第二章矩阵部分(2)(考研精).doc

第二章 矩 阵1、与矩阵乘积有关题目1）矩阵乘法一般不满足交换律2）与任何同阶矩阵可交换的矩阵是数量矩阵例1.设求解 例2.设，是的转置，若，则 3 解：故练习：1.1 （1999数三）设，而为正整数，则 0 解： 2、（1995数四）设n维行向量，矩阵，I为n阶单位矩阵，则AB I 2、与初等变换或初等矩阵相关的题目重要引理：1）矩阵A经过若干次初等变换化为B，则称A与B等价2）A与B等价充要条件是A、B同型且秩A秩B可逆矩阵p,Q使PAQB3）初等矩阵均可逆，且 .例3.（2001数三、四），其中A可逆，则 C （A） （B） （C） （D）解： 例4（1995数）设，则必有（C） （A） （B） （C） （D）解：练习：2.1 （2001数三）设n阶矩阵A与B等价，则必有 D （A）当 （B）当 （C）当 （D）当2.2.（2009数三）设A,P均为3阶矩阵，且，若，则为 A .（A） （B） （C） （D）提示：2.3 （2011数三）设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第三行得单位矩阵，记，则A D . （A） （B） （C） （D）解：3、矩阵秩的运算或利用秩来求矩阵的参数1)秩与行列式关系2）利用初等行（列）变换求秩3）几个重要公式 秩（A）秩（AT）秩（AAT） 秩（AB）秩（A）+秩（B） 秩（AB）min秩A，秩（B）4）设Amxn，Bnxs，若AB0，则秩（A）+秩（B）n.5）矩阵左乘或右乘一个逆矩阵，其秩不变.6）只有零矩阵的秩为零例5.求A的秩，其中解：秩A3例6.（2001数三、四）设矩阵，且秩（A）3，则K -3 .解：练习：3.1.（1994数三）设Amxn,Cnxn可逆，秩Ar，则BAC的秩为r1，则 C （A）rr1 （B）rr1 （C）r=r1 （D）r与r1的关系依C而定3.2（2007数）设矩阵，则A3为秩为 1 3.3.（2004数四）设，其中P为三阶可逆矩阵，则B20042A2 提示：解：故4、证明矩阵可逆n阶矩阵A可逆一般用以下充要条件1）n阶矩阵B，使ABE或BAE2）（最常用，最好用）3）秩（A）n4）A的行或列向量组线性无关5）方程组AX0只有零解6）A没有零特征值 例7.设A、B均为n阶方阵，证明（1）若A+BAB，则AE可逆.（2）若EAB可逆，则EBA可逆，并求其逆.证：（1）由A+BABA（AE）BAE+E（AE）BE（AE）B（AE）（AE）（BE）故AE可逆，且它的逆矩阵为BE（2）设C是EAB的逆矩阵，即C（EAB）E 及 （EAB）CE从而 CECAB 及 CEABCB（ABC）AB（CE）A即 BABCABCABABCA（EBA）BAE+E（EBA）（E+BCA）E（EBA）1E+BCA例8.（2008）设A为n阶非零矩阵，若A30，则 C .（A）EA不可逆，E+A不可逆 （B）EA不可逆，E+A可逆（C）EA可逆，E+A可逆 （D）EA可逆，E+A不可逆练习4.1(2001数一)设矩阵 A满足A2+A-4E=0，其中E为单位矩阵，则(A-E)-1 = (A+2E)/2 4.2（1997数三、四）设A是n阶非奇异矩阵，为维列向量，b为常数，记分块矩阵，其中是矩阵A的伴随矩阵，I为阶单位矩阵（1）计算并简化PQ（2）证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是 .4.3(2003数四)设A,B 均为三阶方阵，E为三阶单位矩阵，已知AB=2A+B，.5、求矩阵的逆及相关题目一般用初等变换求矩阵的逆，即，有时也用伴随矩阵和分块矩阵来求逆。例9.已知解： 于是例10.（2003数三、四）设n维向量，矩阵，其中A的逆矩阵为B，求a.解：由 练习5.1 （1991数三）设 A和B为可逆矩阵，为分块矩阵，则_. 6、有关伴随矩阵有关重要结论：1) 2) 秩例11设A为n阶可逆，且，证明：.例12（2002数四）设A、B为n阶矩阵，A*，B*分别为A、B对应的伴随矩阵，设分块矩阵，则C* D 解：（A） （B）（C） （D）提示：代入检验例13.（2003数三）设，若秩A*1，则必有 C （A）（B）（C）（D）解：秩 故田秩A*1，得秩A2 从而但当a=b时，秩A1（舍去），故例14（2005）设A为n（n2）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B，A*，B*，则 C （A）交换A*的第1列与第2列得B*（B）交换A*的第1行与第2行得B*（C）交换A*的第1列与第2列得-B*（D）交换A*的第1行与第2行得-B*练习6.1（2009）设A、B均为2阶矩阵，则分块矩阵的伴随矩阵为 B （A） （B） （C） （D）6.2（2005）设矩阵A=满足A*= AT，其中A*为A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵。若为三个相等的正数，则为 A (A) (B)3 (C)1/3 (D) 7、解矩阵方程的题目( 形如AX=B,XA=B以及