，ACHCD1M（AAS），D1M=CH，（3分）同理可证D2N=CH，D1M=D2N；（4分）（2）证明：D1M=D2N成立（5分）过点C作CGAB，垂足为点G，H1AC+ACH1+AH1C=180，D1CM+ACH1+ACD1=180，AH1C=ACD1，H1AC=D1CM，（6分）在ACG和CD1M中