数学建模特等奖论文 在多个机场大厅的飞机场里分配轮椅使其利润最大化.doc

在多个机场大厅的飞机场里分配轮椅使其利润最大化摘要为了使Epsilon航空公司为乘客提供轮椅的成本最小化，我们对其显性成本（椅子和人员）与隐性成本（市场损失）进行了分析。从而建立了多机场大厅模型并对护送队、轮椅和乘客之间的相互作用进行了模拟。另外，还利用对策论建立了航空公司竞争模型来模拟各航空公司寻求利润的行为。把这些模型应用于现实中，我们收集了大量的图示数据，还对西南航空公司2005年的航班数据（来自Midland TX Columbus OH和St.Louis MO）进行了研究。最后，我们为Epsilon航空公司总结出一个可以称作“车辐式空运系统”的策略即在每个机场大厅里设置“轮椅补给站”来实现轮椅合理的使用。通过比较不同大小的机场和策略，我们发现每个机场大厅设置两个护送人员，每个护送人员配备两个轮椅是最合适的。引言根据美国交通运输部门制定的“运送者有责任在航班间连接以及在各个门口处的运送作出相应的协助对于那些需要协助的乘客”2003 ，我们对航空公司从航班抵达到转接航班护送乘客的程序进行了研究，发现年龄越大，越需要帮助。因此，我们建立了两个模型:（1）多机场大厅模型。通过这个模型模拟了乘客、轮椅以及航空公司员工之间在一个机场内的相互作用，这里的乘客包括每个乘客以及那些耽误了航班的乘客。用三个算法中的一个算法将那些需要轮椅协助的乘客护送通过机场。（2）航空公司竞争模型。该模型模拟了大约40年的市场竞争环境。其中，利润是基于成本和市场份额来综合计算得出来的，而市场份额是受顾客满意度影响的。所以航空公司竞争模型是一种精确的、客观的用来评价轮椅分配策略价值的方法。关键词l 门：乘客登机的入口。一个给定的门用表示，为机场大厅，为机场大厅里的门。l 机场大厅：门的集合。机场大厅含有个门，它代表一组向量l 机场：机场大厅的集合。这里我们看成一个图。l 乘客：机场里面的游客，有终点抵达的，也有转机的。我们用WPs表示用轮椅的乘客。l 客流量：机场里的乘客。客流量水平影响着在各个门之间需要护送的WPs人数。l 轮椅补给站：存储轮椅的地方。在“车辐式空运系统”策略中，每个机场大厅中都设置一个补给站。l 护送人员：负责将从抵达站大门出来的WPs转到转机站大门的机场工作人员。l 错过航班：当乘客在转机航班等待15分钟后仍然没有到达，他们将被落下。l 策略：护送人员和轮椅在机场里流动的规则。基本假设机场设计在一个机场内一般有1到10个机场大厅，而每个机场大厅有2到50个门。在同一个机场大厅里所有的门都是相邻的，但是不同大厅之间的护送时间较长，所以本文假设大厅之间的护送时间远远大于一个大厅内部的护送时间。在图表里我们用结点代表机场大厅和门。 表1：变量及其含义变量定义机场，有许多机场大厅的图示机场大厅，的一个结点在A中机场大厅的个数第个机场大厅内的第个门机场大厅里门的数量模拟一天的模型模拟一年的模型航空公司在时间的市场份额在时间时背离航空公司的乘客数年机场客流人数策略乘客需要的轮椅在所有轮椅中的比护送人员与WPs乘客数量的比年轮椅的数量 年护送队的数量耽误一次航班的有效损失表2： 常量及其数值常量定义数值护送人员的工资（包括奖金）$40,000/年轮椅的购入价格$135航班等一个乘客的最大时间15分钟WPs在乘客中的比例1.6%WPs乘客提前通知航班的概率95%护送人员正常行走的速度250英尺/分护送人员推轮椅时的行走速度180英尺/分航班在跑道上耽误一分钟的有效损失0.0005每把椅子在门前闲置一分钟的有效损失0.0001存储一个轮椅的成本$50/年每个乘客为航空公司带来的利润$4.51乘客轮椅需求量WPs乘客占总乘客的比例为（在1996年是1.5%）Conway 2001， 在2006年是1.6%（这是我们开始模拟的年份）。占WPs乘客中的比例为的乘客会在航班抵达前通知航空公司，为此我们假定。由于，故我们利用二项分布找出一个函数来描述一架即将抵达的航班上的WPs乘客数（见表3）。表3：一架可容纳120名乘客的航班上不可预期的WPs乘客不可预期的乘客比例091.3918.2320.3730.01致使一个WP错过转机航班的两种情况：l 航班晚点：粗略的估计约有1/3的航班晚点，而至少晚点一个小时的航班约占5%美国交通运输部门。l 护送人员的行进速度缓慢：我们将尽可能的改善这种情况。机场大厅内的运输情况l 一个人正常行走的平均速度为250英尺/分，而当其胳膊被固定住行走时（相当于推一个轮椅时）平均速度仅为180英尺/分 Gross and Shi 2001 。因此，我们假设护送人员的行走速度为180英尺/分。l 每个护送人员每次只能使用一个轮椅。美国交通运输部门不允许把WPs乘客落下没人照顾。因此，护送人员需要将WPs乘客护送到其所要乘坐的转接航班直至该航班起飞。l 为乘客服务的机场工作人员（护送人员）平均每小时赚$11.8；每个护送人员一年的工资成本是=$40,000 Bureau of Labor Statiscs 2004。而轮椅是以$135/个买进的Transport Wheelchair 2005。l 由于航空公司等待那些需要转机但航班晚点的乘客最多15分钟，所以那些乘客将会被落下。l 护送人员是通过无线电话联络的。市场份额和延误轮椅服务不仅是一个法定的义务，而且从顾客的角度来看，这还是一个很不错的想法。同时也提升了市场的竞争力。错过转机航班的乘客(由于轮椅使用不合理或者航班晚点)一定要等下一次航班(也许几个小时也许要过夜)。否则，乘客可能会错过下一次的转机航班。多机场大厅模型正式定义设A是一个有C个机场大厅和每个机场大厅有个门的机场，其中是机场大厅里门的数量,同样，代表护送人员与WPs乘客数的比，代表WPs乘客需要的轮椅在所有轮椅中的比。护送人员和轮椅的使用都是通过策略来安排的。以下几个因素在机场系统中是难以控制的：l WPs在乘客中的比例；l 例如高峰日或者低峰日；l (2006年的乘客数有不同的统计)；l 轮椅成本（）和护送人员工资（）。故在模型中，我们把这些因素作为模型的外在因素，所以我们可以控制的变量只有。我们是通过减小显性成本(护送人员工资,轮椅购进价)和隐性成本(市场损失)来减小总成本的。多机场大厅模型 (MCAM)将三个可控变量与显性成本和全部延误联系到一起。其中延误包括乘客错过航班和由于缺少乘客而迟飞。设C是日常成本，D是延误带来的有效损失。我们建立了如下模型： MCAM模型利用蒙特卡罗法对短期进行了模拟，并在模拟的过程中给出了预期的日常延误和成本，并且MCAM的结果适合函数。集中延误和有效损失航空公司有一套方针即每次航班等待乘客的最大时间为分钟。航空公司可以通过增加来降低由于错过航班而引起的延误，但这又增加了乘客在飞机上等待的延误的损失；同理，降低是以增加迟滞乘客为代价的。因此，寻找一个合适的值去平息乘客对那些有可能及时到达的乘客的不满是有必要的。设很小的不可预期的延误的有效损失在时间上是线性的，所以如果一架飞机里120名乘客等待15分钟，那么总的有效损失大约是12015=1,800分钟的延误。同样，设由于错过航班的有效损失是-0,设原计划航班起飞时刻为。如果一个乘客在时刻不在门口处，但我们知道他们在赶往飞机场的路上，那么航班就会最多等待他们分钟。设为乘客晚到的时间数，那么乘客在时刻之后到达机场的可能性是，这就意味着晚到乘客的利益为，而其他乘客期望等待的时间是，尽管他们最多等待15分钟航班就会起飞。如果值选择的合适，那么等待乘客的有效损失将等于晚到乘客的利益。所以当需要N个乘客在等待时，必须满足下式： （1）根据经验，我们假定，所以设机场有足够多的护送人员和轮椅，这样就可以确保每个WP在抵达时可以立即被带到其所需的转机航班，因此，我们模拟了一些机场的和，然后将这些结果取平均值（见表4）。 表4：航班等待15分钟晚到乘客所获得的利益机场天（%）（分）Midland低延误31.55.0Columbus低延误23.26.9St.louis低延误19.88.5Midland高延误25.92.5Columbus高延误26.96.6St.louis高延误26.37.7平均值25.66.2设每个飞机的容量是120人，装载因数是0.695（即满座的69.5%）。故N=1200.695，所以，其含义是乘客错过一次航班带来的有效损失是一个乘客在飞机上等待一分钟有效损失的2000倍这是一个很合理的结果。有效损失的第三个原因在门旁边闲置的轮椅不仅不利于乘客而且也会对航班不利。一个轮椅在门旁边一分钟，它带来的有效损失相当于一个人延误一分钟带来有效损失的20%。有效损失的总计把三个有效损失结合起来，航班延误一分钟带来的有效损失等于，其中是乘客错过航班的有效损失，所以一个轮椅闲置在门口处的有效损失为0.0001。策略护送人员在做出选择的时候应该遵循策略的一些规则，包括以下几点：l 应该接待哪个WP？l 如何合理的使用轮椅？l 送走WP后该做什么？l 用完轮椅后，应该把轮椅放在哪里？MCAM做了3个策略试验，包括一个随机的和两个“智能的”。随机策略当一个WP抵达机场时，空闲的护送人员可以任意的选择把他护送到转机站门口。然后护送人员就呆在门口处等待下一个WP。智能策略这两个智能策略是从航空公司行业术语里引借来的：直接转换和车辐式空运系统。由于航空公司提前知道大多数的WPs，所以每个护送人员和每个门卫（在每个门口处的航空公司代表）都有一个预期安排好的WPs名单。WPs乘客被护送到转机站门口的时间为： H=航班起飞的时间-到达门口的时间（通过轮椅）如果一个WP提前通知航空公司，会有护送人员在抵达站门口等候他（她）。（在我们的实施方案中，预期的WPs在他们抵达前20分钟就被编到了等候的名单里。）当有不可预期的WPs抵达时，门卫将通过无线电话通知每个护送人员以便可以随时更新他们的接待名单。护送人员在空闲的时候必须向其所在的小组的报告，以便为其安排任务。而在名单顶上的WPs会被安排到离其最近的护送人员，该护送人员通常会在WP附近或在路上找到一个轮椅。以下两个智能策略的不同之处在于护送人员在护送完一个WP后应该做什么：l 直接转移：这个策略是以门为基础的，可以描述为：当一个护送人员在门送走一个WP后，他和轮椅都将停留在这个门处直至被安排下一个WP。对于下一个安排，假设在门，护送人员通过无线电话联络在门附近找到一个轮椅，故该策略可以总结为：在所有的门旁都设有轮椅。但有一个重要的缺点就是这些轮椅无人看管。l 车辐式空运系统：在每个机场大厅都设有一个轮椅补给站。当护送人员在门处送走了一个WP之后，护送人员就把轮椅送到机场大厅的补给站，因此，当没有WP需要护送时，轮椅是放在补给站的（不在门口处）。这样就解决了在客流高峰时轮椅堵在门口处的问题，而且护送人员都知道在哪里可以找到轮椅。长远的考虑MCAM模拟了单独一天的机场运营，但是为了选择一个合适轮椅策略我们应该考虑长久因素。理论上，我们的模型要从MCAM里提取数据，并且被用来模拟航空公司若干年的运营状况。存在的问题是MCAM里有许多不变的因素在10或40年里可能会改变。人口老龄化问题在2000年，美国人口的六分之一超过了60岁U.S Census Bureau 2005，并且的轮椅使用者是属于这个年龄段的。Conway2001；一个年龄超过60岁的乘客使用轮椅的可能性是一个低于60岁的乘客的13倍。在未来的20年里，超过65岁的人将以的速率增长 U.S Census Bureau 2005，我们假定2006年有1.6%的乘客需要使用轮椅；用Census Bureau的图示数据，我们计算出了未来乘客中有小部分需要使用轮椅。我们还不是很清楚这个不断增长的老龄组在未来的飞机航班中所占的比例，（这是个与收入，闲暇时间和健康因素有关的问题）。我们假定一个中间范围：整个国家用轮椅的人数与在飞机上用轮椅的人数的成比例。在我们的模型里，使用来代表每年使用轮椅的人数占总人数的比。低盈利利润在2004和2005年里，航空公司的收入由于飞机燃料价格高涨而下降，如果这个高价持续不降，航空公司将会被迫提高机票价格（出售量将会下降）或者降低利润。我们模拟这个模型是用对每位乘客赚取较少利润的长期模型而不是短期模型。航空公司竞争模型虽然这个MCAM模型模拟护送队，轮椅和WPs之间的相互作用，但不能得到一个成本最小化的策略。为了做这项研究，我们需要去模拟我们的航空公司的市场份额的改变（以顾客满意度为基础），再为他们这个举措建立一个利润函数。如果我们把未来的生意损失看成是成本的话，那么利润最大化等于成本最小化。航空公司竞争模型（ACM）是用MCAM模型得出的结论去为一组竞争的航空公司分配市场份额和收益率的模型。市场份额市场份额是一个航空公司在长期的收益率中一个很重要的因素，也是航空公司在航空业的市场比例。由于轮椅的短缺而造成乘客错过航班或者航班延误，WPs和非WPs有可能会投向其他航空公司。为此我们建立一个函数来表示乘客投向其他航空公司的总的有效损失。设有M个航空公司，是航空公司在时间的市场份额，用表示在时段末投向其他公司的乘客。假设那些背离的乘客投向（）个其他的航空公司中的任何一个的概率是相等的，则市场份额随机的处理结果是 （1）同样，我们也可以假设那些背离的乘客是按航空公司所占的市场份额把他们自己投向了其他（）个航空公司的，如下式：由于没有顾客怎样选择航空公司的数据，所以我们假设机票价格是以一个十分重要的因素。虽然机票的定价是复杂的、无规律的，但它是不会随着市场份额的变化而变化巨大的西南航空公司和微小的先锋航空公司都提供了可对比的数据2005年定价数据。由于机票价格的重要性，我们认为式子（1）更为精确。如果整个市场是按比例增长的，那么由于新乘客的选择可以保持市场份额的不变。我们可以用矩阵更好的表示出这个假设。设代表市场份额的向量，定义为元素的矩阵： 化简（1）可得 ，其中：表示且它是在矩阵的对角线上，非对角线的值都是0，是MM的单位矩阵。我们进一步改进公式如下： 多随机变量适用于短期残疾人数量比例保持恒定的情况。短期情况下，（取决于一个常量）是在平均的随机变量的乘积（在短期情况下我们不考虑时间问题）。乘客的背离以利润为基础的模型的基本原理是对由于WPs所付出的成本和与顾客满意度有关的市场份额损失的量化。从短期来看，航空公司更倾向于提供更少的服务，因为在市场份额中所产生附带的一些结果在下一阶段才能够被发现。然而，从长期来看，航空公司提供较差的服务将会使市场份额受到重创，而且利润将会下降。还有，短期成本包括购入轮椅的固定成本，而长期成本包括较少的对轮椅的维护和重新设置的成本。我们的利润公式仅是从对轮椅配置策略中获得的（或者损失的）利润来考虑的。 设为不同类型的日期，每个都有它的延误的分布状态。例如，在节日和周末前的日子里可能有较为长时间的延误。在类型为的日子，如果只以这一天航空公司的乘客的总有效损失为基础，那么该航空公司会在总的市场份额中经历一次乘客的背叛。我们还假定在这一种类型的日子里交通状况不变但是在不同类型的日子里是变化的；这些不同的交通状况影响着潜在的价值。设是每年类型为的日子。 MCAM模拟了已给定参数的乘客的总有效损失，我们得到了日背离率。这就给出了随机变量的分布，对任意的日，可以推断出这个分布的变化和意义，我们记为有序对：给出一天的保持力率 ，所以一年的总保持力率是：。对上式两边取对数由中心极限定理知,如果的价值足够大（在我们的计划中它们是35和330），我们有近似分布：这里是正态分布，在我们的模型中，我们用随机数来确定。这意味着近似这个分布：我们的利润模型是用来说明除了轮椅策略之外的所有常量因素。因为这个特点，当一名乘客错过航班时，常常是由于轮椅分配不合理所导致的。我们假定由于错过航班而引起乘客背离本航空公司去其他的航空公司的概率是。这个很高的值但它是合理的，因为对于WP来说这次过失是由于航空公司忽略了他们而没有护送他们到转机站门口而导致的。 日，航空公司在它的市场份额中有个乘客，其中有的人是在日选择航空公司。 在错过一次航班后乘客不背离航空公司的概率是。我们假定在多次错过的航班后仍然不背离的概率是指数增加的，也就是说，在错过了次航班后，乘客背离的概率是。我们用表示所有乘客的有效损失，所以每个乘客的有效损失是，用多倍的来计算错过一次航班的有效损失。单个人背离的概率是。 由大数定理可知，在一个特别的日子里，单个背叛的总数近似的等于这个随机变量的可预期的价值。因此有：延误分布的实施在我们的实施方案中，我们使用的数据是南航空公司2005年的日平均延误数据。三个机场的每一个，大约有10%的日子是延误高峰西南航空公司 2006 。所以我们把天分类为高延误（10%以上，35天）和低延误（90%以下，330天）。 西南航空公司航班的平均装载因数69.5%（即满座的69.5%）。因为高延误的日子经常是发生在出游高峰时段，我们假定航班在这种日子里是满员的，重新计算装载因数的结果为：在高延误日子里装载因数是100%，在低延误日子里装载因数是66%。当前的利润我们假定每个乘客成本和航空公司的利润是以一个不变的年增长率增长，我们设是航空公司追求的增长率。设表示航空公司在年的实际利润（由于通货膨胀而进行了调整）。如果成本和利润的每个单位都以一个不变的通货膨胀率增长的，那么就被定义为零通货膨胀。通货膨胀包括在计算长期的公司利润时的折扣因素。所以，航空公司用折扣率将当前的利润最大化：令T=40，把项目延续到2046年，现在的通货膨胀率近似为2%，所以我们设是2%，而且是将来的无风险利率，它被我们假定为常量，等于4.5%.利润公式关于轮椅策略的利润可以被分到下列因素中：l 从乘客身上获取的利润，它于市场份额成比例。l 购入和重置轮椅的成本。l 轮椅的储藏成本。l 护送人员的工资和奖金。 我们从这些因素中的找出了如下的函数：其中：为在市场里航空公司乘客的总数，为航空公司的市场份额，为每个乘客为航空公司带来的利润，为在年重置的轮椅数，为轮椅的价格，为每年存储一个轮椅的成本（$50），为一个护送人员每年的成本。 在上个模型中，和是轮椅的比例和护送人员与WPs乘客数的比，但是这里我们用和来表示实际的轮椅数和护送人员数。 在初始阶段的成本不同是由于初始的轮椅购入成本不同造成的。在后来的阶段，每年有20%的轮椅需要重置，所以在年年末我们有可用的轮椅。由于市场份额的不断改变，我们在年可能或多或少需要一些轮椅；所以轮椅的目标数是： 同样地，.我们不会扔掉好的轮椅，所以在年能够使用的轮椅数是：.这就得出需要重置的轮椅数： .实施 ACM的计算机模型主要依赖于MCAM得出的结果。我们选择了M各航空公司，每个都有不同的，在给定的年份里我们模拟了他们的总成本和总有效损失。从第一年开始，ACM模拟了航空公司用它的策略（一直到最后一年T仍很适用，）进行运营的情况作为MCAM的参考数据。由于高延误和低延误对机场的运营情况造成的影响不同，为此我们假定每年有35天高延误和330天的低延误。通过（1）式可以看出，市场份额的损失或者扩大是由给定的数据和总有效损失决定的。在第一年，我们认为每个航空公司有相同的市场份额，这样我们可以计算出每个航空公司年的利润，而且在计算中用到了最新的市场份额。 模拟到40年后，每个航空公司都对应一组与时间有关的利润向量。我们认为未来时段的折扣率为，把不同的策略得出的结果与现在的相比较，得出最好的策略。前面提到利润函数与航空公司的实际效益无关，只与航空公司 的轮椅使用情况有关。案例研究 西南航空公司2005年共有70,900,000名乘客，获得利润是313,000,000美元，或者$4.41/乘客。但是，这个数字已经被我们的利润函数里的成本减去了，即轮椅和护送队的成本，这个成本我们估计是$0.10/乘客。 我们所建立的模型得到了大量的数据，包括：Midland TX, Columbus OH,和St.Louis MO机场的航班时间，机场设计，装载因数，每个机场的平均延误的时间。结论和评价多机场大厅模型我们利用随机的、直接转移以及“车辐式空运系统”策略的数据，如5个护送人员带5，10，或者20把轮椅，10个护送人员带20把椅子。下面是一些可记录的结果：l 当只能用5个护送人员时，在这些策略中低延误和高延误所产生的有效损失相同，当10个护送人员时，高延误的有效损失是低延误的40倍。一个可能的原因是5个护送人员可以在低延误和高延误日子里随时保持忙碌状态，但是10个护送人员在低延误日子里足以完成所有轮椅护送。在高延误日子里，即使10个护送人员都处以忙碌状态，也会使一些晚到的乘客错过航班。l 在轮椅与护送人员所有的组合和所有的延误中，随即策略与直接转移策略的结果是相近的。实际上这是由于直接转换策略把轮椅分布的太稀疏了（安排在所有的门口旁），这个排布实质上就是随机策略。l 在有5个护送人员情况下，“车辐式空运系统”策略不如另外两个策略有效。但在有10个护送人员情况下，比另两个策略更有效。“车辐式空运系统”制定的运算规则涉及到流线型的轮椅行动，所以没有足够的人员将不能起到有效的作用。在本质上，“车辐式空运系统”策略是在有一定人数基础上才会起到有效的作用的。航空模型的竞争性根据护送人员和轮椅所涉及到的三个方案和四个策略，我们可以计算出市场份额（称作），也可以得出最后的利润。在用“车辐式空运系统”策略时，用10个护送人员和20个轮椅在2046年能获得最大市场份额（），同样的策略下，用5个工人和20个轮椅取得最低（）。我们认为“车辐式空运系统”策略主要是体力劳动，因为护送人员必须将轮椅送回“轮椅补给站”。在获利的条件下，策略（hubs,20,10）会获利更多，（第二好的是106vs.101.9）有趣的是，策略（Random,20,10）是第三好的市场分额，但收益却是倒数第二。所以最好的组合是“车辐式空运系统”策略用10人和20个轮椅。模型的分析模型的优点我们的模型引用了实际的数据，包括2005全年365天的航班延误分布，按照市场份额和长期利润来安排轮椅排布。通过这个长期的策略，调节了在航空公司乘客市场里是WPs比例变化的情况。这个模型考虑到了事先得到的轮椅需求信息的不确定因子。这个模型还将乘客的总有效损失转换到背离率中，这个背离率能从一个竞争激烈的市场中调查出服务质量的影响力。生产动力还显示了在长期和短期计划中市场份额中预算与损失/赢利之间的平衡的影响。模型的缺点乘客的增长依靠很多因素，包括不断变化的人口统计数据，这可能会改变预测的准确度。结论我们建议采用每个机场大厅配有2个护送人员，每个护送人员配备2把轮椅的“车辐式空运系统”策略，来使市场份额中的获利和长期利润都最大化。这些建议都是为了获取更高利润的快速的、有效的策略。最后，我们想要看到的是Epsilon 比Delta更强大。ReferencesAirline pri