模拟——数学问题的探索与解决的一种有效方法与手段.pdf

4 0 鼓掌教学研究第3 3 卷第1 期2 0 1 4 年1 月 模拟 数学问题的探索与解决的一种有效方法与手段 赵金良1 虞关寿2 L 浙江省绍兴市高级中学3 1 2 0 0 0 2 浙江省绍兴鲁迅中学3 1 3 0 0 0 话题引入 一个经典的数学问题 七 桥问题 哥尼斯堡是1 8 世纪东普士的一个城 市 流经市区的布勒尔河湾处有两个岛和七 座桥 如图1 人们提出了一个有趣的问题 能否在一次连续的散步中不重复地走过这七 座桥 对于这个问题 许多人进行大量的实 验均未成功 这就成了著名的哥尼斯堡的七 桥问题 图1 问题到了欧拉那里 他把 陆地和岛用一个点来表示 而 每一座桥用线表示 从而得到 一个网络图 如图2 这也就 是建立了哥尼斯堡七桥问题 的一个数学模型 通过这个模 型来研究原型问题 而这个数 学模型的求解 是个一笔画的 图2 问题 欧拉证明了这个图形用一笔画成是不 可能的 因为任何一笔画图形 或没有奇点 或有两个奇点 而这个图形中有4 个奇点 故 不能一笔画成 欧拉在解决七桥问题时 根据陆地 桥和 人走过的关系的特征 巧妙地构造了一个网 络图 模型 把七桥问题化归为网络图的一 笔画问题 这种方法就是模拟方法 1 模拟的数学意义 1 在解决数学问题的过程中 我们可以根 据问题的某些本质属性 去掉一些与问题本 身无实质性联系的属性 创造性地构造一个 与之相似或近似的模型去研究和探索 我们 称这个模型为原数学闯题的模拟 这种通过 对原问题的模拟去间接研究原问题的性质和 规律的方法称之为模拟方法 一般来说 用模拟方法解决数学问题或 探求问题求解途径要比类比方法所得的结果 来得精确 当通过构造模型所得的模拟题 其 题设条件与原问题的题设条件实质上完全相 同时 模拟题的解决的结果就可以直接移植 到原问题的解题上去 但当模拟题的题设条 件与原问题的题设条件实质上不完全相同 时 它的论断就可能有差异 在这种情况下 用模拟去解决问题的结果与原问题只能是近 似的 因此 在运用模拟法解决问题的过程 中 要不断完善通过构造模型所得的模拟题 使之在实质上更逼近原问题 解题的结果更 为准确 2 数学解题的模拟方法与策略 解数学问题的模拟方法大致可分为数学 关系相似模拟方法与物理原理相似模拟方 法 2 1 数学关系相似模拟方法 这种方法是根据原问题的题设条件的数 量关系或空间形式 构造一个与之相似的较 为简单的模拟题 通过解这个模拟题去解决 原问题 它具体又可分为 数式关系模拟与图 形形式模拟 2 1 1 数式关系模拟 复杂的综合问题 往往是由一些比较简 单的数式关系巧妙地糅合而成的 通过对各 个简单韵数式寻 母 再经过适当的模拟综 万方数据 第3 3 卷第1 期2 0 1 4 年1 月数学教拳研究 4 1 合得问题解 例1 关于z 的方程 z 2 1 2 一l 一l l k 0 给出下列4 个命题 存在实数k 使得方程恰有2 个不同 的实根 存在实数k 使得方程恰有4 个不同 的实根 存在实数壳 使得方程恰有5 个不同 的实根 存在实数k 使得方程恰有8 个不同 的实根 其中假命题的个数是 A o B 1 C 2 D 3 分析原方程整理为i 一1 1 2 一I 一1 j 志 o 令 I 一一1I 则上述方程变为产一 志 0 通过换元将这个命题分解为以下 两个子问题 当t E o 时 函数尼 t 2 t 的值变化情况 讨论 方程f l 矿一1l 解的情 况 当t E o o 时 函数k 一t 2 t 的图像 如图3 所示 由图像知 置 f 0 l 图3 当J 乏 时 z 百1 方程丢 l 一l l 有 4 解 当愚 o 丢 如取屁 吾时 t 吾或t 了1 此时t l 一lJ 解有8 解 当k o 寸 t 0 或1 此时方程 l Z 2 1I 解有5 解 当 k 孛 分析由已知函数 所要求证式具体为 丢 t a nz l t a nz 2 t a l l 华 注意到此 o 不等式左右两边的显著差异是角不相同 所 以有必要把异角化同角 t a n 等t a n 等 卜t a n 2 等1 t a n z c 9 2 2 t a n 号 t a n 等 1 t a n 鲁t a n 2 鲁 联想到不等式 口b d 6 F 虿十而i 夕葡 对该不等式左边通分合并即可完成 垒J 上一 垒 丝 二堂2 1 1 一n 2 1 1 一易2 1 a b 2 一 口一6 2 鸳产 尚 2 1 2 图形形式模拟 根据数式的结构特征 构造模拟出与之 相适应的几何图形 并利用图形的特性和规 律 解决数式问题 例3 求s i 砰2 0 o o s a S o s i n2 0 o o s5 0 的值 分析此题若用纯 三角知识去求解是相当 费力的 但如果进行适当 变换 通过构造图形去模 拟 显得相当简捷 如图 4 因为原式一s 砰2 0 s i 铲4 0 t 一2 s i n2 0 s i n4 0 图4 c o s1 2 0 所以可构造直径为1 的圆及 A B C 其中A 2 0 B 4 0 C 1 2 0 由正 弦定理知 B C s i n4 0 A C s i n1 2 0 A B s i n1 2 0 又由余弦定理知 s i n z t 2 0 0 s i n 2 2 0 s i n 2 4 0 6 2 s i n2 0 s i n4 0 C 0 81 2 0 万方数据 第3 3 卷第1 期2 0 1 4 年1 月 所以原式 倒4 已知函数 z t a nz z 0 专 若X lg X 2 G 0 号 且z 娩 证明 号 丑 八恐 垫专丝 分析此题在上面 是模拟一个不等式加以 解决的 下面采用模拟 图形求解 如图5 在单 位圆中 过A 作切线 A r 在A T 上取B C D 使么B X l C 厂 荔 E D 矗 工 0 圈5 L C O A 乜 么D o A 兰学 显然o D 为 么B 的平分线 取E 为B C 的中点 不妨 设X Z X l 因为z l 魂 o 詈 则I l I O O I l A B I t a l lz l l A C l t a n 劫 l A D I t 鼢盟 在 B 中 由三角形内角平 分线的性质得 惴 船 故础 1 即f B D f f B D l 从而l A E I A D I 因为A E 寺 1 A B I l A c I 故 告 t a nz 1 t a n 恐 t a l l 亟 即原不等 式成立 2 2 物理原理相似模拟方法 这种模拟方法 是根据原问题的题材与 某种物理形态与物理过程中的原理相似性 构造一个物质 实体 模型来进行模拟实验 从模拟实验所得的结果来推断原问题的结 果 或通过对模拟实验过程的物理分析来发 现解决问题的途径 它具体又可分为 物理形 态模拟与物理过程模拟 2 2 1 物理形态模拟 力的平衡原理的数学模型是 同 平面 上的众合力为0 即2 P 0 刀与 力X 力臂相 等 即 X l l 2XZ 2 运用力的平衡原理 可以解决 解释某些数学同题 数学现象 问题1 费马问题 在锐角三角形A B C 内是否存在一点P 使其到3 顶点的距离之 和为最短 分析考虑此点是否存在 用纯数学方 法不好得出结论 但用力的平衡原理去思考 此点一定存在 且这一点到3 顶点连线的夹 角均为1 2 0 R P 对每个边的视角均为1 2 0 因为作用在这一点的3 个相等的力要平衡的 话 它们的合力为o 3 个力各指向这一点和 三角形3 顶点连线的方向 且三者之间夹角 为1 2 0 有了这个答案 我们用数学方法证 明之就不难了 略 问曩2某粮店用一杆不准确的天平 其两边臂不等长 称大米某顾客要购买 2 0k g 大米 售货员先将l Ok g 的砝码放入左 盘 置大米于右盘使之平衡后给顾客 然后又 将1 0k g 砝码放人右盘 置大米于左盘 平衡 后再给顾客 请问 是顾客吃亏还是粮店吃 亏 分析若顾客所得的大米多于2 0 g 则粮店吃亏 因此解此题的关键是求顾客称 得大米的实际重量 再与2 0k g 进行比较 从 而达列求解的目的 由天平很自然地联葱物 理中的杠杆原理即动力 动力臂 阻力 阻 力臂 由此可建立数学模型 不等式 设天平的支点为0 左盘A 的臂长为 X A 右盘B 的臂长为X B 两次称得的实际重 量为G A 岛 则有G x l O x r 岛 翔 1 1 0 X a 因为X A X B 所以G G B 芝磐 正 1 A 一 半 2 故顾客所得的大米实际质量超过 丑 2 0k g 因此粮店吃亏 物理学上的重心是指多个物体达到平衡 时的支撑点 把它运用于数学问题之中 去解 万方数据 第3 3 卷第1 期2 0 1 4 年t 月 数学教学研究 4 3 决一些几何问题可以简化复杂的运算与推理 闻题3已知三角形A B C A D B E C F 分别是边B C A C A B 的中线 求证 A D B E C F 三线交于一点 分析此题用纯几何方法或用坐标法 向量法证不太好证明 若用重心原理解答 简 洁明快 令人耳目一新 如图6 在三角形 A B C 的3 个顶点处各 放一个单位质量的物 体 分别用A 1 B 1 C 1 表示 根据杠杆原 理知 B C 二点的重心 图6 在D 点 即B C 的中点 它的质量应为2 可 用D 2 表示 这样A 1 和D 2 的重心应在 离A 与D 距离之比为2 的位置 设为G 同 理可得B 1 和E 2 的重心也在G 点 C 1 和F 2 的重心也在G 点 由于重心的唯一 性 所以A D B E C F3 线交于一点 问题4已知四面 体A B C D 设G 1 为 A C D 的重心 G 2 为 B C D 的重心 G 3 为 A A B C 的重心 G 4 为 A B D 的重心 如图7 求证 A G 2 B G l D G C G 4 四线交于一点G 图7 证明在四面体A B C D 的4 个顶点处 各放一个单位质量的物体 分别用A 1 B 1 C 1 D 1 表示 因为G 2 是三角形 B C D 的重心 所以G 2 处的质量为3 即G 2 3 根据杠杆原理知 G 2 3 与A 1 的重心 应在离A 与G z 距离之比为3 的位置 设为 G 则G 为四面体A B C D 的重心 由重心的 唯一性同理可证得 G 在B G D G 3 上 所以A G 2 B G l D G 3 a G 44 线交于一点G 2 2 2 物理过程模拟 在自然界中 光的传播具有直线性与可 逆性等特征 当光线照射到一平面镜子上时 入射光线与反射光线关于平面镜子的法线对 称 当光线从椭圆镜的一个焦点发出 射到椭 圆镜面上 经反射光线必经过另一个焦点 把物理学中这些光学性质运用于数学 问题中 可以提高解题质量 避免繁杂的推理 与运算 问题5已知长方形的4 个顶点A O O B 2 0 C 2 1 和D 0 1 一质点从A B 的中点P 0 沿与A B 夹角为8 的方向射到B C 上的点P t 后 依次反射到C D D A 和A B 上 的点P P 和P 人射角等于反射角 设 P 4 的坐标为 z 4 0 若1 z 4 诊o 上不为椭圆顶点的任一点 F 2 万方数据 数学教学研究第3 3 卷第1 期2 0 1 4 年1 月 为椭圆的两焦点 过P 作椭圆的一条切线z 交 椭圆长轴于丁点 则有 尉 胤棚P TP F 2T F 2I 1 为么F l P F 2 的外角平 分线 尽 月 芥心 丁 乡3 图9 分析该题可用有关数学知识和工具经 运算解决 但用物理学方法进行 就显得简捷 明了 由光学原理 光线从F 2 发出射到P 点 经切线P T 反射后 必经过另一焦点F 2 则 有么F 2 P A F l P T 因为么F 2 P A 么T P B 所以么F 1 P T B P T 即P T 为 Z F I P F 2 的外角平分线 所以删 IT F I T F 2l 问题7 已知三角形A B C 为锐角三角 形 问 是否存在其一个内接三角形D E F 且 A D E F 的周长最小 分析此问题用纯数学方法很难猜测出 这样的三角形是否存在 但若用 光路最短原 理 可知 这样的三角形是存在的 且正好是 它的垂足三角形 证明如图1 0 若 在B C 边 平面镜 上放 一光源 经平面镜A C A B 反射 若能回到D 点 根据光线反射定理 可知入射角等于反射 图1 0 角 此时三角形的高线为法线 即么1 么2 么3 么4 么5 6 则D E F3 点正好是 三角形A B C 三高线的垂足 按 光路最短原 理 知 光线按垂足三角形走 非但跑得快 也 是走捷径 故A D E F 为周长最短的内接三角 形 光路三兔形 问题8 求证 t a n 薹2 上等 分析该命题用纯三角公式不难可以证 得 现采用物理学方法解决 先设计一个物理 问题 如图1 1 在匀强 电场E 中 一质量为7 n 带电量为q 的小球 用 一长为L 的绝缘细线系 住 将细线拉至水平无 图1 1 初速度释放 当细线摆至与水平成口角时球 静止 则小球在摆动过程中的最大速率是多 少 证明小球从开始运动到静止 由动能 定理E q L 1 C O S 口 一硼止s i n 口 o 即m g J a Y 盟二旦堕型 根据对称性可知 小球最大速 a U l 率的位置应在口角的平分线上 t a n 号 辔 1 c o sa 即t a n 导 1 c o sa s l n 口 厶 s l n 口 问题9证明Cu AnB 一Cu AU C 必 C A U 8 C u A NC U B 分析德摩根定理是集合论里一个非常 重