20.2　数据的波动程度.doc

芜湖荟萃中学2016-2017学年度第二学期教学设计 备课教师：杨明20.2数据的波动程度 教学目标知识与技能1.了解方差的定义和计算公式.2.理解方差概念的产生和形成的过程.3.会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小.过程与方法经历探索方差的应用过程,体会数据波动中的方差的求法,积累统计经验.情感态度与价值观培养学生的统计意识,形成尊重事实、用数据说话的态度,认识数据处理的实际意义.教学重难点【重点】方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题.【难点】理解方差公式,应用方差对数据波动情况的比较、判断.教学准备【教师准备】教学中所有的例题和图表资料.【学生准备】预习教材第124127页内容.教学过程新课导入导入一:过渡语我们常常用平均数、中位数来刻画数据的“平均水平”,但在有些情况下“平均水平”是不够的.请看下面的问题:农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子.选择种子时,甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院最关心的问题.为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况,农科院各用10块自然条件相同的试验田进行试验,得到各试验田每公顷的产量(单位:t)如下表:甲7.657.507.627.597.657.647.507.407.417.41乙7.557.567.537.447.497.527.587.467.537.49根据这些数据估计,农科院应该选择哪种甜玉米种子呢?学生想到计算它们的平均数.教师把学生分成两组分别用计算器计算这两组数据的平均数.(请两名同学到黑板板书)追问:怎样估计这个地区这两种甜玉米的平均产量?这能说明甲、乙两种甜玉米一样好吗?设计意图让学生明确农科院应该选择哪种甜玉米种子,需关注平均产量.让学生明确可以用样本平均数估计总体平均数,发现甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大,但需选择哪种甜玉米种子,仅仅知道平均数是不够的.导入二:乒乓球的标准直径为40 mm,质检部门从A,B两厂生产的乒乓球中各抽取了10只,对这些乒乓球的直径进行了检测,结果如下(单位:mm):A厂:40.0,39.9,40.0,40.1,40.2,39.8,40.0,39.9,40.0,40.1; B厂:39.8,40.2,39.8,40.2,39.9,40.1,39.8,40.2,39.8,40.2.你认为哪厂生产的乒乓球的直径与标准的误差更小呢?(1)请你算一算它们的平均数和极差;(2)是否由此就断定两厂生产的乒乓球直径同样标准?今天我们一起来探索这个问题.设计意图让学生明确可以用样本平均数估计总体平均数,发现当A,B两厂生产的乒乓球的直径的平均数相差不大时,要判断哪个厂生产的误差更小,仅仅知道平均数是不够的.新知构建1.方差的意义思路一如何考察甜玉米产量的稳定性呢?请设计统计图直观地反映出甜玉米产量的分布情况.教师引导学生用折线图或散点图反映数据的分布情况.画出折线图或散点图后,小组讨论,得到甲种甜玉米的产量波动较大,乙种甜玉米的产量波动较小.提问:从图中看出的结果能否用一个量来刻画呢?教师直接给出方差公式,并作分析和解释,波动大小指的是与平均数之间的差异,那么用每个数据与平均数的差完全平方后便可以反映出每个数据的波动大小.教师引导学生思考:设有n个数据x1,x2,xn,各数据与它们的平均数x的差的平方分别是(x1-x)2,(x2-x)2,(xn-x)2,我们用这些值的平均数,即用1n(x1-x)2+(x2-x)2+(xn-x)2来衡量这组数据波动的大小,并把它叫做这组数据的方差,记作s2.教师说明:平方是为了在表示各数据与其平均数的偏离程度时,防止正偏差与负偏差的相互抵消.取各个数据与其平均数的差的绝对值也是一种衡量数据波动情况的统计量,但方差应用更广泛.整体的波动大小可以通过对每个数据的波动大小求平均值得到.设计意图让学生明白当两组数据的平均数相近时,为了更好地做出选择,需要去了解数据的波动大小,画折线图或散点图是描述数据波动大小的一种方法,进而引出如何用数值表示一组数据的波动.通过学生动手画图,观察体会数据的波动情况,在教师的引导下,感受新知,并在合作交流过程中,得出规律,获取新知识.思路二提问:根据教材124页的数据分析农科院应该选择哪种甜玉米种子呢?学生考虑用学过的统计量,用中位数、众数、平均数来分析、比较,无明显区别,很难判定.教师进一步引导学生看教材124页图,进行讲述:甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大.甲种玉米在试验田的产量波动较大,乙种甜玉米的产量集中地分布在平均产量附近.算一算:(1)把所有差相加;(2)把所有差取绝对值相加;(3)把这些差的平方相加.学生计算后追问:你认为哪种方法更能明显反映数据的波动情况?学生发现第(3)种方法更能反映数据的波动情况.教师引导讲解方差的定义:各个数据与平均数之差的平方的平均数叫做方差.设计意图通过问题探索,使学生深刻体会到数学来源于实践,又反过来作用于实践,不仅使学生对学习数学产生浓厚的兴趣,而且培养了学生应用数学的意识.同时,让学生明白方差是能够反映一组数据的波动大小的一个统计量.2.方差的计算思路一教师引导学生根据方差的意义,得出方差计算公式:s2=1n(x1-x)2+(x2-x)2+(xn-x)2问题:利用方差公式分析甲、乙两种甜玉米的波动程度.师生共同计算:s甲2=(7.65-7.54)2+(7.50-7.54)2+(7.41-7.54)2100.011,s乙2=(7.55-7.52)2+(7.56-7.52)2+(7.49-7.52)2100.002.s甲2s乙2,这个地区比较适合种乙种甜玉米.总结归纳:当数据分布比较分散时,各个数据与平均数的差的平方和较大,方差就较大;当数据与平均数的差的平方和较小,方差就较小.方差越大,数据的波动越大;方差越小,数据的波动越小.设计意图通过计算,应用公式,帮助学生进一步理解方差公式,让学生掌握方差可以反映一组数据的波动大小.思路二过渡语方差是用来衡量一组数据的波动大小,那么方差如何计算呢?根据方差的定义知道:设有n个数据x1,x2,xn,各数据与它们的平均数x的差的平方分别是(x1-x)2,(x2-x)2,(xn-x)2,则方差为s2=1n(x1-x)2+(x2-x)2+(xn-x)2.说明意义:在样本容量相同的情况下,方差越大,说明数据的波动越大,越不稳定.设计意图让学生明白方差是能够反映一组数据的波动大小的一个统计量,并从方差公式中得到方差越大,数据的波动越大,方差越小,数据的波动越小.知识拓展(1)研究离散程度可用s2;(2)方差变形公式:如果一组数据x1,x2,xn的平均数是x,那么这组数据的方差可用下面的公式计算:s2=1n(x12+x22+xn2)-nx2,或写成s2=1n(x12+x22+xn2)-x2;s2=1n(x12+x22+xn2)-nx2,其中x1=x1-a,x2=x2-a,xn=xn-a,a是接近这组数据的平均数的一个常数.3.例题讲解 (教材例1)在一次芭蕾舞比赛中,甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧天鹅湖,参加表演的女演员的身高(单位: cm)如下表:甲163164164165165166166167乙163165165166166167168168哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐?教师引导学生分析:(1)题目中“整齐”的含义是什么?学生通过思考可以回答出整齐即身高的波动小,所以要研究的是两组数据的波动大小,即求方差.(2)在求方差之前先要求哪个统计量?(平均数)(3)老师板书解题过程,学生和老师一起计算、判断、解决问题.解:甲、乙两团演员的身高平均数分别是:x甲=163+1642+1652+1662+1678=165,x乙=163+1652+1662+167+16828=166.方差分别是:s甲2=(163-165)2+(164-165)2+(167-165)28=1.5,s乙2=(163-166)2+(165-166)2+(168-166)28=2.5.由s甲2s乙2可知甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐.解题策略注意先算平均数,再算方差. (教材例2)某快餐公司的香辣鸡腿很受消费者的欢迎,现有甲、乙两家农副产品加工厂到快餐公司推销鸡腿,两家鸡腿的价格相同,品质相近.快餐公司决定通过检查鸡腿的质量来确定选购哪家的鸡腿.检查人员从两家的鸡腿中各随机抽取15个,记录它们的质量(单位:g)如下表所示.根据表中数据,你认为快餐公司应该选购哪家加工厂的鸡腿?甲747475747673767376757877747273乙757379727671737278747778807175教师引导学生分析:(1)题目中“选购”的标准是什么?学生通过思考可以回答出首先比较平均数,在平均数基本相同的时候,通过方差比较稳定性.(2)老师板书解题过程,学生和老师一起计算、判断、解决问题.解:检查人员从甲、乙两家农副产品加工厂各随机抽取15个鸡腿分别组成一个样本,样本数据的平均数分别是:x甲=74+74+72+731575,x乙=75+73+71+751575.样本数据的方差分别是:s甲2=(74-75)2+(74-75)2+(72-75)2+(73-75)2153,s乙2=(75-75)2+(73-75)2+(71-75)2+(75-75)2158. 由x甲x乙可知,两家加工厂的鸡腿质量大致相等;由s甲2s乙2可知,甲加工厂的鸡腿质量更稳定,大小更均匀.因此,快餐公司应该选购甲加工厂生产的鸡腿.设计意图使学生明确利用方差计算的步骤,以及方差反映数据波动大小的规律,同时使学生深刻体会到数学来源于实践,又反过来作用于实践,不仅使学生对学习数学产生浓厚的兴趣,而且培养了学生应用数学的意识.课堂小结师生一起回顾本节课所学的主要内容:方差是衡量一组数据波动大小的特征数.s2=1n(x1-x)2+(x2