5初一数学寒假专题5综合(教师用).doc

初中数学思想和解题方法专题数形结合法： 数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离”几何图形的形象直观，便于理解，代数方法的一般性，解题过程的机械化，可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法每个几何图形中蕴含着一定的数量关系，而数量关系常常又通过图形的直观性作出反映和描述，数与形之间可以相互转化，将问题化难为易，化抽象为具体. 数形结合的思想方法通过借数解形、以形助数，能使某些较复杂的数学问题迎刃而解数形结合思想是指将数（量）与形（图）结合起来，分析、研究、解决问题的一种思想方法。数形结合思想是数学中常用的方法，我国著名的数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合，相得益彰。用数轴上的点来表示有理数，就是最简单的数形结合思想的体现。用数轴上的点表示有理数时，对于理解有理数的绝对值、相反数等概念以及有理数的大小的比较等，更有直观性。例1.若有理数且，试用“”将连接起来。 【分析】：根据已知条件直接从“数”的关系人手比较抽象，比较数的大小有一定难度；若由已知条件借助于“形”（数轴）来解决，则较为简便。 【解答】：有已知条件易知：，所以在数轴上的位置如下图所示，故：即利用数量关系来研究图形性质，或利用图形性质来研究数量关系的一种数与形相互转化的解题数学思想。如在学习无理数后，有理数扩展到了实数，实数与数轴上的点建立了一一对应关系，任何一个实数都能用数轴上的点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，抽象的“数”转化为具体的“形（点）”，观察“形”的特点，就可以得到“数”的性质。比如表示2的点和表示-2的点到原点的距离相等，因此2和-2是互为相反的数，它们的绝对值相等，借助于数轴就可以解答一些比较抽象的问题。例2 已知0，0，且0，则、-的大小关系是_。思维指导 直接比较大小相当困难，利用数轴先标出、两个数的相对位置，再利用绝对值的意义标出、-的位置，如图4，就可以清楚地看出、-的大小关系是：-。 注 本题利用数轴比较有理数大小，既做到了数形结合，又沟通了有理数间的知识联系，因而利于激发学生的学习兴趣，有利于提高能力。例3 3个球队进行单循环比赛（参加比赛的每一个队都与其它所有的队各赛一场），总的比赛场数是多少？4个球队呢？5个球队呢？写出个球队进行单循环比赛时总的比赛场数的公式。思维 指导 如图5，将每个球队看作一个点，两个球队间只有一场比赛，即在对应的两点间连一条线，则由条件知，每两点都要作一条连线，且两点间刚好有一条连线，如图5中图形的边数即为球队进行单循环比赛的场数。 解：显见：3个球队单循环比赛的场数就是三角形的边数，即3场；4个球队单循环比赛的场数就是四边形的边数加对角线的条数，即（场）（其中为四边形的对角线条数，因为从每一个顶点出发的对角线都有（4-3）条，所以4个顶点共有条，而其中每一条都重复了一次，这样四边形的所有对角线就有条）；5个球队单循环比赛的场数就是五边形的边数加对角线的条数，即（场）。按照这样的思路，如果有个球队，它参加单循环比赛的场数就是边形的边数加对角线的条数，即（场）。注 解决本题的思想方法实质上是图证思想通过研究点、边组成的图形的性质来得出事物的关系，这里图是解决问题的关键。利用数量之间的关系研究图形的性质，利用图形的性质研究数量之间的关系，即借助数与形的有机结合或相互转化来处理问题的数学思想就是数形结合的思想。如在多项式与多项式相乘和乘法公式部分便体现了这一思想。借助图形的面积巧妙的解释了这些公式。增强了说服力，也增加了学生理解这些问题的力度。又如生活中数据一章就是借助各种统计图来形象直观的表示各种统计量，借助坐标系中的图像形象的表示出变量之间的变化情况是这一思想的又一佐证。例4、如图所示，把一个大长方形分割成4个小长方形，你能用三种方法表示这个长方形的面积吗？解析：观察图中的数量即可得出该长方形的面积的三种表示方式：（a+b）（m+n）=a（m+n）+b（m+n）=am+an+bm+bn。例5 如图3，M，N，P，R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN=NP=PR=1.数对应的点在M与N之间，数对应的点在P与R之间，若，则原点可能是（ ）.AM或R BN或P CM或N DP或R析解：若原点为M点，由题意知，故有可能使；若原点为N点，由题意知，故不可能使. 同理可得，P点可以是原点，点R不可能为原点.故选（A）.点评：有理性的排除是解决问题的关键. 本题利用数形结合思想，先假设某种情况正确，经过推理得结论（对或错），当然本题也可以利用特殊值来解决. 用字母表示数的思想用字母表示数是代数的一个重要特点，也是数学中重要的思想方法. 用字母表示数，既能高度概括数学问题的本质规律，又能使数学问题的表达变得简单明了，从而给计算和研究带来方便.例 计算：.析解：本题无法直接进行计算，观察发现四个括号内的分数和具有一定的联系，若把括号内的分数和用字母表示，则把数的运算变成了式的运算.可设，则.所以原式=.点评：用字母代替常数，把繁难的数字计算问题转化为简单的整式的运算问题例计算：2005【分析】：同学们在今天若用计算器计算，则会很快计算出结果，但是如果要求你用笔算，或许你就不是十分容易了.这里，我们采用字母代替数的思想，就可使计算简便。【解答】：设，则：，=因此， 原式 【针对性练习】1 若表示整数，所有的偶数可表示为_,所有的奇数可表示为_.2 计算:【答案】:1. 、或； 2. 0.从特殊到一般, 从一般到特殊的方法从特殊到一般的思想是人类认识自然界的一种重要的思想方法，通过对特殊例子的分析和归纳和总结，使其升华为规律性的知识。这样就会降低了对所学知识的理解难度，起到事半功倍的效果。如在同底数幂的乘除法、幂的乘方法则以及积的乘方法则部分多次使用了这一思想方法。加深了对这些法则的理解。起到了很好的效果。例1、观察下列算式：2=2，2=4，2=8，2=16，2=32，2=64，2=128，2=256，则2的结果的个位数应为（ ）。A、2 B、4 C、8 D、6例2如图所示的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，第2009次输出的结果为_输入 +3输出为偶数为奇数例3观察下列图形，则第个图形中三角形的个数是（ ）第1个第2个第3个ABCD例4 观察下列图形（每幅图中最小的三角形都是全等的），请写出第个图中最小的三角形的个数有 个第1个图第2个图第3个图第4个图例5、观察下面的一列单项式：，根据你发现的规律，第7个单项式为 ；第个单项式为 例6一组按一定规律排列的式子：，（a0）则第n个式子是_ _（n为正整数）方程思想：方程是研究数量关系的重要工具，在处理某些问题时，往往根据已知与未知之间的内在联系和相等关系建立方程（或方程组）关系，这种通过方程（组）来沟通已知与未知，从而使问题获得解决的思想方法称之为方程思想例、如图，线段AB被点C、D分成了345三部分，且AC的中点M和DB的中点N之间的距离是40 cm，求AB的长特值法1、已知y=x-1,那么 x2-2xy+3y2-2的值是_点拨：当已知代数式中有两个字母时可以用特值法更简单。2、已知，比较的大小（ ）排除法：1、下列说法错误的是( )。A、不相交的两条直线叫做平行线B、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 C、平行于同一条直线的两条直线互相平行 D、平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直2、下列判断中，正确的是（ ）、正整数和负整数统称为整数 、整数和分数统称为有理数、正数和负数统称为有理数 、整数、分数和零统称为有理数3、已知一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是（ ）、正有理数 、正有理数和 、负有理数 、或4、若为有理数，下列判断正确的是（ ）、是正数 、是负数 、不是正数 、总比大割补法。11用含有a、b的式子表示阴影部分面积；2当a3，b2时，阴影部分的面积为多少？转化化归思想：所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等 1、 2、 点拨：根据乘方的意义转化为乘法解决 3、点拨：由于负因数的个数无法确定，所以转化为等差数列的项数问题解决变式：（9-10）（10-11）（101-102）（102-103） 4、 11+12-13-14+15+16-17-18+99+100；BCDEFGA变式、 1995-1992+1989-1986+1983-+15-12+9-6+35、下图中共有 条线段， 个三角形。点拨：一条直线上的线段条数可以有序思考后转化为等差数列的求和。数三角形和角可以转化为数线段问题。生活中很多问题也可以用此法解决。变式、一条汽车线路上共有7个站，用于这条线路上的车票最多_种。时钟在12点、1点、1点半、1点20分、1点57分时，时针和分针的夹角分别是 、 、 、 、 。点拨：钟表夹角问题可以转化为追及问题解决6、先阅读下面的材料，然后解答问题：在一条直线上有依次排列的n（n1）台机床在工作，我们要设置零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题，先退到比较简单的情形：如图，如果直线上有2台机床时，很明显设在A1和A2之间的任何地方都行，因为甲和乙走的距离之和等于A1到A2的距离.如图，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床A2处最合适，因为如果P放在A2处，甲乙和丙所走的距离之和恰好为A1到A3的距离，而如果把P放到别处，例如D处，那么甲和丙所走的距离之和仍是A1到A3的距离，可是乙还得走从A2到D的这一段，在是多出来的，一次P放在A2处是最佳选择.不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，P应设在第3台的位置.问题：有n台机床时，P应设置在何处？问题：根据问题的结论,求x1+x2+x3+x617的最小值.在有理数中用到的转化思想主要有以下两种：（一） 将陌生的问题转化为熟悉的问题例1.现规定一种新运算“”：，例如则=_. 【分析】： 对于同学们而言,新运算是一个陌生的问题,这就需要同学们根据新运算的定义:转化为熟悉的”老运算”予以解答.【解答】： 根据新运算的定义: 得 （二） 将复杂的问题转化为简单的问题 例2：计算【解析】：从简单情形入手: 由此可知: =【针对性练习】： 用“”定义新运算：对于任意数，都有例如74=，那么53=_;当为有理数时，（2）=_.类比思想：即进行相类相比的思想。例