线性代数习题集.doc

全国2007年1月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198试卷说明：AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，R（A）表示矩阵A的秩。一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1二阶行列式0的充分必要条件是（）Ak-1Bk3Ck-1且k3Dk-1或32设A为三阶矩阵，|A|=a0，则其伴随矩阵A*的行列式|A*|=（）AaBa2Ca3Da43设A、B为同阶可逆矩阵，则以下结论正确的是（）A|AB|=|BA|B|A+B|=|A|+|B|C（AB）-1=A-1B-1D（A+B）2=A2+2AB+B24设A可逆，则下列说法错误的是（）A存在B使AB=EB|A|0CA相似于对角阵DA的n个列向量线性无关5矩阵A=的逆矩阵的（）ABCD6设1=1，2，1，2=0，5，3，3=2，4，2，则向量组1，2，3的秩是（）A0B1C2D37设1，2是非齐次方程组Ax=b的解，是对应的齐次方程组Ax=0的解，则Ax=b必有一个解是（）A1+2B1-2C+1+2D+8若A=相似，则x=（）A-1B0C1D29若A相似于，则|A-E|=（）A-1B0C1D210设有实二次型f(x1,x2,x3)=，则f（）A正定B负定C不定D半正定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11设A，B均为三阶可逆阵，|A|=2，则|2B-1A2B|=_.12在五阶行列式中，项a21 a32 a45 a14 a53的符号为_.13设A=，则A*=_.14设三阶方阵A等价于，则R（A）=_.15设1=1，2，x,2=-2，-4，1线性相关，则x=_.16矩阵1 -1 1的秩为_.17设0是可逆阵A的一个特征值，则A-2必有一个特征值是_.18.已知齐次方程组A45=0的基础解系含有3个向量，则R（A）=_.19已知三阶矩阵A的三个特征值是-1，1，2，则|A|=_.20二次型f(x1,x2,x3)=-2 x1x2+x2x3的矩阵是_.三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）21求行列式22设A=求（1）（A+2E）-1（A2-4E）（2）（A+2E）-1（A-2E）23求向量组1=1，-1，2，4，2=0，3，1，2，3=3，0，7，14,4=1，-1，2，0的秩，并求出向量组的一个最大线性无关组。24设有非齐次线性方程组问a为何值时方程组无解？有无穷解？并在有解时求其通解.25设A=的特征值是1=2=2，3=4.（1）求x;（2）A是否相似于对角阵，为什么？26设二次型f(x1,x2,x3)=2（其中a0）可通过正交变换化为标准型，求参数a及所用的正交变换.四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）27设向量组1，2，3线性无关，证明1+2，1-2，3也无关.28设A为n阶正定矩阵，B为n阶半正定矩阵，证明A+B为正定矩阵全国2006年10月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198试卷说明:AT表示矩阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式。一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1设A是4阶矩阵，则|-A|=（）A-4|A|B-|A|C|A|D4|A|2设A为n阶可逆矩阵，下列运算中正确的是（）A（2A）T=2ATB（3A）-1=3A-1C（AT）T-1=（A-1）-1TD（AT）-1=A3设2阶方阵A可逆，且A-1=，则A=（）ABCD4设向量组1，2，3线性无关，则下列向量组线性无关的是（）A1，2，1+2B1，2，1-2C1-2，2-3，3-1D1+2，2+3，3+15向量组1=（1，0，0），2=（0，0，1），下列向量中可以由1，2线性表出的是（）A（2，0，0）B（-3，2，4）C（1，1，0）D（0，-1，0）6设A，B均为3阶矩阵，若A可逆，秩（B）=2，那么秩（AB）=（）A0B1C2D37设A为n阶矩阵，若A与n阶单位矩阵等价，那么方程组Ax=b（）A无解B有唯一解C有无穷多解D解的情况不能确定8在R3中，与向量1=（1，1，1），2=（1，2，1）都正交的单位向量是（）A（-1，0，1）B（-1，0，1）C（1，0，-1）D（1，0，1）9下列矩阵中，为正定矩阵的是（）ABCD10二次型f(x1,x2,x3)=的秩等于（）A0B1C2D3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11行列式=_.12设矩阵A=，则AAT=_.13设矩阵A=，则行列式|A2|=_.14设向量组1=（1，-3，），2=（1，0，0），3=（1，3，-2）线性相关，则a=_.15.若3元齐次线性方程组Ax=0的基础解系含2个解向量，则矩阵A的秩等于_.16矩阵的秩等于_.17设1，2是非齐次线性方程组Ax=b的解，又已知k11+k22也是Ax=b的解，则k1+k2=_.18.已知P-1AP=,其中P=，则矩阵A的属于特征值=-1的特征向量是_.19设A为n阶方阵，已知矩阵E-A不可逆，那么矩阵A必有一个特征值为_.20实对称矩阵A=所对应的二次型xTAx=_.三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）21计算行列式D=的值.22设矩阵A=，B=，求矩阵方程XA=B的解X.23.设t1,t2,t3为互不相等的常数，讨论向量组1=（1，t1,）, 2=（1，t2,）, 3=（1，t3,）的线性相关性. 24.求线性方程组的通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.25设矩阵A=.（1）求矩阵A的特征值和特征向量；（2）问A能否对角化？若能，求可逆矩阵P及对角矩阵D，使P-1AP=D.26设（1）确定的取值范围，使f为正定二次型；（2）当a=0时，求f的正惯性指数p和负惯性指数q.四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）27设A，B为同阶对称矩阵，证明AB+BA也为对称矩阵.28若向量组1，2，3可用向量组1，2线性表出，证明向量组1，2，3线性相关.全国2006年7月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198试卷说明：AT表示矩阵A的转置矩阵；A*表示A的伴随矩阵；R（A）表示矩阵A的秩；|A|表示方阵A的行列式；E表示单位矩阵。一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1设A、B均为n阶方阵，则必有（）A|A|B|=|B|A|B|（A+B）|=|A|+|B|C（A+B）T=A+BD（AB）T=ATBT2设A=，则A-1=（）ABCD3若4阶方阵A的行列式等于零，则必有（）AA中至少有一行向量是其余向量的线性组合BA中每一行向量都是其余行向量的线性组合CA中必有一行为零行DA的列向量组线性无关4设A为mn矩阵，且非齐次线性方程组AX=b有唯一解，则必有（）Am=nBR(A)=mCR(A)=nDR(A)n5若方程组存在基础解系，则等于（）A2B3C4D56设A为n阶方阵，则（）AA的特征值一定都是实数BA必有n个线性无关的特征向量CA可能有n+1个线性无关的特征向量DA最多有n个互不相同的特征值7若可逆方阵A有一个特征值为2，则方阵（A2）-1必有一个特征值为（）A-BCD48下列矩阵中不是正交矩阵的是（）ABCD9若方阵A与方阵B等价，则（）AR（A）=R（B）B|（E-A）|=|（E-B）|C|A|=|B|D存在可逆矩阵P，使P-1AP=B10若矩阵A=正定，则t的取值范围是（）A0t2B02Dt2二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11A=（），B=E-ATA，C=E+2ATA（E为3阶单位矩阵），则BC=_。12已知|A|=2，且A-1=，则A*=_。13设A=，A*为A的伴随矩阵，则| A*|=_。14已知A=，则（A+3E）-1（A2-9E）=_。15向量组1=（1，2，3，4），2=（2，3，4，5），3=（3，4，5，6），4=（4，5，6，7），则向量组1，2，3，4的秩是_。16方程组=的基础解系所含向量个数是_。17若A=相似，则x+y=_。18如果方阵A与对角阵D=，则A10=_。19二次型f(x1,x2,x3)=的对称矩阵为_。20二次型f(x1,x2)=2经正交变换化成的标准形是_。三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）21计算行列式D=22用克莱姆规则解方程组23设向量组1=（1，-1，2，4）；2=（0，3，1，2）；3=（3，0，7，14）；4=（1，-1，2，0）；5=（2，1，5，6）.问1，2，4是否是其一个最大线性无关组？说明理由。24求齐次线性方程组的一个基础解系。25求矩阵A=的特征值与全部特征向量。26化二次型（用配方法）f=为标准型，并求所用的变换矩阵。四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）27若向量1，2，3线性无关，问1+2，2+3，3+1的线性相关性，并证明之。28设A，B为n阶方阵，满足A+B=AB（1）证明A-E为可逆矩阵。（2）若B=，求矩阵A。全国2006年4月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198试卷说明：AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，表示方阵A的行列式。一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1行列式的值为（）A2B1C0D-12设n阶方阵A，B，C满足ABC=E，则必有（）AACB=EBCBA=ECBAC=EDBCA=E3设n阶方阵A中有n2-n个以上元素为零，则的值（）A大于零B等于零C小于零D不能确定4设3阶矩阶A=（1，），B=（2，），且=2，=-1，则=（）A4B2C1D-45线性方程组 有解的充分必要条件是=（）A-1B-CD16设A为mn矩阵，则非齐次线性方程组Ax=b有惟一解的充分必要条件是（）Am=nBAx=0只有零解C向量b可由A的列向量组线性表出DA的列向量组线性无关，而增广矩阵的列向量组线性相关7设A为3阶矩阵，A的特征值为0，1，2，那么齐次线性方程组Ax=0的基础解系所含解向量的个数为（）A0B1C2D38设矩阵A=，则A为（）A对称矩阵B反对称矩阵C正交矩阵D正定矩阵9下列二次型中为规范形的是（）A-B-C-D10已知A是n阶实对称矩阵，A2=A，秩（A）=n，则xTAx是（）A正定二次型B负定二次型C半正定二次型D不定二次型二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分。11行列式中（2，3）元素的代数余子式A23的值为_.12设A是4阶方阵，=-2，则=_.13设矩阵A=，则A-1=_.14向量组1=(1,2,-1,1), 2=(2,0,3,0), 3=(-1,2,-4,1)的秩为_.15设向量组1，2，s线性无关，且可以由向量组1，2，t线性表出，则s与t的大小关系为_.16若1，2，3都是齐次线性方程组Ax=0的解向量，则A（31-52+23）=_.17设，是n元非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，秩（A）=n-1，那么方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组Ax=0的全部解为_.18已知方程组有非零解，则t= .19设矩阵A=与B=相似，则y=_.20设矩阵A=，则与其相似的对角矩阵有_.三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）21计算行列式的值.22设A=，且矩阵X满足AX=A+2X，求X.23设A=，求一秩为2的3阶方阵B使AB=0.24.求线性方程组 的通解，并用其基础解系表示.25求矩阵A=的所有特征值，指出A能否与对角矩阵相似，并说明理由.26已知二次型f(x1,x2,x3)=的矩阵A的一个特征值为1，求并写出该二次型的标准形.四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）27已知向量组1，2，3线性无关，证明向量组1+22，22+33，33+1线性无关.28设A，B都是正交矩阵，证明AB也是正交矩阵.全国2006年1月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198 试卷说明：AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1设A是3阶方阵，且|A|=2，则|-A|=（ ）A-6B-2C2D62设A=，则A的伴随矩阵A*=（ ）ABCD3秩A是n阶方阵，且A的第一行可由其余n-1个行向量线性表示，则下列结论中错误的是（ ）Ar(A)n-1BA有一个列向量可由其余列向量线性表示C|A|=0DA的n-1阶余子式全为零4设A为n阶方阵，AB=0，且B0，则（ ）AA的列向量组线性无关BA=0CA的列向量组线性相关DA的行向量组线性无关5设1、2是非齐次线性方程组Ax=b的解，是对应齐次方程组Ax=0的解，则Ax=b必有一个解是（ ）ABCD 6设齐次线性方程组Ax=0的基础解系含有一个解向量，当A是3阶方阵时，（ ）Ar(A)=0Br(A)=1Cr(A)=2Dr(A)=37设A与B等价，则（ ）AA与B合同BA与B相似C|A|=|B|Dr(A)=r(B)8已知A相似于=，则|A|=（ ）A-2B-1C0D29设是可逆阵A的一个特征值，则A-2必有一个特征值是（ ）ABCD10设3阶实对称矩阵A的特征值分别为1，0，-1，则（ ）A|A|0B|A|=0CA负定DA正定二、填空题(本大题共l0小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案错填、