高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第7讲 立体几何中的向量方法(二)——求空间角课件.ppt

第7讲立体几何中的向量方法 二 求空间角 最新考纲1 能用向量方法解决直线与直线 直线与平面 平面与平面的夹角的计算问题 2 了解向量方法在研究立体几何问题中的应用 知识梳理 1 异面直线所成的角设a b分别是两异面直线l1 l2的方向向量 则 2 求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a 平面 的法向量为n 直线l与平面 所成的角为 则sin 3 求二面角的大小 1 如图 ab cd是二面角 l 的两个面内与棱l垂直的直线 则二面角的大小 cos a n 2 如图 n1 n2分别是二面角 l 的两个半平面 的法向量 则二面角的大小 满足 cos 二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角 或其补角 cos n1 n2 诊断自测 1 判断正误 在括号内打 或 2 人教a选修2 1p104练习2改编 已知两平面的法向量分别为m 0 1 0 n 0 1 1 则两平面所成的二面角为 a 45 b 135 c 45 或135 d 90 答案c 答案a c 5 2016 济南模拟 过正方形abcd的顶点a作线段pa 平面abcd 若ab pa 则平面abp与平面cdp所成的二面角为 答案45 考点一求异面直线所成的角 图1 图2 答案1 考点二利用空间向量求直线与平面所成的角 例2 2016 舟山高三联考 在平面四边形abcd中 ab bd cd 1 ab bd cd bd 将 abd沿bd折起 使得平面abd 平面bcd 如图 1 求证 ab cd 2 若m为ad中点 求直线ad与平面mbc所成角的正弦值 1 证明 平面abd 平面bcd 平面abd 平面bcd bd ab 平面abd ab bd ab 平面bcd 又cd 平面bcd ab cd 规律方法利用向量法求线面角的方法 1 分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量 转化为求两个方向向量的夹角 或其补角 2 通过平面的法向量来求 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角 取其余角就是斜线和平面所成的角 考点三利用空间向量求二面角 例3 2015 山东卷 如图 在三棱台def abc中 ab 2de g h分别为ac bc的中点 1 求证 bd 平面fgh 2 若cf 平面abc ab bc cf de bac 45 求平面fgh与平面acfd所成的角 锐角 的大小 1 证明法一如图1 连接dg cd 设cd gf o 连接oh 在三棱台def abc中 ab 2de g为ac的中点 可得df gc df gc 所以四边形dfcg为平行四边形 则o为cd的中点 又h为bc的中点 所以oh bd 又oh 平面fgh bd 平面fgh 所以bd 平面fgh 图1 法二在三棱台def abc中 由bc 2ef h为bc的中点 可得bh ef bh ef 所以四边形bhfe为平行四边形 可得be hf 在 abc中 g为ac的中点 h为bc的中点 所以gh ab 又gh hf h 所以平面fgh 平面abed 因为bd 平面abed 所以bd 平面fgh 图2 图3 规律方法利用向量计算二面角大小的常用方法 1 找法向量法 分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量 然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小 但要注意结合实际图形判断所求角的大小 2 找与棱垂直的方向向量法 分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量 则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小 训练3 2014 辽宁卷 如图 abc和 bcd所在平面互相垂直 且ab bc bd 2 abc dbc 120 e f分别为ac dc的中点 1 求证 ef bc 2 求二面角e bf c的正弦值 思想方法 1 利用空间向量求空间角 避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦 使空间点 线 面的位置关系的判定和计算程序化 简单化 主要是建系 设点 计算向量的坐标 利用数量积的夹角公式计算 2 合理建立空间直角坐标系 1 使用空间向量解决立体几何问题的关键环节之一就是建立空间直角坐标系 建系方法的不同可能导致解题的简繁程度不同 2 一般来说 如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时 就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系 如果不存在这样的三条直线 则应尽可能找两条垂直相交的直线 以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系 即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点 3 建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系 在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系 在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系 易错防范 1 异面直线所成的角与其方向向量的夹角 当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时 就是该异面直线的夹角 否则向量夹角的补角是