基于COMSOL Multiphysics数学模块的固体弹塑性力学分析.pdf

第 4 8卷 第 2期 2 0 1 5年 4月 武汉大学学报 工 学版 En g i n e e r i n g J o u r n a l o f W u h a n Un i v e r s i t y Vo l 4 8 No 2 Ap r 2 O15 DOI 1 0 1 4 1 8 8 i 1 6 7 卜8 8 4 4 2 0 1 5 0 2 0 1 1 文 章 编 号 1 6 7 1 8 8 4 4 2 0 1 5 0 2 0 1 9 5 0 7 基 于 C OMS OL Mu l t i p h y s i c s 数 学模块 的 固体弹 塑性 力学分 析 周 家作 韦昌富 李文涛 陈合龙 中国科学 院武汉岩土力学研究所 岩土力学 与工 程国家重点实验室 湖北 武汉4 3 0 0 7 I 摘要 C O MS O L Mu l t i p h y s i c s 有限元模拟软件中的数学模块即 P D E 模式 直接基于数学方程对实际问题进行求 解 根据 实际问题建立数学模型并在 数学 模块 中输入对应 的数学 方程 软件 通过 内置 的算 法直接 对方程 进行数值 计算 将 弹塑性 问题的增量描述改变成等效 的瞬态方程组 在数 学模块 中通过 系数 型和弱形 式两种 方法 实现对等 效瞬态方程组 的输入 作为算例 对一个 中心开孔矩形板 的加载一 卸 载一 再 加载 过程进行 数值模 拟 分 别通 过数学模 块 和固体力学模块进行求 解 并对二者求解结果进 行 了对 比分析 关键 词 C O MS O L Mu l t i p h y s i c s P D E 有限单元法 弹塑性力学 弱形式 中图分 类号 O 3 9 文献 标 志码 A An a l y s i s o f s a o l i d e l a s t o pl a s t i c m e c h a n i c s b a s e d o n ma t h e ma t i c a l m o d u l e o f COM S OL M u l t i p hy s i c s Z HOU J i a z u o W EI Ch a n g f u LI W e n t a o CHEN He l o n g St a t e Ke y La bo r at o r y of Ge o me c ha ni c s an d Ge o t e c hni c a l Engi ne e r i ng I ns t i t ut e o f Roc k a nd S oi l M e c ha ni c s Ch i n e s e Ac a d e my o f S c i e n c e s W u h a n 4 3 0 0 7 1 C h i n a Abs t r a c t The ma t he m a t i c a l mo dul e n a m e d PDE M od e s i n t he FEM s i m ul a t i o n s of t wa r e COM SOL M ul t i p hys i c s s o l ve s p r a c t i c a l pr ob l e m s b y s ol v i ng m a t he ma t i c a l e qu a t i o n s di r e c t l y U p o n e s t a bl i s hi n g ma t h e ma t i c m o de l o f pr a c t i c a l p r o bl e m s a n d i np ut t i ng t he c or r e s p on di n g m a t he ma t i c a l e q ua t i o ns t he e qu a t i o ns c a n b e n u me r i c a l l y c a l c u l a t e d u s i n g t h e a l g o r i t h m b u i l t i n t h e s o f t wa r e Th e i n c r e me n t a l d e s c r i p t i o n o f e l a s t o pl a s t i c pr o bl e m i s t r a ns f o r m e d t o a n e q ui va l e nt t r a n s i e nt e qu a t i o n s e t whi c h c a n b e i np ut t e d i nt o t h e s o f t wa r e b y t h e c o e f f i c i e n t f o r m a n d we a k f o r m i n t h e ma t h e ma t i c a l M o d u l e As a n e x a mp l e a r e c t a n g l e pl a t e wi t h a h ol e i n t he c e nt r e o f i t u nd e r go e s t he p r oc e s s o f l o a di n g unl oa d i ng r e l oa di n g a n d t he pr o c e s s i s s i m ul a t e d nu m e r i c a l l y Th e s i mul a t i on i s c ompl e t e d by ma t he m a t i c a l modu l e a nd s o l i d me c ha ni c a l mo du 1 e r e s pe c t i v e l y a nd t he s i m ul a t e d r e s ul t s o f t he m a r e c o m p a r e d a n d a na l y z e d Ke y wo r d s COM SOL M ul t i phy s i c s PDE f i ni t e e l e me n t me t h od e l a s t o pl a s t i c m e c ha ni c s we a k f or m 有限单元法作为一种数值计算方法 在 当今工 程领 域 内得 到 了广泛 的应 用 引 利用 有 限元 方法 解 决 问题 的一般 步 骤如 图 1 a 所 示 随着 有 限元 技 术 的发 展 出 现 了 一 些 成 熟 的商 业 软 件 如 AN S YS ADI NA ABAQUS M ARC COM S OL M u l t i p h y s i c s 等 为了使得操作更简单方便 这些商业软件 大都有解决某一类 问题而集成的专题模块 在使用 这些 专题 模块 时 可 以通过 图形 界 面 建 立几 何 结 构 并 划分 网格 输 入需 要 的参数 即可 直接 求 出结 果 其 解决问题流程如图 1 b 专题模块往往都是针对某 收稿 日期 2 0 1 4 0 9 3 0 作者简介 周 家作 1 9 8 7 一 男 博士研究生 主要从 事冻土力学的研究 E ma i l j i a z u o z g ma i l c o rn 基金项 目 国家重 点基础研 究计 划 9 7 3 项 目课 题 编 号 2 0 1 2 C B 0 2 6 1 0 2 国家 自然 科学基 金重 点项 目 编 号 N S F C 5l 23 9 01 0 1 9 6 武汉大学学报 工学版 第 4 8卷 一 类问题而集成的 这些 问题的控制方程和初边值 条件类似 求解方法类似 在输入参数时 每个参数 都 有 明确 的物理意 义 直 观易 懂且 便于 工程 应用 但 是 在 探索 性研究 中 还有 一些并 不 常见 的新 问题被 提 出来 这 些 问题 无 法 或 者 不便 于通 过 现 有 专题模块的内置数学模型描述 因此 专题模块求解 过 程缺 乏灵 活性 的缺 点 就 凸 显 出 来 专题 模 块 实 质 是 将 图 1 a 所 示 中 间 步骤 通 过 图形 界 面 集 成 化 形 成 图 1 b 所 示 的 流程 中 间步 骤 由计 算 机 自动 完 成 专题模块一方面提高了求解效率 另一方面由于 集成的步骤不能由使用者随意修 改 丧失了一定 的 灵 活 性 使 得应 用面受 到局 限 集 成程 度 的大小 即 图 l a 中间步骤 被 集 成 的 多少 对 应 着 灵 活性 丧 失 的 程度 集成 的 中间 步骤 越 多 解 决 问 题 效率 越 高 灵 活性 丧失越 大 反 之亦 然 因此 在 某 些 情 况下 可 以 考虑一种折 中的方案 在扩大有 限元方法使用 面的 同时又可以避免繁琐的编程工作 这种方案的思路 是 图 i a 数 学建模 及 变分 原理 两 步骤 的 工作 涉及到灵活的数学推导而无需数值计算 可 以通过 人工完成 分片插值 分片积分 和 求解代数方程 组 两部分工作涉及大量的数值计算和编程 可以通 过计 算机 自动 完成 C OMS OL Mu l t i p h y s i c s 有 限 元 模 拟软件 提供 了这 样 一 种 折 中方 案 的可 能 该 软 件 除了拥有各类专题模块外 还拥有一个基础 的数学 模块 即 P D E模式 该模块可 以灵活地建立数学模 型 完全基于方程对问题进行求解 研究者可以根 据 实 际问题 直接 输 入数 学 方 程 软 件 采 用 内置 的算 法对数学方程求解 1 P DE模式简介 在 C OMS OL Mu l t i p h y s i c s 数 学模 块 即 P DE模 式 中 可 以根据 所研 究 的 问题输 入 合 适 的控 制方 程 和初 边值 条件 即对 图 1 a 中 数 学建 模 这 一 步 骤 进行人为推导和设置 P D E模式提供 了 3种输入控 制方 程 的方式 第 一种 即 系数 型 该 类 型 提 供 了 一个 通 用 的 方 程模 板 P d J U v 一 c Vu d 口 a u V u f 1 式 中 为场变量 t 为时间 V 为 Ha mi l t o n算子 其 他为待输人参数 通过对式 1 中待输入参数的设定 可 以得到 符合 实际 问题 的控制 方程 第二种即 泛用型 该类型提供的方程模板为 P d V I 1一 F 2 式 中 r为一个 广义 的通 量 这种 类 型也 是通 过 对待 输 入参数 的设 定来 达 到需要 的控制 方程 微分 方程 组 初 边值 l 变 分 原 理 分方程的等效积分 弱形式 J 句结构 格 输入参 数 a 一般流程 b 专题模块流程 图 1 有 限元 方 法 流 程 图 Fi g 1 The f l o w c ha r t o f t h e FEM 通过 这两种 类 型建立 起来 的方程 在 求解过 程 中 被 自动转 化成 弱形 式 即 图 l a 中 变 分原 理 步 骤 由软件 内置 程序 完 成 一 些 常 见 问题 的控 制 方 程 都可以通过这两种方式进行设置 如热传导方程 渗 流方程等 但是对于某些 问题的数学描述难 以用这 两种方式进行 表达 如弹 塑性 力学 中的静 力平衡 方程 第 三种建 立数 学模 型 的方法 即 弱形式 该 类 型 通过对 等 效积分 方程 的设 定来 得到 更广 泛 问题 的 数学表达 弱形式 形式为 d A f d 一 3 式 中 和 分 别 为 求 解 域 和 边 界 a 力 上 的弱 项 弱形 式 方 程 实 质是 人 工 完成 图 1 a 中 数 学 建模 及 变分原理 两部分工作 直接将微分方程的 等效 弱形式 输入 软件 因此 具有 了更 大 的灵活性 本文针 对 弹塑性 平 面应力 问题 通过 P D E模式 求解 并 与 C OMS OL Mu l t i p h y s i c s固体 力学 专 题模 块 S t r u c t u r a l Me c h a n i c s的解进行对比 以说 明使用 P DE模 式特别 是 弱 形式 解 决 弹 塑 性力 学 问题 的 用 法 需要说明的是 虽然本文 中的算例相对简单且能 够通过专题模块得到解决 但是这种使用 P DE模式 的方法对于一些其他不便于使用专题模块解决的新 问题 如新的控制方程和本构模型等 仍然具有 良好 的借鉴意义 理论上只要在数学上是可解的模型 则 可 以尝 试用 P D E模 式得 到合 理 的解答 2 弹塑性 问题 的瞬态形式描述 对于弹塑性问题 平衡方程和几何方程与弹性 问题相同l 由于塑性变形导致材料 内结构的变化 一 第 2期 周 家作 等 基于 C OMS I Mu h i p h y s i c s 数学模块 的固体弹塑性力学分析 1 9 7 使得弹塑性变形特性不 同于弹性问题 其本 构方程 一 般采 用 增量 形 式 1 在 本 文 中 引入 拟 时 间 t t 并 非 表示 真 正 的时间 而 是指 代加 载过 程 的荷载 水平 当前时间 t 与当前 的荷载 T 通过加载速率联系起 来 T T t t 4 式 中 T 为初始时刻的外载 t 为加载速率 在 平 面应 力情 况下 平 衡方 程无 法 以 P D E模 式 中 系数 型 或 者 泛 用 型 表 达 出 因此 需 要 通 过 变 分 原理 虚 功原 理 将平 衡方 程 和应力 边 界条件 表 达 成 等效 的积 分形 式 即 弱 形式 通 过 拟时 间 可 以将 增 量形 式 的积 分弱 形式 方程 在 形式 上改 写为 瞬态 方 程 r r I 捷 d 一8 u f d V l 8 u T d S 一0 5 J 式 中 表示 对 时 间 的导 数 下 同 e U f T j 分别 表示 应 力分 量 应变 分量 位移 分 量 体 力 分 量 及 外 荷 载 分 量 V 及 S 表 示 物体 体 积 及 应 力 边 界 在 平 面应力 情 况下 一1 2 l 2 1 1 一 口 1 2 一 z l Z x y 2 2 I 1 一 1 2 一 2 1 2 e 2 2 e U 1 一 U 2 f1 一 f 2 f T1 TI T2 一 T 以 z Y方 向的位 移 作 为基本 未 知量 当 U V足 够 光滑 具 有 连 续 3阶 导 数 时 应 变 分 量 自动 满足变形协调方程 式 5 所示的等效积分形式可 以 方 便地 用 P DE模 式 中的 弱 形 式 表 达 出 将 式 5 中的两个被积函数分别作为求解域和应力边界上的 弱 项直 接输 入 即可 也 即式 5 中两个 被 积 函数 对 应 于 式 3 中的 叫 和 一 在 C OMS OL Mu l t i p h y s i e s 中变分 X 用 t e s t X 或 X t e s t 表 示 在 应 用 P DE模式时 变量没有单位 为 了避免力学分析 中 单 位混 淆 本文算 例 中 的变 量 输 入 及 几 何模 型 尺 寸 均采用国际单位 弹 塑性 材料 本 构方程 由 以下 瞬态 形式 给 出 F 0的情 况 时 强 制按 照 与 F一0同样 的情 况 处理 采 用 小 步 长 欧拉 方法 公式计 算 不 同时 间 步 长 的 F值 这 种 近 似 处理 在 时间步 长很 小 时是合 理 的 在 平 面应力 情况 下 S S 为偏 应 力 且 S 一 一 d S 一 一 其 中 13 一 口 3 则 J 2一 一 3 3 由广 义 虎 克 定 律 可 得 弹 性 张量 在平 面应 力 情况 下 的矩 阵形 式 一 1 v 1 O O O 0 1 2 1 2 式 中 为 泊松 比 剪切 模量 为 G E 2 1 v 采 用关 联 Mi s e s流 动 法 则 和 均 匀 线 性 强 化 法 则 可得 塑性 张量 在 平 面应 力 情 况 下 的矩 阵 形 式 r D D D D 一 J 对D z D 1 3 D 一 南f 对 D 匏 D 船 f 13 称 D l 其 中有 D 1 V S D 2一 5 十 1 3 1 一 v s v s 2 r 1 4 D船 一 D 3一 1一 s 十 r D 一 1一 Z 2 以及 B 2 s 2 2 s 2 1一 r 2 1一 E 口 1 5 一 式 5 6 和 1 0 完整 地描述 了材 料的 弹塑性 力学 特 性 式 5 具有初值和边界条件 式 6 和 1 0 只具有 初值条件 不具有边界条件 式 5 6 和 1 0 的初值 分别表 示初始位 移 初始应力 初始塑 性应 变 不 同的 初值对结 果的影 响 反 映 了材 料 的加 载历 史对 弹 塑性 力学行为的影响 通过对这 3个瞬态方程 的联合求 解 即可得 到加 卸载过程 中的弹塑性解 3 数值算例 本文选取的算例来源于 Z i e n k i e w i c z的有限元著 1 9 8 武汉大学学报 2 1 2 学版 第 4 8 卷 作L 1 C O MS O L Mu h i p h y s i c s 通过专题模块 S t r u c t u r a l Me c h a n i c s 对此 问题 进 行 了求 解 并 作 为一 个案 例 存于模型库 中可供使用者参考 该案例名 为 e l a s t o p l a s t i c p l a t e 在 C O MS OL Mu h i p h y s i c s案例 库 中 的 地址为 Mo d e l L r a r y S t r u c t u r a l Me c h a n i c s Mo d u l e V e r i f i c a t i o n Mo d e l s e l a s t o p l a s t i c p l a t e 该案例 描述 了 一 个 中心开孔 的矩形板受 到长轴方 向上 的拉力 其 几 何结构及受力示意图如图 2 所示 模型库算例模拟了 一 个加载一 卸载过程 的力 学过程 本文 考虑 加载一 卸 载一 再加载过程 通 过 P D E模 式求 解 并 和专 题 模 块 S t r u c t u r a l Me c h a n i c s的求解结 果作 对 比 本文 的材 料 参数以及加载的荷载增长率与模型库算例相同 弹性 材料参数为 弹性模量7 0 0 0 0 MP a 泊松 比 0 2 塑性 材料 参数为 初始 屈 服应 力 2 4 3 MP a 均匀 线性 强 化 切线模 量2 1 7 1 MP a 图 2矩形孔板结构 及受力示意图 根据 C O MS O L Mu l t i p h y s i c s 模 型文档 Fi g 2 The s c he mat i c d i a g r a m o f t he St r uc t ur a l o f t h e r e c t a ng l e pl a t e wi t h ho l e a nd i t s f o r c e c o n di t i o n a f t e r t h e mo d e l do c u me nt a t i on i n C0M S oL M u l t i ph y s i c s 考虑 一个 加 载一 卸载 一再 加 载 问题 图 2中矩 形板 1 7 方向受到拉力变化如图 3所示 可以表示为 f 1 2 1 5 t t 1 0 6 一 1 2 8 7 9 1 2 1 5 一 1 0 6 1 O 6 t 2 1 2 l 1 2 1 5 t 一 2 1 2 2 1 2 t 3 2 2 1 6 叟 图 3加卸载过程中水 平拉 力随拟时间的变化 Fi g 3 The va r i a t i o n o f ho r i z on t a l t e ns i on wi t h ps e u d o t i me i n t he pr o c e s s of l o a di ng a n d u nl o ad i n g 3 1 软 件操 作简 要说 明 本 节操 作 方法 适 用 于在 C O MS OL Mu h i p h y s i c s 4 0及 以后 的版本 在 Mo d e l Wi z a r d窗 口 维 度 选 择 2 D 进 入 下一 步 通 过 数 学模 块 添加 3个 物 理 场 展 开 Ma t h e ma t i c s P D E i n t e r f a c e s 添 加 We a k F o r m P D E 在独 立变 量栏 输入 u v 分 别 对 应 于 U 和 名称设为 C 添加 C o e f f i c i e n t F o r m P D E 在 独 立变 量 中输入 s i g X s i g Y t a u x y 分别 对 应 于 d 和 r 名 称 设 为 c 2 再 次 添 加 C o e f f i c i e n t F o r m P D E 在 独立变 量 中输 入 e p e 对 应 于 名 称 设认 为 c 3 进入 下 一 步 选 择 T i me D e p e n d e n t 点击 F i n i s h 进 入主 图形界 面 建立几何模 型并划分网格 由于结构和边界条 件 的对 称 型 取 矩 形 孔 板 1 4结 构 图 2中虚 线 部 分 采用 9 节点四边形拉格朗 E l 二次单元 共产生 6 8 0个 单元 2 6 1 3 个 节 点 每 个 节 点 有 6个 自由 度 u v s i g X s i g Y t a u x y e p e 几何 结 构及 网格 划 分 见 图 4 2 3 4 图 4矩形孔板的网格划分图 Fi g 4 The me s hi ng f i g u r e o f t he r e c t a ng l e wi t h a ho l e 在模 型树 中 右 击 Mo d e l 1 D e f i n i t i o n s新 建 Va r i a b l e s 1 按照 表 1输入变 量名 和 表 达式 表 1中 u x 表示 甜对 z 求 导 u t 表示 对 t求 导 u x t 表示 对 z和 t求 二 阶 混合 偏 导 其 他 求 导 变量 表 示法 类似 选 中 P DE C We a k F o r m P D E 1 在 We a k E x p r e s s i o n s 栏 输 入 We a k 和 0 初 始 条 件 全 部 设 为 0 边 界 1 3为 对 称 边 界 设 为 Di r i c h l e t b o u n d a r y c o n d i t i o n 对 于边 界 1 方 向位 移 固 定 为 0 勾 选 P r e s c r i b e d v a l u e o f u 其 值 设为 0 对 于边 界 3 Y方 向位 移 固定 为 0 勾选 P r e s c r i b e d v a l u e o f v 其值设为 0 边界 2 4 5为应力边界 通过弱形式 来 设 置 添 加 We a k C o n t r i b u t i o n 由于 2 5边 界 不受外力 边界 4受到增量率为 t 的拉力 根据式 5 边界 2 5 4的弱项 分 别 为 0 0和 一 t 因此 在 We a k e x p r e s s i o n 对于这 3个边界分别输入 0 0 和 一 t e s t P o u t 物 理 场 P D E C 实 现 了对 方 程 5 的输 入 第 2期 周家作 等 基于 C OMS O L Mu l t i p h y s i c s 数学模块 的固体 弹塑性力学分 析 1 9 9 表 1 变量名 对应的数学符号 及其表达式 T a b l e 1 Va r i a b l e s t h e c o r r e s p o n d i n g ma t h e ma t i c a l n o t a t i o n a n d t h e i r e x p r e s s i o n 变量名 值或 表达式 变量名 值或表达式 E E 7 0 e l 0 De 1 D 1 l E 1 一 n i l 2 n u 0 2 De 1 2 D 2 n u E 1 n u 2 Et E 2 1 71 e 9 De l 3 D 3 0 Ep E E Et E Et De 2 1 D 1 n u E 1 一 n u 2 G E 2 1 n u De 2 2 D 2 1 E 1 n L t 2 s i g s O 口 0 2 4 3 1 e 6 De 2 3 D 3 0 s i g s a s i g s 0 Ep e pe De 3 1 D 1 0 s i g m a 1 3 s i g x s i g y De 3 2 D 2 0 s x s s i g x s i g m De 3 3 D 3 1 n u 2 E 1 一 F l U 2 De l1 e x t Del 2 e yt De 1 3 gxyt F s y s s i g Y s i g m f 1 一0 s 2 s y 2 2 n u s x s y 十 2 1 一 n u De 2 1 e x t De 2 2 e y t De 2 3 g x y t F B B t a u x y 2 2 1 n u Ep s i g s 2 9 f 2 一 0 De 3 1 e x t De 3 2 e y t De 3 3 g x y t F Dp l 1 Dy 1 s x n u s y 2 E B I n u 2 f 3 一 O p 1 2 s y 佃 八 卜 1 t e s t u x f l t e s t v y f 2 t e s t v x w kL t e s t u y f 3 p 1 3 11 一 n u u 2 x n u s y a u 一 y E B e xt e uxt Dp 2 1 D乳 Dp l 2 e y t e v y t Dp 2 2 D 2 s y n u s x 2 E B 1 f l u 2 g x y t v x t u y t p 2 3 D1 3 1 Y I H 2 nu au ex e t e 1 E s i g x t n u s i g y t Dp 3 1 D 1 Dp l 3 e y e t s 1 E s i g y t n u s i g x t Dp 3 2 Ds 2 Dp 2 3 g x y e t y y 1 G t a u x y t Dp 3 3 D8 3 1 n u 2 t a u x T2 E B 卜n W2 e x p t G e x t e x e t k 1 3 s i g s 2 e y p t e yp e y t e y e t 一 ez p t e 一 e x p t e y pt F F J 2 一 k g x y p t y g x y t g x y et 1 2 1 5 1 e 6 t 1 0 6 t 2 1 2 1 2 1 5 l e 6 t f i e a b s e x p t 2 g a b s 一 2 1 2 选 中 P D E 2 c 2 C o e f f i c i e n t F o r m P D E 1 在 求 解 域设 置窗 口中 d 中的 3 3矩 阵栏 中对 角 线 栏输入 1 其他栏输 入 0 在 f 的三栏 中依 次输入 f l f 2 和 f 3 其他选项卡中全部设置为 0 物理 场 P D E 2 c 2 实现 了对方程 6 的输 入 选择 P DE 3 c 3 模 式 在求 解 域 设 置 窗 口中 d 栏输入 1 f 栏输入 e p e f 其他栏输入 0 物理 场 P D E 3 c 3 实 现 了对方 程 1 0 的输入 打开 求解 器 设 置 窗 口 选 择 Ti me d e p e n d e n t 求解器 求解从 0时刻计算 到 3 2 2时刻 时间步长 为 0 0 2 在 时 间栏 中输 入 r a n g e 0 0 0 2 3 2 2 为了提高 求解速度 在 Re l a t i v e t o l e r a n c e 一栏 中 输 入 0 1 采用专题模块 S t r u c t u r a l Me c h a n i c s 时 只需直 接将材料参数和边界条件输入 即可 几何结构和网 格划分与 P DE模式算例相同 其他参数输入步骤参 照模型 库算 例 由 于本 文 考 虑 加 载一 卸 载一 再 加 载 过程与模型库不 同 根据式 1 6 在插值 函数 l o a d f u n c 中的 t 列 和 f t 列 分 别输 入 0 1 O 6 2 1 2 3 2 2和 0 1 2 8 7 9 0 1 3 3 6 5 设 置完 毕 即可求 解 第 2期 周家作 等 基于 C OMS O I Mu l t i p h y s i c s 数学模块的 固体弹塑性力学分析 2 O 1 某 个 问题 能够 被一 套数 学物 理方 程组 所描 述 而且 这 套方程组在数学上是可解 的 则可 以尝试使用数学 模 块 进行求 解 因此 某些 特 殊 的不 便 于 用 现 成 专 题 模 块 描述 的 问题则 可能 通 过数学 模 块获 得合 理 的解 决 在 输 入符合 实 际 问题 的方程 后 软件 即可 采用 内 置的算法进行数值计算 本文首先将 弹塑性 问题 的 增 量 描述 改变 成 等 效 的 瞬态 方 程 组 使 用 数 学 模 块 的系 数型 和弱 形式 方 程 对 数 学 模 型 进 行 输 入 通 过 软件 内置 的算 法 对 弹 塑性 问题 进 行 了求 解 结 果 表 明使用数学模块得到的结果与专题模块得到的结果 符合较好 而数学模块完全是基于数学方程求解 具 有更 大 的灵 活性 对 于 一 些 新 提 出 的数 学 模 型有 较 好的借鉴意义 参 考文 献 E l i E 2 3 于亚婷 杜平 安 王振伟 有 限元法 的应 用现状 研究 J 机械设计 2 0 0 5 2 2 3 6 8 韩 西 钟厉 李博 有 限元分 析在结 构分 析 和计算 机 仿 真中的应用 J 重庆交 通学 院学报 2 0 0 1 2 O 增 刊 1 2 4 1 2 6 杨 勇 郭子雄 聂建 国 等 型钢混凝 土结构 AN S YS 数值模拟技术研究 J 工 程力 学 2 0 0 6 2 3 4 7 9 8 5 上接 第 1 9 4页 4 冯卫民 宋立 肖光宇 基于 A