（福建专用）高考数学总复习 第八章第8课时 立体几何中的向量方法课时闯关（含解析）.doc

（福建专用）2013年高考数学总复习 第八章第8课时 立体几何中的向量方法课时闯关（含解析）一、选择题1(原创题)如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a(0,2,1)，b(，)，那么这条斜线与平面的夹角是()a90b60c45 d30解析：选d.cos，因此a与b的夹角为30.从而可得斜面与平面的夹角为30.2.如图所示，正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别是正方形add1a1和abcd的中心，g是cc1的中点，设gf、c1e与ab所成的角分别为、，则等于()a120b60c75 d90解析：选d.建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则b(2,0,0)，a(2,2,0)，g(0,0,1)，f(1,1,0)，c1(0,0,2)，e(1,2,1)则(0,2,0)，(1,1，1)，(1,2，1)，cos，cos，cos，sin，cos，sin，90，故选d.3(2010高考大纲全国卷)正方体abcda1b1c1d1中，bb1与平面acd1所成角的余弦值为()a.b.c. d.解析：选d.如图，连接bd交ac于o，连接d1o.由于bb1dd1，dd1与平面acd1所成的角就是bb1与平面acd1所成的角易知dd1o即为所求设正方体的棱长为1，则dd11，do，d1o，cosdd1o.bb1与平面acd1所成角的余弦值为.4直三棱柱abca1b1c1中，acb90，bac30，bc1，aa1，m是cc1的中点，则异面直线ab1与a1m所成的角为()a60 b45c30 d90解析：选d.建立坐标系如图所示，易得m(0,0，)，a1(0，0)，a(0，)，b1(1,0,0)，(1，)，(0，)1030，.即ab1a1m.5已知在长方体abcda1b1c1d1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点a1到截面ab1d1的距离是()a. b.c. d.解析：选c.如图建立坐标系dxyz，则a1(2,0,4)，a(2,0,0)，b1(2,2,4)，d1(0,0,4)，(2,0,4)，(0,2,4)，(0,0,4)，设平面ab1d1的法向量为n(x，y，z)，则即解得x2z且y2z，不妨设n(2，2,1)，设点a1到平面ab1d1的距离为d，则d，故选c.二、填空题6(2012漳州调研)长方体abcda1b1c1d1中，abaa12，ad1，e为cc1的中点，则异面直线bc1与ae所成角的余弦值为_解析：建立坐标系如图，则a(1,0,0)，e(0,2,1)，b(1,2,0)，c1(0,2,2)，(1,0,2)，(1,2,1)，cos，.答案：7.如图所示，已知正三棱柱abca1b1c1的所有棱长都相等，d是a1c1的中点，则直线ad与平面b1dc所成角的正弦值为_解析：不妨设正三棱柱abca1b1c1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系(x轴垂直于ab)，则c(0,0,0)，a(，1,0)，b1(，1,2)，d(，2)，则(，2)，(，1,2)设平面b1dc的法向量为n(x，y,1)，由解得n(，1,1)又(，2)，sin|cos，n|.答案：8.如图，在正三棱柱abca1b1c1中，ab1，aa12，则二面角c1abc的余弦值为_解析：如图建立空间直角坐标系，则a(0,0,0)，(0,1,2)，(，0)设n(x，y，z)为平面abc1的法向量，则取n(，2，1)，同理取m(0,0,1)作为平面abc的法向量则cosm，n.二面角c1abc的余弦值为.答案：三、解答题9(2010高考天津卷)如图，在长方体abcda1b1c1d1中，e，f分别是棱bc，cc1上的点，cfab2ce，abadaa1124.(1)求异面直线ef与a1d所成角的余弦值；(2)证明af平面a1ed；(3)求二面角a1edf的正弦值解：如图所示，建立空间直角坐标系，点a为坐标原点设ab1，依题意得d(0,2,0)，f(1,2,1)，a1(0,0,4)，e(1，0)(1)易得(0，1)，(0,2，4)，于是cos，.所以异面直线ef与a1d所成角的余弦值为.(2)证明：易知(1,2,1)，(1，4)，(1，0)，于是0，0.因此，afea1，afed.又ea1ede，所以af平面a1ed.(3)设平面efd的法向量u(x，y，z)，则即不妨令x1，可得u(1,2，1)，由(2)可知，为平面a1ed的一个法向量，于是cosu，从而sinu，.所以二面角a1edf的正弦值为.10四棱锥pabcd的底面与四个侧面的形状和大小如图所示(1)写出四棱锥pabcd中四对线面垂直关系(不要求证明)；(2)在四棱锥pabcd中，若e为pa的中点，求证：be平面pcd；(3)在四棱锥pabcd中，设面pab与面pcd所成的角为(090)，求cos的值解：(1)在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，ad平面pab，bc平面pab，ab平面pad.cd平面pac.(2)依题意ab，ad，ap两两垂直，分别以直线ab，ad，ap为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如上图则p(0,0,2)，b(2,0,0)，c(2,2,0)，d(0,4,0)e是pa的中点，点e的坐标为(0,0,1)，(2,0,1)，(2,2，2)，(0,4，2)设n1(x，y，z)是平面pcd的法向量由即取y1，得n1(1,1,2)为平面pcd的一个法向量n12101120，n1，平面pcd.又be平面pcd，be平面pcd.(3)由(2)，平面pcd的一个法向量为n1(1,1,2)又ad平面pab，平面pab的一个法向量为n2(0,1,0)cos|.一、选择题1.如图所示，a1b1c1abc是直三棱柱，bca90，点d1、f1分别是a1b1和a1c1的中点，若bccacc1，则bd1与af1所成角的余弦值为()a. b.c. d解析：选a.建立如图所示的空间直角坐标系，设bccacc12，则a(2,0,0)，b(0，2,0)，c1(0,0,2)，a1(2,0,2)，b1(0，2,2)d1、f1为a1b1、a1c1的中点，d1(1,1,2)，f1(1,0,2)，(1，1,2)，(1,0,2)，(1，1,2)(1,0,2)3，|，|，cos，.2.(2010高考北京卷)如图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为2，动点e、f在棱a1b1上，动点p，q分别在棱ad，cd上，若ef1，a1ex，dqy，dpz(x，y，z大于零)，则四面体pefq的体积()a与x，y，z都有关b与x有关，与y，z无关c与y有关，与x，z无关d与z有关，与x，y无关答案：d二、填空题3已知在半径为2的球面上有a、b、c、d四点，若abcd2，则四面体abcd的体积的最大值为_解析：过cd作平面pcd，使ab平面pcd，交ab与p，设点p到cd的距离为h，则有v四面体abcd22hh，当直径通过ab与cd的中点时，hmax22，故vmax.答案：4.(2011高考湖北卷)如图，直角坐标系xoy所在的平面为，直角坐标系xoy(其中y轴与y轴重合)所在的平面为，xox45.(1)已知平面内有一点p(2，2)，则点p在平面内的射影p的坐标为_；(2)已知平面内的曲线c的方程是(x)22y220，则曲线c在平面内的射影c的方程是_解析：(1)设点p在平面内的射影p的坐标为x，y，则点p的纵坐标和p(2，2)纵坐标相同，所以y2，过点p作phoy，垂足为h，连结ph，则php45，p横坐标xphphcos45xcos4522，所以点p在平面内的射影p的坐标为(2,2)；(2)由(1)得xxcos45x，yy，所以代入曲线c的方程(x)22y220，得(x)22y220(x1)2y21，所以射影c的方程填(x1)2y21.答案：(2,2)(x1)2y21三、解答题5.如图所示，在三棱柱abca1b1c1中，侧面a1abb1和bcc1b1是两个全等的正方形，ac1平面a1db，d为ac的中点(1)求证：平面a1abb1平面bcc1b1；(2)求证：b1c平面a1db；(3)设e是cc1上一点，试确定点e的位置，使平面a1db平面bde，并说明理由解：(1)证明：如图，连结ab1交a1b于o点，连结od.ac1平面a1db，a1b平面a1db，ac1a1b.又在正方形a1abb1中，a1bab1，ac1ab1a.a1b面ac1b1.又b1c1面ac1b1，a1bb1c1.在正方形bcc1b1中有b1c1bb1，又bb1a1bb，b1c1平面a1abb1.平面a1abb1平面bcc1b1.(2)证明：由(1)知bc，bb1，ba两两垂直，如图以b为原点，bc，bb1，ba分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系bxyz，设正方形边长为1，则c(1,0,0)，c1(1,1,0)，b1(0,1,0)，a1(0,1,1)，a(0,0,1)，d(，0，)由ac1平面a1db，得平面a1db的一个法向量为n(1,1，1)(1，1,0)，n(1，1,0)(1,1，1)1100.又b1c平面a1db，b1c平面a1db.(3)设点e(1，b,0)，平面bde的法向量为m(x，y，z)，则由得令y1，则m(b,1，b)，由mn(b,1，b)(1,1，1)0，得b，即当e为cc1中点时，平面a1db平面bde.6.(2011高考四川卷)如图，在直三棱柱abca1b1c1中，bac90，abacaa11.d是棱cc1上的一点，p是ad的延长线与a1c1的延长线的交点，且pb1平面bda1.求证：cdc1d；求二面角aa1db的平面角的余弦值；求点c到平面b1dp的距离解：法一：(1)证明：如图所示，连接ab1，与ba1交于点o，连接od，pb1平面bda1，pb1平面ab1p，平面ab1p平面bda1od，odpb1.又aob1o，adpd.又acc1p，cdc1d.如图所示，过点a作aeda1于点e，连接be.baca，baaa1，且aa1aca，ba平面aa1c1c.由三垂线定理可知beda1，bea为二面角aa1db的平面角在rta1c1d中，a1d ，又saa1d11ae，ae.在rtbae中，be，cosbea.故二面角aa1db的平面角的余弦值为.由题意知，点c到平面b1dp的距离是点c到平面db1a的距离设此距离为h，vcab1dvb1acd，sdb1ahsacdb1a1.由已知可得ap，pb1，ab1，在等腰ab1p中，sab1pab1.sab1dsab1p.又sacdaccd，h.故点c到平面b1dp的距离等于.法二：如图，以a1为原点，a1b1，a1c1