第11章 振动与波动_讲义.docx

第11章 振动与波动第一节 谐振动一般地说,任何一个物理量在某一量值附近随时间作周期性变化都可以称为振动。 振动有机械振动、电磁振动、光振动.。 本章着重研究机械振动。物体在一定的位置附近作往返运动，称为机械振动。 振动中最简单最基本最有代表性的是简谐振动。 振动的传播就是波。在弹性介质中发生的波动，是依靠弹性介质质点的机械振动而产生和传播的，因而称为机械波，或弹性波。 并不是所有的波都依靠介质传播，光波、无线电波可以在真空中传播，称为电磁波。微观粒子也有波动性，这种波称为实物波或德布罗意波。研究谐振动的意义 在一切振动中，最简单和最基本的振动称为谐振动任何复杂的运动都可以看成是若干谐振动的合成一 .谐振动的基本特征1、弹簧振子 O点为小球水平方向不受力的位置，称为平衡位置。BO： 弹性力向右，加速度向右，加速；OC： 向左， 向左，减速；CO： 向左， 向左，加速；OB： 向右， 向右，减速。物体在B、C之间来回往复运动物体作谐振动的条件 物体的惯性 阻止系统停留在平衡位置作用在物体上的弹性力 驱使系统回复到平衡位置 2、弹簧振子的动力学特征 取平衡位置O点为坐标原点，水平向右为x轴的正方向。 小球所受力的大小与它的位移的大小成正比，力的方向与位移的方向相反，始终指向平衡位置的，称为线性回复力。，若令，则， ，这就是谐振动方程的微分形式3、谐振动的运动学特征 谐振动微分方程的解为：说明： 物体在谐振动时，其位移、速度、加速度都是周期性变化的.1、从受力角度来看动力学特征 2、从加速度角度来看运动学特征 3、从位移角度来看运动学特征说明： 要证明一个物体是否作谐振动，只要证明上面三个式子中的一个即可，且由其中的一个可以推出另外两个；要证明一个物体是否作谐振动最简单的方法就是受力方析，得到物体所受的合外力满足回复力的关系。二、描述谐振动的特征量谐振动方程是1、振幅A 振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。振幅恒为正值，单位为米(m);振幅的大小与振动系统的能量有关，由系统的初始条件确定。2、周期 定义：物体作一次完全振动所需的时间，用T表示，单位为秒(s)频率 定义：单位时间内物体所作的完全振动的次数，用表示，单位为赫兹(Hz)。角频率 定义：物体在2秒时间内所作的完全振动的次数，用表示，单位为弧度/秒(rad.s-1)。说明 谐振动的基本特性是它的周期性周期、频率或角频率均由振动系统本身的性质所决定，故称之为固有周期、固有频率或固有角频率。对于弹簧振子谐振动的表达式可以表示为3、相位和初相位相位初相位 对于一个简谐运动，若振幅、周期和初相位已知，就可以写出完整的运动方程，即掌握了该运动的全部信息，因此我们把振幅、周期和初相位叫做描述简谐振动的三个特征量。4、常数A和j 的确定说明：(1) 一般来说j 的取值在和(或0和2)之间；(2) 在应用上面的式子求j 时，一般来说有两个值，还要由初始条件来判断应该取哪个值；(3)常用方法：由求A，然后由两者的共同部分求j。 三 .谐振动的描述 1.解析法： 角频率w 由谐振系统确定。 对弹簧振子： 顺便指出，弹簧的串联和并联公式与电阻的串联和并联公式是相反。 例如:一根倔强系数为k的轻弹簧,减去一半后,倔强系数是多少? ， 振幅A和初相j由初始条件(即t=0时刻物体的运动状态)来确定： 当t=0时， 2.矢量图解法旋转矢量法 矢量OM绕O点以角速度w作逆时针的匀速转动, 端点M在x轴上的投影点(p点)的位移： 显然，p点的运动就是谐振动。 矢量OM与x轴正方向间的夹角：(w t+j ) 相位 , OM转一圈,就是谐振动的一个周期T 。 3.振动的超前与落后 设有两个同频率的谐振动： x1=A1cos(w t+j1) x2=A2cos(w t+j2)四、 谐振动的能量 x =Acos(w t+j ) u =- w Asin(w t+j )振动势能： 振动动能： 对弹簧振子(任何一个简谐振动也都可以等效为一个弹簧振子)，有k=mw2 . 总能： =恒量1.由上面可以看出,谐振系统的动能和势能都随时间t作周期性的变化；而且, 动能和势能的周期为其振动周期的二分之一。势能最大时,动能最小;动能最大时,势能最小。但系统的总机械能守恒。2.平均势能： 平均动能：3.振动势能与弹性势能不一定相同。 振动势能： 其中x是对平衡位置的位移。 弹性势能： 其中x是弹簧的伸长量。 可见，单摆系统的动能和势能都是时间的周期函数单摆系统的总能量为：上式说明，尽管在单摆系统的谐振动过程中，系统的动能和势能都随时间作周期性变化，但总能量式恒定不变的，并与振幅的平方成正比。第二节 振动的合成和分解一、两个同方向同频率谐振动的合成 分振动：x1 =A1cos(w t+j1 ) x2 =A2cos(w t+j2 )合振动： x= x1+x2=A1cos(w t+j1 )+ A2cos(w t+j2 ) 利用三角公式或旋转矢量可求得合振动: x= x1+x2= Acos(w t+j )可见， (1) 合振动仍是同频率的谐振动。 (2)合振动的振幅和初相, 用旋转矢量容易求得。 二、两个同方向不同频率的谐振动的合成 分振动： x1 =Acos(w1 t+j ) x2 =Acos(w2t+j )， 且w1 与w2相差很小。 合振动： 由于w1 与w2相差很小,故w1 -w2比w1 +w2小得多; 即 比 的周期长得多，所以，合振动可近似看作是一个振幅缓慢变化的谐振动拍: 显然，拍频 (振幅Ao的变化频率)为 n拍 =n2 - n1 三、两个相互垂直的同频率谐振动的合成 x =Acos(w t+ ) y =Bcos(w t+ )从上两式中消去t, 就得到合振动的轨迹方程为 在一般情况下,这是一个椭圆方程。（1）当 b - =0时，上式为一直线： （2）当b- =p时， 上式也为一直线： （3）当b - =p/2时，上式仍为一椭圆：，合振动不再是谐振动。若A=B,椭圆变为圆 （4）如果 - 不为上述数值，那么合振动的轨迹为边长分别为2A(x方向）和2B（y方向）的矩形范围内的任意确定的椭圆。四、两个相互垂直的不同频率谐振动的合成 合成运动不是周期性的运动。下面就两种情况讨论情况1：两个分振动的频率相差很小 视为同频率的合成：两个振动的相位差缓慢地变化，质点运动的轨道循环变化。情况2：两个分振动的频率相差较大，且有简单整数比关系合振动的轨道是周期性的有一定规则的稳定的闭合曲线。称为利萨如图形。 应用测量频率：在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的利萨如图形去比较，就可得知另一个未知的频率。第三节 阻尼振动、受迫振动和共振一、阻尼振动1、阻尼振动的概念 振幅随时间的变化而减小的振动称为阻尼振动。 2、阻尼振动的运动方程 振动系统受粘滞阻力与速度大小成正比，方向相反。 弹性力或准弹性力和上述阻力作用下的动力学方程： ，固有频率 ，阻尼常数 3、讨论 情况1：欠阻尼 ： ， 阻力使周期增大。这种情况称为欠阻尼。由初始条件决定A0和初相位 ,设则有： 其中：， 情况2：过阻尼 情况3：临界阻尼 称之为临界阻尼情况。 应用在天平调衡中。 是从有周期性因子 到无周期性的临界点。 二、受迫振动 在周期性外力作用下发生的振动，称为受迫振动。该外力称为驱动力。系统受力：弹性力， 阻尼力 周期性驱动力 振动方程可写为： 令： 该微分方程的解为 上式表明,受迫振动可以看成是两个振动合成的。第一项表示的是减幅振动。经过一段时间后,这一分振动就减弱到可以忽略不计了。而第二项表示的是受迫振动达到稳定状态时的等幅振动。因此,稳态解为 可以看出,此等幅振动的频率w就是驱动力的频率,其振幅和初相为 可以看出， A、 不仅与振动系统自身的性质有关，而且与驱动力的频率和幅度有关。三、共振 受迫振动的振幅与驱动力的频率有关,当驱动力频率达某一值时,振幅达最大值。用求极值的方法可以求出使振幅达到极大值的角频率为 相应的最大振幅为 在弱阻尼(即bp/2 时，折射波消失，入射波发生全反射。 举例：光纤，武汉是全球最大的通讯光纤生产基地。高锟，光纤之父，2009年诺贝尔物理学奖。双包层光纤：二、波的干涉1. 波的独立性和叠加原理看演示。几列波相遇之后，仍然保持它们各自原有的特征继续按各自的方向传播, 好象没有遇到过其他波一样。（独立性）在波的相遇的区域内，介质中任一质点的振动为各列波在该点所引起振动的合振动。（叠加原理）2. 波的干涉干涉现象：在波的相遇区域内出现有规则的稳定的强弱分布。 相干条件：1.波频率相同 2.振动方向相同 3.位相差恒定 满足干涉条件的波称相干波.3.干涉加强和减弱的条件两个相干波源S1和S2，其振动分别为： 两列波在P点产生的振动分别为： ， 可以令，为位相项 ， 同样令。那么P点的合振动为： 合振动的振幅 其中 这里可以看出：P点的合振幅同P点离波源S1，S2的距离有关（稳定的有规则的分布）。位相差决定了合振幅的大小。当时，合振幅最大，为，（极大值条件）当时，合振幅最大，为，（极小值条件）。如果，即相干波源S1，S2同初位相，则称为波程差（波走过的路程之差）。此时干涉极大、极小值条件为： 三、驻波1.驻波的形成两列振幅相同的相干波相向传播时，在相遇的区域叠加后会形成驻波。观看演示动画：2.驻波方程产生驻波的 条件：频率相同、振幅和振动方向相同、相向传播 x轴正向传播： x轴负向传播： 合成波动为： 合成的振幅与位置有关，位相只与时间有关，不再是行波。 3.驻波的特性(1)振幅 振幅随 x 而异,与时间无关. 波腹处在l/4的偶数倍，波节在l/4的奇数倍位置。相邻波腹（节）间距 = 相邻波腹和波节间距 = 时，又是怎样分析波腹波节的位置？说明：思考干涉的极大值极小值条件。(2) 驻波的位相分布假设t =0时刻，结论 1. 相邻两波节间各点振动位相相同 2. 波节两侧各点振动位相相反和时间无关(3) 驻波的能量分布驻波是由两列振幅相等、传播方向相反的相干波叠加而成的，它们的平均能流密度大小相等、方向相反，所以驻波的总能流密度为零，也就是驻波不传播能量。但是不表示驻波内没有能量以及能量分布。 驻波相邻的波节和波腹之间的l/4区域，实际上构成一个独立的振动体系，它与外界不交换能量。能量只在l/4区域内流动。4.半波损失当波从波密介质垂直入射到波疏介质入射波与反射波在此处的相位时时相同，即反射波在分界处不产生相位跃变.当波从波疏介质垂直入射到波密介质， 入射波与反射波在此处的相位时时相反, 即反射波在分界处产生p 的相位跃变，相当于出现了半个波长的波程差，称半波损失.看动画演示。边界条件: 驻波在交界面处出现波节还是波腹，取决于媒质的性质. 5.振动的简正模式两端固定的弦线形成驻波时，由于两端固定，所以两端都应是波节，则波长和弦线长满足： . 这就是这根弦的本征频率， 是能够在该弦上形成振动的频率，或者说是其“固有频率”，是不连续的。 各本征频率对应的驻波称为该弦振动的简正模式。看演示动画。 本征频率中最低频率（n=1时) n1称为该弦振动的基频。以此类推，n=1、2、时的 n2、 n3称为二次、三次、谐频。例11-17波 沿棒传播，在x=L处(p点)反射，反射端为自由端，求：(1)反射波方程；(2)驻波方程；(3)波腹和波节位置。解： (1)设反射波方程为由于反射端为自由端(无半波损失)，入射波和反射波在p点相差为零，即 反射波方程为 (2), 驻波方程为 (3)波腹： 波节： (0 x L)例题11-18 设波源位于坐标原点o处,其振动方程为yo=Acoswt。在x=-3l /4处的Q点有一波密反射壁(l为波长)，如图所示。求: (1)o点发出的沿x轴传播的波的波动方程; (2) Q点反射的反射波的波动方程; (3)oQ区域内合成波的方程; (4)x0区域内合成波的方程; (5)x=-l /2处质点p的振动方程。解：(1)沿x轴正方向传播的波: 沿x轴负方向传播的波: （也就是，减号对应正向传播，加号对应负向传播）(2) 设Q点反射的反射波的波动方程为由于反射壁处有半波损失，入射波y2和反射波yr在Q点相差应为p ，即解得 jo=-2p。最后得Q点反射波的波动方程为 (3 ) oQ区域内合成波的方程为这是驻波方程。 (4) x0区域内合成波的方程：这是行波方程。 (5)将x=-l /2代入oQ区域的驻波方程:就得x=-l /2处质点p的振动方程： 第八节 多普勒效应目前,多普勒效应已在科学研究、工程技术、交通管理、医疗诊断等各方面有着十分广泛的应用。例如分子、原子和离子由于热运动产生的多普勒效应使其发射和吸收的谱线增宽。在天体物理和受控热核聚变实验装置中谱线的多普勒增宽已成为一种分析恒星大气、等离子体物理状态的重要测量和诊断手段。基于反射波多普勒效应的原理,已广泛地应用于车辆、导弹等运动目标速度的监测。电磁波的多普勒效应为跟踪人造卫星提供了一种简便的方法。在医学上所谓“D超”,是利用超声波的多普勒效应来检查人体内脏、血管的运动和血液的流速、流量等情况。在工矿企业中则利用多普勒效应来测量管道中有悬浮物液体的流速。什么是多普勒效应呢？ 在前面的讨论中,波源和接收器(观察者)相对于媒质都是静止的,接收器接收到的波的频率与波源的频率相同。如果波源或接收器或两者同时相对于媒质运动时,接收器接收到的频率和波源的频率不同。这一现象称为多普勒(Doppler)效应。例如,当高速行驶的火车鸣笛而来时,我们听到的汽笛声调变高,当它鸣笛离去时,我们听到的音调变低,就是多普勒效应的最好例子。为简单起见,下面的讨论假定波源和接收器在同一直线上运动。规定用us，vs表示波源相对于媒质的运动速度和频率；ur，vr表示接收器相对于媒质的运动速度和频率；u表示波在媒质中的传播速度。1.波源和接收器相对于媒质都静止接收器(或观察者)所接收到的频率等于单位时间内通过接收器(或观察者)所在处的完整波数目。当波源和接收器相对于媒质都静止时，波源每作一次全振动，波就在空间传播一个波长的距离，结果就有一个完整的波通过接收器，显然接收器(或观察者)接收到的频率vr就等于波源的频率v ，即 vr=u /l= v 2.波源静止，接收器相对于媒质以ur运动当接收器在媒质中静止不动时,他在单位时间内接收现因接收器以速度ur向波源运动,他在单位时间内多接收到ur /l个波,所以他在单位时间内接收到的波数,即他接收到的频率vr应为 3.接收器静止，波源相对于媒质以us运动当波源和接收器(观察者)都静止，则分布在SO内的波数在单位时间内都要通过接收器。若波源以速度us向着接收器运动,单位时间内从S点到达S。原来分布在SO内的波数现在分布在SO内；由于波速不变，这些波数在单位时间内都要通过接收器，但波长变短了。现在的波长是:接收器接收到的频率vr就是4.波源和接收器都运动 接收器运动相当于接收器(或观察者)感觉到的波速变大为(u+ur), 而波源运动相当于波长变短为(u-us)/v。综合这两种分析,可得当波源和接收器都运动时,接收器接收到的频率为应当指出，无论波源和接收器是相向运动还是彼此背离，上式都是成立的。其符号法则是:接收器向着波源运动，ur取正值；反之取负值。波源向着接收器运动，us取正值；反之取负值。注意：电磁波(如光波)也有多普勒效应其中， u是波源和接收器的相对速度。多普勒效应的应用 利用声波的多普勒效应可以测定流体的流速，振动体的振动和潜艇的速度 雷达，用来跟踪运动目标（车辆、舰船、导弹、人造卫星等） 在医学上，如做超声心动、多普勒血流仪。 光谱线的多普勒红移，说明所有星系都在背离地球运动，成为“宇宙大爆炸”理论的基础。例题11-19 一声源频率v=1500Hz, 它以多大的速度向着一静止观察者运动时，观察者才听不见声音？(声速u=330m/s)解： 由多普勒效应公式 这里： v=1500, u=330, ur =0, 人听觉频率范围：vr=2020000Hz, 取vr=20000，算得即声源的速度us305.25m/s时，观察者就听不见声音。例题11-20 一汽车驶过车站时，车站上的观