七年级下数学相交线与平行线专题总结(含答案)[1].doc

1 相交线与平行线专题总结 一 知识点填空 1 两直线相交所成的四个角中 有一条公共边 它们的另一边互为反向延长线 具有这种关系的两个角 互为 2 对顶角的性质可概括为 3 两直线相交所成的四个角中 如果有一个角是直角 那么就称这两条直线相 互 4 垂线的性质 过一点 一条直线与已知直线垂直 连接直线外一点与直线上各点的所在线段中 5 直线外一点到这条直线的垂线段的长度 叫做 6 两条直线被第三条直线所截 构成八个角 在那些没有公共顶点的角中 如果两个角分别在两条直线的同一方 并且都在第三条直线的同侧 具有这 种关系的一对角叫做 如果两个角都在两直线之间 并且分 别在第三条直线的两侧 具有这种关系的一对角叫做 如 果两个角都在两直线之间 但它们在第三条直线的同一旁 具有这种关系的 一对角叫做 7 在同一平面内 不相交的两条直线互相 同一平面内的两条直线 的位置关系只有 与 两种 8 平行公理 经过直线外一点 有且只有一条直线与这条直线 推论 如果两条直线都与第三条直线平行 那么 9 平行线的判定 两条直线被第三条直线所截 如果同位角相等 那么这两 条直线平行 简单说成 两条 直线被第三条直线所截 如果内错角相等 那么这两条直线平行 简单说成 两条直线被第三条直线所截 如果同旁 内角互补 那么这两条直线平行 简单说成 10 在同一平面内 如果两条直线都垂直于同一条直线 那么这两条直线 11 平行线的性质 两条平行直线被第三条直线所截 同位角相等 简单说成 两条平行直线被第三条直线所截 内错角相等 简单说成 两条平行直线被第三条直线所截 同旁内角互补 简单说成 12 判断一件事情的语句 叫做 命题由 和 两部分组 成 题设是已知事项 结论是 命题常可以写成 如 果 那么 的形式 这时 如果 后接的部分是 那么 后接的部分是 如果题设成立 那么结论一定成立 像 这样的命题叫做 如果题设成立时 不能保证结论一定成立 像 这样的命题叫做 定理都是真命题 13 把一个图形整体沿某一方向移动 会得到一个新图形 图形的这种移动 叫 做平移变换 简称 图形平移的方向不一定是水平的 14 平移的性质 把一个图形整体平移得到的新图形与原图形的形状与大小完 全 新图形中的每一点 都是由原图形中的某一点移动 后得到的 这两个点是对应点 连接各组对应点的线段 二 典型题型训练 15 如图 那么点 8 6 10 BCAC CBcm ACcm ABcm A到BC的距离是 点B到AC的距离是 点A B两点的距离 是 点C到AB的距离是 2 16 设 b c为平面上三条不同直线 若 则a与c的位置关系a ab bc 是 若 则a与c的位置关系是 若 ab bc ab 则a与c的位置关系是 bc 17 如图 已知AB CD EF相交于点O AB CD OG平分 AOE FOD 28 求 COE AOE AOG的度数 18 如图 与是邻补角 OD OE分别是与的平AOC BOC AOC BOC 分线 试判断OD与OE的位置关系 并说明理由 19 如图 AB DE 试问 B E BCE有什么关系 解 B E BCE过点C作CF AB 则 B 又 AB DE AB CF E B E 1 2 即 B E BCE 20 如图 已知 1 2 求证 a b 直线 求证 ab12 21 阅读理解并在括号内填注理由 如图 已知AB CD 1 2 试说明EP FQ 证明 AB CD MEB MFD 又 1 2 MEB 1 MFD 2 即 MEP EP 22 已知DB FG EC A是FG上一点 ABD 60 ACE 36 AP平分 BAC 求 BAC的大小 PAG的大小 3 23 如图 已知 于D 为上一点 于F ABC ADBC EABEFBC 交 CA 于G DGBA 求证12 24 已知 如图 1 2 C D 问 A与 F相等吗 试说明理由 三 兴趣拓展 平行线问题 平行线问题 平行线是我们日常生活中非常常见的图形 练习本每一页中的横线 直尺的上下两边 人行横道上的 斑马线 以及黑板框的对边 桌面的对边 教 室墙壁的对边等等均是互相平行的线段 正因为平行线在生活中的广泛应用 因 此有关它的基本知识及性质成为中学几何的基本知识 正因为平行线在几何理论 中的基础性 平行线成为古往今来很多数学家非常重视的研究对象 历史上关于 平行公理的三种假设 产生了三种不同的几何 罗巴切夫斯基几何 黎曼几何及 欧几里得几何 它们在使人们认识宇宙空间中起着非常重要的作用 现行中学 中所学的几何是属于欧几里得几何 它是建立在这样一个公理基础之上的 在 平面中 经过直线外一点 有且只有一条直线与这条直线平行 在此基础上 我们学习了两条平行线的判定定理及性质定理 下面我们举例说明这些知识的应 用 例 1 如图 1 18 直线 a b 直线 AB 交 a 与 b 于 A B CA 平分 1 CB 平分 2 求证 C 90 例例 2 2 如图 1 21 所示 AA1 BA2求 A1 B1 A2 例例 3 3 如图 1 26 所示 AE BD 1 3 2 2 25 求 C 例例 4 4 求证 三角形内角之和等于 180 例例 5 5 求证 四边形内角和等于 360 例例 6 6 如图 1 29 所示 直线 l 的同侧有三点 A B C 且 AB l BC l 求证 A B C 三点在同一条直线上 4 例例 7 7 如图 1 30 所示 1 2 D 90 EF CD 求证 3 B 四 课后思考题 1 如图 1 31 所示 已知 AB CD B 100 EF 平分 BEC EG EF 求 BEG 和 DEG 2 如图 1 32 所示 CD 是 ACB 的平分线 ACB 40 B 70 DE BC 求 EDC 和 BDC 的度数 3 如图 1 33 所示 AB CD BAE 30 DCE 60 EF EG 三 等分 AEC 问 EF 与 EG 中有没有与 AB 平行的直线 为什么 4 证明 五边形内角和等于 540 5 如图 1 34 所示 已知 CD 平分 ACB 且 DE ACCD EF 求证 EF 平分 DEB 参考答案参考答案 一 1 邻补角 2 对顶角 对顶角相等 3 垂直 有且只有 垂线段最短 4 点 到直线的距离 5 同位角 内错角 同旁内角 6 平行 相交 平行 7 平行 这两直线互相平行 8 同位角相等 两直线平行 内错角相等 两直线平行 同旁内角互补 两直线平行 9 平行 10 两直线平行 同 位角相等 两直线平行 内错角相等 两直线平行 同旁内角互补 11 命题 题 设 结论 由已知事项推出的事项 题设 结论 真命题 假命题 12 平移 相同 平行且相等 13 6cm 8cm 10cm 4 8cm 14 平行 平行 垂直 15 28 118 59 16 OD OE 理由略 17 1 两直线 平行 内错角相等 DE CF 平行于同一直线的两条直线平行 2 两直线 平行 内错角相等 18 1 2 又 2 3 对顶角相等 5 1 3 a b 同位角相等 两直线平行 a b 1 3 两直 线平行 同位角相等 又 2 3 对顶角相等 1 2 19 两 直线平行 同位角相等 MFQ FQ 同位角相等两直线平行 20 96 12 21 ADBC FEBC 90EFBADB 22 EFAD 23 31DGBA 12 A F 1 DGF 对顶角相等 又 1 2 DGF 2 DB EC 同位角相等 两直线平行 DBA C 两直线平行 同位 角相等 又 C D DBA D DF AC 内错角相等 两直 线平行 A F 两直线平行 内错角相等 三三 例例 1 1 如图 1 18 直线 a b 直线 AB 交 a 与 b 于 A B CA 平分 1 CB 平分 2 求证 C 90 分析分析 由于 a b 1 2 是两个同侧内角 因此 1 2 过 C 点作直线 l 使 l a 或 b 即可通过平行线的性质实现等 角转移 证证 过 C 点作直线 l 使 l a 图 1 19 因为 a b 所以 b l 所以 1 2 180 同侧内角互补 因为 AC 平分 1 BC 平分 2 所以 又 3 CAE 4 CBF 内错角相等 所以 3 4 CAE CBF 说明说明 做完此题不妨想一想这个问题的 反问题 是否成立 即 两 条直线 a b 被直线 AB 所截 如图 1 20 所示 CA CB 分别是 BAE 与 ABF 的平分线 若 C 90 问直线 a 与直线 b 是否一定平行 6 由于这个问题与上述问题非常相似 将条件与结论交换位置 因此 不妨模仿原问题的解决方法来试解 例例 2 2 如图 1 21 所示 AA1 BA2求 A1 B1 A2 分析分析 本题对 A1 A2 B1的大小并没有给出特定的数值 因此 答案显然与所给的三个角的大小无关 也就是说 不管 A1 A2 B1的大小如何 答案应是确定的 我们从图形直观 有 理由猜想答案大概是零 即 A1 A2 B1 猜想 常常受到直观的启发 但猜想必须经过严格的证明 式给我 们一种启发 能不能将 B1一分为二使其每一部分分别等于 A1与 A2 这就引发我们过 B1点引 AA1 从而也是 BA2 的平行线 它将 B1 一分为二 证证 过 B1引 B1E AA1 它将 A1B1A2分成两个角 1 2 如图 1 22 所示 因为 AA1 BA2 所以 B1E BA2 从而 1 A1 2 A2 内错角 相等 所以 B1 1 2 A1 A2 即 A1 B1 A2 0 说明说明 1 从证题的过程可以发现 问题的实质在于 AA1 BA2 它与连接 A1 A2两点之间的折线段的数目无关 如图 1 23 所示 连接 A1 A2之 间的折线段增加到 4 条 A1B1 B1A2 A2B2 B2A3 仍然有 A1 A2 A3 B1 B2 即那些向右凸出的角的和 向左凸的角的和 即 A1 B1 A2 B2 A3 0 进一步可以推广为 A1 B1 A2 B2 Bn 1 An 0 这时 连结 A1 An之间的折线段共有 n 段 A1B1 B1A2 Bn 1An 当然 仍要保持 AA1 BAn 推广是一种发展自己思考能力的方法 有些简单的问题 如果抓住了 问题的本质 那么 在本质不变的情况下 可以将问题推广到复杂的 情况 2 这个问题也可以将条件与结论对换一下 变成一个新问题 问题 1 如图 1 24 所示 A1 A2 B1 问 AA1与 BA2是否平行 7 问题 2 如图 1 25 所示 若 A1 A2 An B1 B2 Bn 1 问 AA1与 BAn是否平行 这两个问题请同学加以思考 例例 3 3 如图 1 26 所示 AE BD 1 3 2 2 25 求 C 分析分析 利用平行线的性质 可以将角 转移 到新的位置 如 1 DFC 或 AFB 若能将 1 2 C 集中 到一个顶点处 这是最理想不过的了 过 F 点作 BC 的平行线恰能实现这个目标 解解 过 F 到 FG CB 交 AB 于 G 则 C AFG 同位角相等 2 BFG 内错角相等 因为 AE BD 所以 1 BFA 内错角相等 所以 C AFG BFA BFG 1 2 3 2 2 2 2 50 说明说明 1 运用平行线的性质 将角集中到适当位置 是添加辅助线 平 行线 的常用技巧 2 在学过 三角形内角和 知识后 可有以下较 为简便的解法 1 DFC C 2 即 C 1 2 2 2 50 例例 4 4 求证 三角形内角之和等于 180 分析分析 平角为 180 若能运用平行线的性质 将三角形三个内角集中 到同一顶点 并得到一个平角 问题即可解决 下面方法是最简单的 一种 8 证证 如图 1 27 所示 在 ABC 中 过 A 引 l BC 则 B 1 C 2 内错角相等 显然 1 BAC 2 平角 所以 A B C 180 说明说明 事实上 我们可以运用平行线的性质 通过添加与三角形三条边 平行的直线 将三角形的三个内角 转移 到任意一点得到平角的结 论 如将平角的顶点设在某一边内 或干脆不在三角形的边上的其他 任何一点处 不过 解法将较为麻烦 同学们不妨试一试这种较为麻 烦的证法 例例 5 5 求证 四边形内角和等于 360 分析分析 应用例 3 类似的方法 添加适当的平行线 将这四个角 聚合 在一起使它们之和恰为一个周角 在添加平行线中 尽可能利用原来 的内角及边 应能减少推理过程 证证 如图 1 28 所示 四边形 ABCD 中 过顶点 B 引 BE AD BF CD 并延长 AB CB 到 H G 则有 A 2 同位角相等 D 1 内错角相等 1 3 同位角相等 C 4 同位角相等 又 ABC 即 B GBH 对顶角相等 由于 2 3 4 GBH 360 所以 A B C D 360 说明说明 1 同例 3 周角的顶点可以取在平面内的任意位置 证明的本质 不变 2 总结例 3 例 4 并将结论的叙述形式变化 可将结论加以 推广 三角形内角和 180 3 2 180 四边形内角和 360 2 180 4 2 180 人们不禁会猜想 五边形内角和 5 2 180 540 n 边形内角和 n 2 180 这个猜想是正确的 它们的证明在学过三角形内角和之后 证明将非 常简单 3 在解题过程中 将一些表面并不相同的问题 从形式上加 以适当变形 找到它们本质上的共同之处 将问题加以推广或一般化 这是发展人的思维能力的