2019版高考数学复习椭圆双曲线抛物线高考达标检测四十三圆锥曲线的综合问题__定点定值探索性问题理.docx

高考达标检测（四十三） 圆锥曲线的综合问题定点、定值、探索性问题1.如图，已知椭圆C：1(ab0)的离心率是，其中一个顶点为B(0,1)(1)求椭圆C的方程；(2)设P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点，且BPBQ.试问：直线PQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由. 解：(1)设椭圆C的半焦距为c.依题意，得b1，且e2 ，解得a24，所以椭圆C的方程为y21.(2)直线PQ恒过定点法一：易知，直线PQ的斜率存在，设其方程为ykxm，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程代入x24y24，消去y，整理得 (14k2)x28kmx4m240.则x1x2，x1x2. 因为BPBQ，且直线BP，BQ的斜率均存在，所以1，整理得 x1x2y1y2(y1y2)10. 因为y1kx1m，y2kx2m，所以y1y2k(x1x2)2m，y1y2k2x1x2mk(x1x2)m2. 将代入，整理得(1k2)x1x2k(m1)(x1x2)(m1)20. 将代入，整理得5m22m30.解得m或m1(舍去)所以直线PQ恒过定点.法二：直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为ykx1.将直线BP的方程代入x24y24，消去y，得 (14k2)x28kx0.解得x0或x.设P(x1，y1)，所以x1，y1kx11，所以P.以替换点P坐标中的k，可得Q.从而，直线PQ的方程是.依题意，若直线PQ过定点，则定点必定在y轴上在上述方程中，令x0，解得y.所以直线PQ恒过定点.2已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2.(1)求椭圆C的方程；(2)设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OAOB. 求证：原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值解：(1)由题意知，e，2，又a2b2c2，所以a2，c，b1，所以椭圆C的方程为y21.(2)证明：当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x，此时，原点O到直线AB的距离为.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得(14k2)x28kmx4m240.则(8km)24(14k2)(4m24)16(14k2m2)0，x1x2，x1x2，则y1y2(kx1m)(kx2m)，由OAOB得kOAkOB1，即1，所以x1x2y1y20，即m2(1k2)，所以原点O到直线AB的距离为.综上，原点O到直线AB的距离为定值.3已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2xy60相切(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点A，B为动直线yk(x2)(k0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得2为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由解：(1)由e，得，即ca， 又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2y2a2，且该圆与直线2xy60相切，所以a，代入得c2，所以b2a2c22，所以椭圆C的标准方程为1.(2)由得(13k2)x212k2x12k260.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x2，x1x2.根据题意，假设x轴上存在定点E(m,0)，使得2()为定值，则(x1m，y1)(x2m，y2)(x1m)(x2m)y1y2(k21)x1x2(2k2m)(x1x2)(4k2m2)，要使上式为定值，即与k无关，只需3m212m103(m26)，解得m，此时， 2m26，所以在x轴上存在定点E使得2为定值，且定值为.4已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为F(1,0)，且点P在椭圆C上，O为坐标原点(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过定点T(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围；(3)过椭圆C1：1上异于其顶点的任一点P，作圆O：x2y2的两条切线，切点分别为M，N(M，N不在坐标轴上)，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m，n，证明：为定值解：(1)由题意得c1，所以a2b21， 又点P在椭圆C上，所以1， 由可解得a24，b23，所以椭圆C的标准方程为1.(2)设直线l的方程为ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(4k23)x216kx40，因为16(12k23)0，所以k2，则x1x2，x1x2.因为AOB为锐角，所以0，即x1x2y1y20，所以x1x2(kx12)(kx22)0，所以(1k2)x1x22k(x1x2)40，即(1k2)2k40，解得k2，所以k2，解得k或k.所以直线l的斜率k的取值范围为.(3)证明：由(1)知椭圆C1的方程为1，设P(x0，y0)，M(x3，y3)，N(x4，y4)，因为M，N不在坐标轴上，所以kPM，直线PM的方程为yy3(xx3)，化简得x3xy3y， 同理可得直线PN的方程为x4xy4y. 把P点的坐标代入得所以直线MN的方程为x0xy0y.令y0，得m，令x0，得n，所以x0，y0，又点P在椭圆C1上，所以2324，即，为定值已知椭圆的两个焦点为F1(，0)，F2(，0)，M是椭圆上一点，若0，|8.(1)求椭圆的方程；(2)直线l过右焦点F2(，0) (不与x轴重合)且与椭圆相交于不同的两点A，B，在x轴上是否存在一个定点P(x0,0)，使得的值为定值？若存在，写出P点的坐标；若不存在，说明理由解：(1)由题意知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为1(ab0), 则c，|2|2(2c)220.又|8，(|)2|2|22|36，解得|6，即2a6，则a3，b2a2c24，椭圆的方程为1.(2)当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x)，代入椭圆方程并消元整理得，(9k24)x218k2x45k2360.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2， y1y2k2(x1)(x2)k2x1x2(x1x2)5，所以(x1x0，y1)(x2x0，y2)(x1x0)(x2x0)y1y2x