第6不规则图形面积(教师版).doc

让优秀成为习惯第6讲 不规则图形面积本讲主要通过求一些不规则图形的面积，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理。【例题1】这是一个楼梯的截面图，高280厘米，每级台阶的宽和高都是20 厘米问，此楼梯截面的面积是多少？ 【解析】 如果把楼梯截面补成右图所示的长方形，那么此长方形高280厘米宽300厘米，它的面积恰好是所求截面的2倍所以楼梯截面面积为(平方厘米)【例题2】有10张长3厘米，宽2厘米的纸片，将它们按照下图的样子摆放在桌面上，那么这10张纸片所盖住的桌面的面积是多少平方厘米？【解析】 通过操作，一张一张的添加，可以发现每多盖一张，遮住的面积增加平方厘米，所以这10张纸片盖住的面积是：(平方厘米)【例题3】下图(单位：厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积. 【解析】 所求面积等于图中阴影部分的面积，为(平方厘米)【例题4】中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛初赛)右图中甲的面积比乙的面积大_平方厘米【解析】 甲的面积白色三角形的面积()(平方厘米)，乙的面积白色三角形的面积()(平方厘米)，所以，甲的面积乙的面积(平方厘米)【例题5】己知图中正方形ADEB和正方形ECFG底边对齐，如果两个正方形边长分别为6和4，那么三角形BDF积是多少？【例题6】如图，将一个长为18的长方形，分成一个三角形和个梯形，而且梯形的面积是三角形的5倍，三角形ABE的底边BE的长是多少？【例题7】一个长方形，如果长减少5厘米，宽减少2厘米，那么面积就减少66平方厘米，这时剩下的部分恰好成为一个正方形，求原来长方形的面积？【解析】 如图，正方形的边长是(厘米)，长方形面积为(平方厘米)【例题8】已知大正方形比小正方形边长多4厘米，大正方形面积比小正方形面积大96平方厘米问大、小正方形面积各是多少？ 【解析】 采用分割法：图面积为：(平方厘米)，图或图的面积为：(平方厘米)，图的边长为：(厘米)，所以图的面积为：(平方厘米) 大正方形的面积为：(平方厘米)【例题9】在一个正方形中放入一个四个顶点与大正方形相接的一个小正方形(如图)，如果两个正方形的周长相差厘米，面积相差平方厘米，求小正方形的面积是多少平方厘米？ 【解析】 方法一：本题就此图来看计算起来比较麻烦，但是我们可以把图经过旋转后变成图这样我们就可以根据我们学过的知识来解决这道题了八条虚线的长度正好是大小两个正方形的周长差，空白处即为两个正方形的面积差，所以虚线长为：(厘米)从图中可以看出上、下、左、右四个长方形的面积相等为：()(平方厘米)，所以小正方的边长为：(厘米)，即小正方形的面积为：(平方厘米)方法二：本题还可以将里面的正方形移到一角上来计算，由右图可知虚线长度为：(厘米)所以小正方形的面积为：(平方厘米)白色长方形的面积为：()(平方厘米)，所以小正方形的边长为：(厘米)，正方形的面积为：(平方厘米)【例题10】 (2008年全国小学生”我爱数学夏令营”数学竞赛)如图，边长为 的正方形中有一等宽的十字，其面积(阴影部分)为，则十字中央的小正方形面积为 【解析】 题目中的空白部分可以组成一个如右图的正方形，正方形面积为，右图中的正方形边长为，正中央正方形中的直角边长为，所以【例题11】甲、乙、丙三个正方形，它们的边长分别是6、8、10厘米，乙的一个顶点在甲的中心上，丙的一个顶点在乙的中心上这三个正方形的覆盖面积是多少平方厘米？ 【解析】 如右图添加辅助线割补，如果甲的面积为4份量，则甲与乙的重合部分是1份量同理，如果乙的面积为4份量，则乙与丙的重合部分是1份量所以这三个正方形覆盖面积是：(平方厘米)【例题12】有一个正方形水池(图中阴影部分)，在它的周围修一个宽是8米的草地，草地的面积为480平方米，求水池的边长？【解析】 将图分割：这样就得到四个面积相等的长方形可求得长方形的长：(米)由此求得水池的边长：(米)【例题12】如图，个相同的长方形和个小正方形拼成一个大正方形，已知其中小正方形的面积为平方厘米，大正方形的面积为平方厘米，则其中长方形的长为 厘米，宽 厘米【解析】 大正方形的边长是厘米，小正方形边长是厘米，所以长方形宽为(厘米)，长为(厘米)【例题14】（第十二届“迎春杯”刊赛试题）如图，边长是整数的四边形的面积是48平方厘米，FB为8厘米那么，正方形的面积是 平方厘米【解析】 根据题意，有且，又AD、AF都是整数，于是根据尝试可得，厘米，厘米所以（平方厘米）【练习1】如图，ABCD是的长方形，DEFG是的长方形，求与的面积差 【解析】 如右图所示，我们把与同时补上阴影部分，则它们的差是不变的，即有： 本题还可以按照下面添加辅助线的方法去解答，可以让学生自己试试看【练习2】一块正方形的钢板，先截去一个宽5分米的长方形，又截去一个宽8分米的长方形(如图)，面积就比原来正方形减少181平方分米原正方形的边长是多少分米？【解析】 对于较复杂的几何问题，如果题目条件之间的关系在图形中反映的不是那么具体、明确，而图形结构提供的信息也较模糊，这时就可考虑通过对图形进行变换进行”重组”对本题而言，根据图形特征，我们把阴影部分、剪切下来，并把剪切下的三个小长方形拼合起来，如图所示：通过上面分析可知，这个拼合起来的长方形”“的面积是，长是原来正方形的边长，宽是分米这样就可以求出原来正方形的边长拼合起来的长方形面积为： (平方分米)原来正方形的边长是：(分米)这道题中”将剪下的面积拼起来”这个思想非常有用有时剪下的几块形状之间差异很大，但它们拼起来却能形成很规则的图形【练习3】（2008年武汉明心奥数挑战赛）如图所示，四个相叠的正方形，边长分别是5、7、9、11.问灰色区与黑色区的面积的差是多少？【解析】 灰色和白色区域形成一边长为11的正方形和一边长为7的正方形，它们的总面积是；类似地，黑色和白色区域组成一边长为9的正方形和一边长为5的正方形，它们的总面积是由于白色区域在这两种组合中都被计算了，根据差不变原理，可知灰色区域与黑色区域的面积之差就等于【练习4】计划修建一个正方形的花坛，并在花坛周围种上米宽的草坪，草坪的面积为平方米，那么修建这个花坛需要占地多少平方米？ 【解析】 (法)：要求正方形花坛的面积，就要先求正方形花坛的边长将环形小路进行分割，得到四个面积相同的小长方形(如图)由于小路的面积已知，那么每一块小长方形的面积为：(平方米)由题意知，小长方形的宽为米，于是长方形的长为：(米)那么正方形花坛的边长为：(米)所以正方形花坛的面积为：(平方米)(法)：若我们将环形小路用另外一种方法分割(如图)，阴影部分是四个面积相等且边长为的小正方形，它们的面积和为：(平方米)从环形小路的面积中减掉这四块阴影部分的面积后剩下的又是四块相等的长方形，每块长方形的面积为：(平方米)长方形的长为：(米)，即为正方形花坛的边长，所以正方形花坛的面积为：(平方米)【练习5】从一块正方形的玻璃板上锯下宽为米的一个长方形玻璃条后，剩下的长方形的面积为平方米，请问锯下的长方形玻璃条的面积等于多少？ 【解析】 我们先按题目中的条件画出示意图(如图)，我们先看图中剩下的长方形，已知它的面积为平方米，它的长和宽相差米，我们可以将这样形状的四个长方形拼成一个弦图(如图)图是一个大正方形，它的边长等于长方形的长和宽之和，中间的那个小正方形的边长，等于长方形的长和宽之差，即米所以中间的小正方形的面积为平方米，那么大正方形的面积为平方米因为，所以大正方形的边长等于米所以原题中剩下的长方形的长与宽的和为米，而长与宽的差为米，所以剩下的长方形的长为：米，即原正方形的边长为米又知锯下的长方形玻璃条的宽为米，于是可得锯下的长方形玻璃条的面积为平方米【练习6】图中，甲、乙两个正方形的边长的和是厘米，甲正方形比乙正方形的面积大平方厘米求乙正方形的面积【解析】 如果从甲正方形中”挖掉”和乙正方形同样大的正方形丙，所剩的，三部分之和就是(见左下图) 方法一：把C割下，拼补到乙正方形的上面(见右上图)，这样，三块就合并成一个长厘米的矩形，面积是厘米2，宽是(厘米)这个宽恰好是两个正方形的边长之差，由此可求出乙正方形的边长为(厘米)，从而乙正方形的面积为(厘米2)方法二：连接正方形对角线(如右上图)，将平方厘米的图形分成面积相等的两个梯形，而梯形的上下底之和恰好是厘米，所以梯形的高为(厘米)，即两个正方形的边长差，由此可求出乙正方形的边长为(厘米)，从而乙正方形的面积为(厘米2)【练习7】有一大一小两块正方形试验田，他们的周长相差米，面积相差平方米，那么小正方形试验田的面积是多少平方米？ 【解析】 根据已知条件，我们将两个正方形试验田的一个顶点对齐，画出示意图(如图)，将大正方形在小正方形外的部分分割成两个直角梯形，再拼成一个长方形(如图)由于两个正方形的周长相差米，从而它们的每边相差米，即图中的长方形的宽是米又因为长方形的面积是两个正方形的面积之差，即为平方米，从而长方形的长为：(米)由图可知，长方形的长是大正方形与小正方形的边长之和，长方形的宽为大正方形与小正方形的边长之差，从而小正方形的边长为：(米)所以小正方形的面积为：(平方米)【作业】1、如图所示的大正方形的边长是10厘米，求阴影部分的面积2、如图，平行四边形ABCD中，AD的长是14,E在BC上，平行四边形的面积是三角形ABE面积的7倍那么EC的长等于多少？3、用两块长方形纸片和一块正方形纸片拼成一个大正方形，长方形纸片面积分别为平方厘米与平方厘米，原正方形纸片面积是多少平方厘米？【解析】 做辅助线，如右下图，小正方形的面积为，所以，原正方形面积为(平方厘米)4、两个相同的直角三角形如下图所示(单位：厘米)重叠在一起，求阴影部分的面积. 5、从一个正方形的木板上锯下宽的一个长方形木条后，剩下的长方形面积为，问锯下的长方形木条面积是多少？ 【解析】 我们用构造“弦图”的方法，取同样大