自动控制原理课件 第三章.ppt

第三章线性系统的时域分析法 3 1系统时间响应的性能指标3 2一阶系统的时域分析3 3二阶系统的时域分析3 4高阶系统的时域分析3 5线性系统的稳定性分析3 6线性系统的稳态误差计算 建立系统数学模型的目的是为了分析控制系统的性能 系统的性能分为动态性能和稳态性能 如何评价 动态性能 用控制系统在典型输入下的响应来评价 稳态性能 一般是通过系统在典型输入信号下引起的稳态误差来评价 自动控制系统的时域分析 研究自动控制系统在典型输入信号作用下输出信号随时间的变化 建立稳态误差的概念 介绍稳态误差的计算方法 讨论消除或减少误差的途径 1 典型的输入信号 为何要采用典型输入信号进行系统性能研究 实际系统的输入信号千差万别 典型信号便于进行数学分析和实验研究 确定性能指标 使分析系统化 便于比较系统的性能 预测系统在更为复杂的输入下的响应 3 1系统时间响应的性能指标 选取典型信号的原则 反映系统大部分的实际工作情况 尽可能简单 便于分析和处理 选取可能使系统工作在最不利的情况的实验信号 1 单位阶跃函数 其拉氏变换为 其数学表达式为 2 单位斜坡函数 3 单位脉冲函数 图中1代表了脉冲强度 单位脉冲作用在现实中是不存在的 它是某些物理现象经数学抽象化的结果 4 抛物线函数 等加速度函数 A 1 称单位抛物线函数 记为 各函数间关系 5 正弦函数 f t 其数学表达式为 其拉氏变换为 2 阶跃响应的时域性能指标 c t ct t css t 暂态响应 稳态响应 1 暂态性能指标 延迟时间td c t 从0到0 5c 的时间 上升时间tr c t 第一次达到c 的时间 无超调时 c t 从0 1c 到0 9c 的时间 峰值时间tp c t 到达第一个峰值的时间 调节时间ts c t 衰减到与稳态值之差不超过 2 或 5 所需的时间 通常该偏差范围称作误差带 用符号 表示 即 2 或 5 最大超调量s c t 偏离阶跃曲线的最大值 常用百分数表示 图3 5 注意事项 震荡次数N 在ts内 c t 偏离c 的次数 一个峰谷算一个周期 即算震荡一次 2 稳态性能指标稳态误差ess 稳定系统误差的终值 即 B 动态性能指标定义1 上升时间tr 调节时间ts 动态性能指标定义2 0 95 3T 返回 动态性能指标定义3 3 2一阶系统分析 一 数学模型 一阶系统的阶跃响应 二 单位阶跃响应 单位阶跃响应曲线 初始斜率 性能指标 1 平稳性 2 快速性ts 3 准确性ess 非周期 无振荡 0 举例说明 一阶系统 一阶系统如图所示 试求 当KH 0 1时 求系统单位阶跃响应的调节时间ts 放大倍数K 稳态误差ess 如果要求ts 0 1秒 试问系统的反馈系数KH应调整为何值 讨论KH的大小对系统性能的影响及KH与ess的关系 特点 1 t 0时 斜率为02 t 时 c t T3 ess r t c T 三 一阶系统的单位斜坡响应 特点 四 一阶系统的单位脉冲响应 一阶系统时域分析 无零点的一阶系统 画图时取k 1 T 0 5 单位脉冲响应 单位阶跃响应 h 0 1 T h T 0 632h h 3T 0 95h h 2T 0 865h h 4T 0 982h 单位斜坡响应 T r t t r t 1 t r t t 小结 此特征适用于任何阶线性定常系统 因此 只用一种典型输入信号进行研究即可 返回 二阶系统的微分方程一般式为 3 3二阶系统的时域分析 二阶系统的反馈结构图 二阶系统的传递函数 开环传递函数 闭环传递函数 二阶系统的特征方程为 解方程求得特征根 当输入为阶跃信号时 则微分方程解的形式为 式中为由r t 和初始条件确定的待定的系数 s1 s2完全取决于 n两个参数 此时s1 s2为一对共轭复根 且位于复平面的左半部 特征根分析 欠阻尼 特征根分析 临界阻尼 此时s1 s2为一对相等的负实根 s1 s2 n 3 特征根分析 过阻尼 此时s1 s2为两个负实根 且位于复平面的负实轴上 4 特征根分析 零阻尼 此时s1 s2为一对纯虚根 位于虚轴上 S1 2 j n 特征根分析 负阻尼 此时s1 s2为一对实部为正的共轭复根 位于复平面的右半部 特征根分析 负阻尼 此时s1 s2为两个正实根 且位于复平面的正实轴上 响应的形式与 值有关 分别讨论如下 1 0 零阻尼 响应曲线为等幅振荡曲线 二 二阶系统的单位阶跃响应 2 1 过阻尼 1 过阻尼二阶系统的单位阶跃响应 取C s 拉氏反变换得 过阻尼系统分析 衰减项的幂指数的绝对值一个大 一个小 绝对值大的离虚轴远 衰减速度快 绝对值小的离虚轴近 衰减速度慢 衰减项前的系数一个大 一个小 二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性 没有振荡和超调 但又不同于一阶系统 离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响大 离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的影响小 有时甚至可以忽略不计 过阻尼系统单位阶跃响应 与一阶系统阶跃响应的比较 二阶过阻尼系统阶跃响应指标分析 对于过阻尼二阶系统的响应指标 只着重讨论 它反映了系统响应过渡过程的长短 是系统响应快速性的一个方面 但确定的表达式是很困难的 一般根据 3 17 取相对量及经计算机计算后制成曲线或表格 是无超调响应中最快的 3 z 1 临界阻尼 式中 4 0 1 欠阻尼 当0 1时 特征方程有一对共轭复根 结论 对于二阶欠阻尼系统而言 大 小 系统响应的平稳性好 在一定的情况下 越大 振荡频率也越高 响应平稳性也越差 稳态精度 从上式可看出 瞬态分量随时间t的增长衰减到零 而稳态分量等于1 因此 上述欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应稳态误差为零 欠阻尼二阶系统根在复平面的位置 zwn wd wn b b arccosz z 1 z 1 0 z 1 z 0 不同z时 特征根的分布 0 1 1 0 1 二阶系统单位阶跃响应定性分析 2 过阻尼 临界阻尼 欠阻尼 零阻尼 总结 二 欠阻尼二阶系统的动态过程分析 n s1 s2 j 0 1 欠阻尼二阶系统的动态性能指标 1 上升时间tr 2 峰值时间tp 应为c t 第一次出现峰值所对应的时间 根据dc t dt 0 得 3 最大超调量 当t tp时 c t 有最大值cmax t c tp 而阶跃响应的稳态值为1 最大超调量为 注意到 说出超调量和阻尼比的关系 和 关系曲线 2 峰值时间tp 3 超调量s s 与z的关系曲线见 图3 17 4 调节时间ts 5 振荡次数N 根据定义 有 和ts T的关系曲线 0 1 ts T 0 707时 ts 3T 5 0 7 工程上称最佳阻尼比 通常取 0 4 0 8 在2 5 25 ts 3 75T 8T ts T 和ts T的关系曲线 1 2 过阻尼二阶系统的动态性能指标 阶跃响应是单调上升的 1时具有最小的调节时间 例3 1 设控制系统方框图如图所示 当有一单位阶跃信号作用于系统时 试求系统的暂态性能指标tr tp ts N和 解 闭环传递函数为 振荡次数 性能指标 例3 2 如图所示的单位反馈随动系统 K 16 T 0 25 试求 1 特征参数 和 n 2 计算 和ts 3 若要求 16 当T不变时K应取何值 解 1 闭环传递函数 例3 3设位置随动系统 其结构图如图所示 当给定输入为单位阶跃时 试计算放大器增益KA 200 1500 13 5时 输出位置响应特性的性能指标 峰值时间tp 调节时间ts和超调量 并分析比较之 例题解析 1 输入 单位阶跃 系统的闭环传递函数 例题解析 2 当KA 200时 系统的闭环传递函数 与标准的二阶系统传递函数对照得 例题解析 3 当KA 1500时 系统的闭环传递函数 与标准的二阶系统传递函数对照得 例题解析 4 当KA 13 5时 系统的闭环传递函数 与标准的二阶系统传递函数对照得 无 系统在单位阶跃作用下的响应曲线 四 二阶系统单位脉冲响应g t g t 是单位阶跃响应对时间的导数 五 二阶系统单位斜坡响应 r t t时 四 改善二阶系统响应的措施 1 误差信号的比例 微分控制 系统开环传函为 闭环传函为 等效阻尼比 可见 引入了比例 微分控制 使系统的等效阻尼比加大了 从而抑制了振荡 使超调减弱 可以改善系统的平稳性 微分作用之所以能改善动态性能 因为它产生一种早期控制 或称为超前控制 能在实际超调量出来之前 就产生一个修正作用 前面图的相应的等效结构 由此知道 和及的大致形状如下 一方面 增加项 增大了等效阻尼比 使曲线比较平稳 另一方面 它又使加上了它的微分信号 加速了c t 的响应速度 但同时削弱了等效阻尼比的平稳作用 具有零点的二阶系统分析 增加的零点为 系统阶跃响应的拉氏变换为 s1 s2 j 0 z 1 零点位置的影响 离虚轴越近影响越大 带有比例加微分环节的二阶系统分析 0时 增加K0的影响 时 可以改善系统的动 静态性能 比例微分改善系统特性示意图 总结 引入误差信号的比例 微分控制 能否真正改善二阶系统的响应特性 还需要适当选择微分时间常数 若大一些 使具有过阻尼的形式 而闭环零点的微分作用 将在保证响应特性平稳的情况下 显著地提高系统的快速性 2 输出量的速度反馈控制 将输出量的速度信号c t 采用负反馈形式 反馈到输入端并与误差信号e t 比较 构成一个内回路 称为速度反馈控制 如下图所示 闭环传函为 等效阻尼比 等效阻尼比增大了 振荡倾向和超调量减小 改善了系统的平稳性 K的缩小将影响稳态误差 在不改变K的情况下 可采用附加速度反馈使阻尼比 提高 则闭环传递函数 由上式可见 加入速度反馈不改变wn值 但阻尼比z增大了 从而减小了超调量 系统仍为二阶系统 特征参数z1和wn1与实际系统参数的关系为 增大阻尼 减小超调量 例3 4原系统同例3 2 现采用速度反馈改善系统性能 为使z1 0 5 求 值 并计算加入速度反馈后系统的暂态性能指标 3 比例 微分控制和速度反馈控制比较 从实现角度看 比例 微分控制的线路结构比较简单 成本低 而速度反馈控制部件则较昂贵 从抗干扰来看 前者抗干扰能力较后者差 从控制性能看 两者均能改善系统的平稳性 在相同的阻尼比和自然频率下 采用速度反馈不足之处是其会使系统的开环增益下降 但又能使内回路中被包围部件的非线性特性 参数漂移等不利影响大大削弱 返回 3 4高阶系统分析 一 高阶系统单位阶跃响应 1 c t 由稳态和暂态分量组成 若极点均为负实部 则系统稳定 2 各暂态分量衰减的快慢 取决于各极点负实部的绝对值大小 各暂态分量系数的大小是F s 零 极点共同决定的 若一对零 极点几乎重合 称偶极子 则与该极点对应的系数很小 该极点对暂态响应几乎无影响 二 暂态性能的定性分析 三 闭环主导极点 1 定义对系统的暂态响应起主导作用的极点 2 条件 1 距虚轴最近 比其它极点近五倍以上 2 该极点附近没有零点 四 高阶系统暂态性能指标估算方法 例3 5已知F s 求性能指标s tr tp ts 阶跃响应 与原三阶系统s 16 tr 3 2 tp 4 6 ts 7相比较 近似后性能指标基本一致 利用主导极点近似成二阶系统后 应保持F 0 不变 返回 3 5线性系统的稳定性分析 本节主要内容 线性定常系统稳定的概念系统稳定的条件和稳定性的判定方法 一 系统稳定的概念 是指系统当扰动作用消失后 由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能 若系统能恢复平衡状态 就称该系统是稳定的 若系统在扰动作用消失后不能恢复平衡状态 且偏差越来越大 则称系统是不稳定的 两个例子 稳定性 二 稳定性的数学条件 设系统的线性化增量方程为 对上式进行拉氏变换得 其中 D s 为系统闭环特征式 也称输出端算子式 M s 称为输入端算子式 R s 为输入 C s 为输出 M0 s 为总的初始条件 与系统的初始状态有关的多项式 或简写为 则有 假定 将C s 等式右的两项分别展开成部分分式 可得 再进行拉氏反变换 得 该部分为稳态分量 即微分方程的特解 取决于输入作用 该为瞬态分量 即微分方程的通解 运动规律取决于 由系统的结构参数确定 系统去掉扰动后的恢复能力 应由瞬态分量决定 此时 系统的输入为零 故 稳定性定义可转化为 式中 Ai Ci均为常值 因此 系统的稳定性仅取决于特征根si的性质 特征根的性质对系统稳定性的影响 当si为实根时 即si i 特征根与系统稳定性的关系 2 当si为共轭复根时 即si i 1 i j i 共轭复根情况下系统的稳定性 结论 系统稳定的充分必要条件是 系统的特征方程的所有根都具有负实部 或者说都位于S平面的虚轴之左 注 拉氏变换性质中的终值定理的适用条件 SE S 在S平面的右半平面解析 就是上面稳定条件的另一种表示 即特征方程的所有根Si位于S平面的虚轴之左 三 稳定性判据 判据之一 赫尔维茨 Hurwitz 稳定判据 系统稳定的充分必要条件是 特征方程的赫尔维茨行列式Dk k 1 2 3 n 全部为正 赫尔维茨判据 系统特征方程的一般形式为 各阶赫尔维茨行列式为 一般规定 例3 6 系统的特征方程为 试用赫尔维茨判据判断系统的稳定性 解 第一步 由特征方程得到各项系数 第二步 计算各阶赫尔维茨行列式 结论 系统不稳定 判据之二 劳思 Routh 判据 系统稳定的充分必要条件是 劳思表中第一列所有元素的计算值均大于零 不必求解方程 判定在一个多项式方程中是否存在位于复平面右半部的正根 1 写出关于s的多项式方程系数为实数 an 0 排除零根的情况 2 设方程中所有系数都存在 并且均大于0 这是系统稳定的必要条件 方程如果缺项或是具有负的系数 则一定是不稳定的 3 如果系数都为正 按下列方式编制劳思表 若系统的特征方程为 则劳思表中各项系数如下图 关于劳思判据的几点说明 如果第一列中出现一个小于零的值 系统就不稳定 如果第一列中有等于零的值 说明系统处于临界稳定状态 第一列中数据符号改变的次数等于系统特征方程正实部根的数目 即系统中不稳定根的个数 劳思表判据的特殊情况 在劳思表的某一行中 第一列项为零 在劳思表的某一行中 所有元素均为零 在这两种情况下 都要进行一些数学处理 原则是不影响劳思判据的结果 解 将特征方程系数列成劳思表 由表可见 第二行中的第一列项为零 所以第三行的第一列项出现无穷大 为避免这种情况 方法1 可用因子 s a 乘以原特征式 其中a可为任意正数 这里取a 1 例3 7 设系统的特征方程为 试用劳思判据确定正实部根的个数 于是得到新的特征方程为 将特征方程系数列成劳思表 结论 第一列有两次符号变化 故方程有两个正实部根 方法2 如果劳思表第1列中出现0 也可以用一个小的正数 代替它 然后继续计算其它元素 s4 1 3 2 3 3 s3 s2 s1 s0 0 2 2 2 0 在劳思表中 上面一行的首列和 下面 行的首列符号相同 劳斯表第一列元素没有符号改变 有一对纯虚根存在 系统的特征根为 j 1 2 根据系统稳定的定义 该系统是不稳定的 例3 8 例3 9设系统特征方程为 劳思表 6 4 2 1 1 10 6 2 2 2 7 1 0 6 14 1 8 8 试用劳斯判据确定正实部根的个数 例3 10设系统的特征方程为 劳思表出现零行 解 将特征方程系数列成劳思表 劳思表中出现全零行 表明特征方程中存在一些大小相等 但位置相反的根 这时 可用全零行上一行的系数构造一个辅助方程 对其求导 用所得方程的系数代替全零行 继续下去直到得到全部劳思表 用行的系数构造系列辅助方程 求导得 用上述方程的系数代替原表中全零行 然后按正常规则计算下去 得到 表中的第一列各系数中 只有符号的变化 所以该特征方程只有一个正实部根 求解辅助方程 可知产生全零行的根为 再可求出特征方程的其它两个根为 例3 11设系统特征方程为 劳思表 5 1 7 5 6 6 6 0 1劳思表何时会出现零行 2出现零行怎么办 3如何求对称的根 s2 1 0 对其求导得零行系数 2s1 继续计算劳思表 1 第一列全大于零 所以系统稳定 错啦 由综合除法可得另两个根为s3 4 2 3 例3 12设系统特征方程为 s5 1 3 2 1 3 s4 s3 s2 s1 2 2 3 4 6 3 2 第三行全部为零 由上一行构造辅助方程 Q s s4 3s2 2 0 求导得 4s3 6s 0 由此方程得到s3行的各项系数 2 s0 2 劳斯表第一列元素符号没有改变 系统没有正实部的根 但该系统是不稳定的 原方程中关于原点对称的根可以通过解辅助方程Q s s4 3s2 2 0求出 利用劳思判据判断系统的稳定性的结论为 系统稳定的充分必要条件是系统的特征方程没有缺项 全部系数大于0 且劳思表第一列所有元素也大于0 三 劳思判据的应用 例3 13 设系统特征方程如下 试用劳思判据判断该系统的稳定性 并确定正实部根的数目 解 将特征方程系数列成劳思表 结论 系统不稳定 系统特征方程有两个正实部的根 应用2 分析系统参数对稳定性的影响 例3 14已知系统的开环传递函数为 特征方程为 确定稳定的开环放大倍数的取值范围 和临界放大系数KP s3 s2 s1 40 40K 14 1 40 14 40K s0 40K 稳定条件为 解得使系统稳定的K值范围 应用3 确定系统的相对稳定性 具体做法是 s z a代入原系统的特征方程 得出以z为变量的方程 应用劳斯判据于新的方程 若满足稳定的充要条件 则该系统的特征根都落在s平面中s a直线的左半部分 即只有a以上的稳定裕度 四 结构不稳定及改进措施 某些系统 仅仅靠调整参数仍无法稳定 称结构不稳定系统 如下图液位控制系统 消除结构不稳定的措施有两种 改变积分性质引入比例 微分控制 补上特征方程中的缺项 该系统的闭环特征方程为 系数缺项 显然不满足系统稳定的必要条件 且无论怎么调整系统参数 都不能使系统稳定 1 改变积分性质 用反馈包围积分环节或者包围电动机的传递函数 破坏其积分性质 2 引入比例 微分控制 在原系统的前向通路中引入比例 微分控制 其闭环特征方程为 由稳定的充分必要条件 引入比例 微分控制后 补上了特征方程中s的一次项系数 只要适当匹配参数 满足上述条件 系统就可以稳定 返回 3 6稳态误差分析计算 一 误差与稳态误差 系统的误差e t 常定义为 e t 期望值 实际值 误差 1 e t r t c t 2 e t r t b t 稳态误差定义 稳定系统误差的终值称为稳态系统 当时间t趋于无穷时 e t 极限存在 则稳态误差为 二 稳态误差的计算 若e t 的拉普拉斯变换为E s 且 在计算系统误差的终值 稳态误差 时 遇到的误差的象函数一般是s的有理分式函数 这时当且仅当的极点均在左半面 就可保证 存在 式 就成立 注 sE s 的极点均在左半面的条件中 蕴涵了闭环系统稳定的条件 对上述系统 若定义e t r t b t 则E s R s B s 称之为系统对输入信号的误差传递函数 称为系统对干扰的误差传递函数 例3 15 系统结构如下图 当输入信号r t 1 t 干扰n t 1 t 时 求系统的总的稳态误差 解 判别稳定性 由于是一阶系统 所以只要参数大于零 系统就稳定 求E s 根据结构图可以求出 依题意 R s N s 1 s 则 应用终值定理得稳态误差 三输入信号作用下的稳态误差与系统结构参数的关系 当系统只有输入r t 作用时 系统的开环传递函数为 将G s H s 写成典型环节串联形式 当sE s 的极点全部在s平面的左半平面时 可用终值定理求得 上式表明 系统的稳态误差除与输入有关外 只与系统的开环增益K和积分环节的个数有关 1 阶跃信号作用下的稳态误差 要消除阶跃信号作用下的稳态误差 开环传递函数中至少要有一个积分环节 2 斜坡信号作用下的稳态误差 要消除斜坡信号作用下的稳态误差 开环传递函数中至少要有两个积分环节 3 等加速信号作用下的稳态误差 要消除等加速信号作用下的稳态误差 开环传递函数中至少要有三个积分环节 但是 积分环节多会导致系统不稳定 由以上分析可见 要消除系统在幂函数输入信号作用下的稳态误差 则要求增加积分环节的数目 要减小系统的稳态误差 则要求提高开环增益 系统型别是针对系统的开环传递函数中积分环节的个数而言的 的系统称为 型系统 的系统称为 型系统 的系统称为 型系统 给定稳态误差终值的计算 位置 阶跃 误差系数 斜坡 速度 误差系数 抛物线 加速度 误差系数 求系统的给定输入下的稳态误差可以先求稳态误差系数 三种典型输入下有三个误差系数的计算公式 三个误差系数对应于 0 I II 型系统又分别有三种情况 0型系统 阶跃输入时 误差系数 K 0型系统 斜坡输入时 误差系数 0 0型系统 抛物线输入时 误差系数 0 0型系统 系统开环传递函数中不含积分环节 I型系统 系统开环传递函数中含一个积分环节 I型系统 阶跃输入时误差系数无穷大 I型系统 斜坡输入时 误差系数 K I型系统 抛物线输入时 误差系数 0 II型系统 系统开环传递函数中含两个积分环节 II型系统 阶跃输入时误差系数无穷大 II型系统 斜坡输入时误差系数无穷大 II型系统 抛物线输入时 误差系数 K 三种典型输入下对应于 0 I II 型三种系统有九种情况 误差的计算公式列表如下 给定稳态误差级数的计算当不能使用终值定理 如 正弦输入下 或很难求的时候 用稳态误差级数的计算 扰动稳态误差终值的计算扰动稳态误差终值就是扰动输入所产生的输出在稳态时的值 计算步骤 1 求误差传递函数 2 求误差输出 3 用终值定理 例3 16设系统结构图如下 其H s 1 Gc s 10 s G0 s 1 s 1 若扰动N s 1 t 试求扰动稳态误差 解1 求误差传函 3 用终值定理求扰动稳态误差 2 求误差输出 五 扰动稳态误差终值的计算 控制环节传递函数中串联积分环节的数目v对扰动稳态误差有决定性的影响 不同系统的