追及和相遇问题.doc

一道“追及和相遇问题”试题的思考和引申内容：去年我校高一上学期期中考试中，最后一道试题为“追及和相遇问题”，原题是这样的：A、B两列火车在同一轨道上同向行驶，A在前，速度为vA 10m/s，B在后，速度为vB30m/s，因大雾能见度低，B车在距A车500m时，才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但要经过1800mB车才能停下，问：(1)车若要仍按原速前进，两车是否相撞？试说明理由。(2)B在刹车的同时发出信号，A车司机在收到信号1.5s后加速前进，A车加速度为多大时，才能避免事故发生？（不计信号从A传到B的时间）我通过批改发现：第一问失分较少，第二问全年级只有两位学生想到用两车速度相等时刚好相遇这个临界条件列式，但是由于计算太繁，都没有得到结果。第一问虽然基本上能算出来，但解法不具有一般性，若将开始时A、B两车的距离改为700m，该解法便会失效。第一问的解法如下：解：先求B车从刹车到停下来所需时间tB 由sB =vBtB得 B A A B tB= =2s=120s 再求在相同的时间内A车通过的位移sA sA=vAtB=10120m=1200m 最后比较sA+s0和sB的大小关系即可判断结果 由于sA+s0=(1200+500)m=1700m 故sA+s0sB 由位置关系图可知两车会相撞。 考虑到该解法不具有一般性，并且可以归纳出解决这类问题的几种方法，让学生做到具体问题具体分析，还涉及实际问题，就本题我提出了几个问题，让学生通过讨论、归纳，总结出解决这类问题的方法，取得了很好的效果。提问1：通过上面的计算我们知道两车能相撞，试问它们何时相撞？解：设B车刹车后经过时间t两车相遇，依题意有sA+s0=sB 而sA=vAt，sB=vBt+at2（其中a为B车刹车过程中的加速度，根据已知条件很易求出a-0.25m/s2），将sA、sB的表达式代入上式解得t1=31s， t2=129s提问2：为什么有两个解？t2是否有意义？ 答：A、B两车相撞两次，第一次是B车追上A车，第二次是A车追上B车。两车只能相撞一次，故t2没有意义。提问3：B车追上A车时，哪车的速度大？ 答：B车的速度大， 因为B车从减速到和A车的速度相等所需的时间为：t= =s=80s，因为t t1，故B车的速度大。提问4：若A、B两车相遇但不会相撞，A车又追上B车时，B车的速度是多大？从B车开始减速到两车第二次相遇共需多少时间？ 答：由于B车刹车后经过120s后就停下来，故129s时它的速度仍为零。由于B车停止后不能往后倒，故第二次相遇所需时间为：t2= =s=130s。这是一个实际问题，要注意解的合理性。提问5：若开始两车相距700m，试问两车是否会相撞？ 答：由于sA+s0=1200+700m=1900m，而sB=1800m，即sA+s0sB，故两车不会相撞。提问6：若用第二种方法，即设B刹车后经过时间t两车相撞，方程是否有解呢？ 答：由sA+s0=sB得 vAt+ s0=vBt+at2 即10t+700=30t-0.125t2移项并整理得 t2-160t+5600=0 该方程的判别式为 =1602-45600=32000，故该方程有解，即相撞，并且有相遇两次的可能。原来先是B超过A，后来A又超过B，我们不能认为开始时A在B的前面，后来A仍在B的前面，就得出两车不相撞的结论。由此可见用简单的位移关系是得不出正确结果的。提问7：试问：若要使两车不相撞，开始时两车间的距离s0至少为多少？ 解：设两车经过时间t后相撞，由位置关系易得出： vAt+ s0=vBt +at2 即10t+s0=30t-0.125t2移项并整理得 t2-160t+8s0=0 要使两车不相撞，即要使该方程无解，即 即 1602-48s00 故s0800m，即开始时两车间的距离至少为800m。提问8：若两车刚好能相撞，相撞时两车的速度有何关系？ 答：应该刚好相等，刚开始时B车的速度比A车的速度大，两车之间的距离减小，当两车的速度达到相等时，距离最小，之后两车之间的距离将变大，若速度相等时还没有相遇，则两车不会再相遇。若s0=800m时，解得t=80s，此时B车的速度为v B =v B +at=30+(-025)80m/s=10m/s=v A。规律总结：求追及、相遇或相撞问题时，若问两物体能否相撞，一般是设经过时间t后两物体相撞，根据位移关系列出方程，它一般是关于t的二次方程，然后根据判别式的正、负或零来判断，若，则二者能相撞，若，则不能相撞；若问二者何时相撞，解法同上，但要注意解是否合理，是否是实际问题；若问能相遇几次，解出相遇所需的时间，有几个解，就能相遇几次，同样要注意解是否合理；若求两者之间的最大或最小距离，通常求出两物体速度达到相等时各自的位移，两位移之差即为两物体之间的最大或最小距离；也可设经过时间t后两者相距S，根据位置关系写出S的表达式，然后根据二次函数求极值的方法可以求出（一般用配方的方法来求）。这样，该题第二问的解法很易得出：设B车刹车后经过ts两车刚好相撞，则应有：s B= s A+s0即v Bt+a B t2=v A t0+ v A(t-t0)+ a A (t-t0)2+s030t-t2=15+10(t-1.5)+ a A (t-1.5)2+500刚好相撞，则=0，解得a A =0.16m/s2为了及时巩固，配了以下三个同步练习，发现学生很快就解出来，并且方法很多，可见学生真正掌握了“追击和相遇问题”的解题技巧。1、火车以速度1匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距处有另一火车以速度2同方向匀速行驶，而且1 2 .司机立即以大小为的加速度紧急刹车，要使两车不相撞，应满足什么条件？2、甲、乙两辆汽车在水平公路上同时、同地出发，同向运动。甲车出发时，初速度为10m/s，加速度为-4m/s2；乙车初速度为零，加速度为1m/s2，则乙车追上甲车需要多长时间？3、一乘客以6.0m/s的恒定的速度跑步去追赶因红灯正停在路口的公共汽车，当他距离公共汽车25m时，绿灯亮了。公共汽车以1.0m/s2的加速度匀加速起动前进，那么，该乘客是否能追上公共汽车？若能，则他在离路口多远处追上？若不能，则他离汽车的最近距离是多大？甲车以10m/s的速度在平直的公路上匀速行驶，乙车以4m/s的速度和甲车平行同向做匀速直线运动，甲车经过乙车旁边开始以0.5m/s的加速度刹车，从甲刹车开始计时求：乙车在追上甲车前，两车相距最大的距离。追及与相遇问题求解追及和相遇问题的基本思路：分别对两物体研究；画出运动过程示意图；列出位移方程；找出时间关系、速度关系、位移关系；解出结果，必要时进行讨论。例4物体A、B同时从同一地点，沿同一方向运动，A以10m/s的速度匀速前进，B以2m/s2的加速度从静止开始做匀加速直线运动，求A、B再次相遇前两物体间的最大距离。解析：解法一：物理分析法A做A=10m/s的匀速直线运动，B做初速度为零、加速度a=2m/s2的匀加速直线运动。根据题意，开始一小段时间内，A的速度大于B的速度，它们间的距离逐渐变大；当B的速度加速到大于A的速度后，它们间的距离又逐渐变小；A、B间距离有最大值的临界条件是A=B 设两物体经历时间t相距最远，则A=at 把已知数据代入两式联立得：t=5s在时间t内，A、B两物体前进的距离分别为SA=At=105m=50mSB=A、B再次相遇前两物体间的最大距离为Sm=SA-SB=50m-25m=25m解法二：相对运动法因为本题求解的是A、B间的相对距离，所以可利用相对运动求解。选B为参考系，则A相对B的初速度、末速度、加速度分别是0=10m/s、t=A-B=0,a=-2m/s2,根据2 t-2 0=2as有0-102=2（-2）SAB解得A、B间的最大距离为SAB=25m解法三：极值法物体A、B的位移随时间变化规律分别是SA=10t，SB=2t2=t2则A、B间的距离s=10t-t2,可见，s有最大值，最大值为解法四：图象法根据题意题意作出A、B两物体的-t图象，如图1-3-11所示，由图可知，A、B再次相遇前它们之间距离有最大值的临界条件是A=B，得t1=5s。A、B间距离的最大值数值上等于OAP的面积，即Sm=方法总结：解答追及相遇问题的常用方法：（1）物理分析法：抓好“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，按（解法一）中的思路分析。（2）相对运动法：巧妙地选取参考系，然后找两物体的运动关系（3）极值法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若0，即有两个解，说明可以相遇两次；若=0，说明刚好追上或相踫；若0，说明追不上