微分方程期末考试卷与答案.doc

常微分方程 期末考试试卷（3）班级 学号 姓名 成绩 一、填空（每格3分，共30分）1、方程有只含的积分因子的充要条件是_。、_称为黎卡提方程，它有积分因子_。、_称为伯努利方程，它有积分因子_。、若为阶齐线性方程的个解，则它们线性无关的充要条件是_。、形如_的方程称为欧拉方程。、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系是_。、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_时，零解是稳定的，对应的奇点称为_。二、 计算题(每题10分,共60分) 8、9、10、若，试求方程组的解并求expAt。11、。12、求伯努利方程13、求方程经过（0，0）的第三次近似解。三、证明.（10分）14、阶齐线性方程一定存在个线性无关解。 常微分方程 期末考试试卷（4）班级 学号 姓名 成绩 一、填空（每格5分，共30分）1、 形如 的方程，称为变量分离方程，这里.分别为x.y的连续函数。2、 形如 的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n 3、 如果存在常数 对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。4、 形如 的方程，称为欧拉方程，这里5、 设的某一解，则它的任一解 。二、 计算题(每题10分,共40分) 6、 求方程7、 求方程的通解。8、 求方程的隐式解。 9、求方程三、证明.（30分）10、试验证=是方程组x=x,x= ，在任何不包含原点的区 间a上的基解矩阵。11、设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值. 试卷（1）答案一、填空（每格3分，共30分）1、方程有只与有关的积分因子的充要条件是。2、若为阶齐线性方程的个解，则它们线性无关的充要条件是。3、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系是，C为非奇异常数矩阵。4、函数称为在矩形域上关于满足利普希兹条件，如果 存在常数0，对于所有都有使得不等式成立。5、当时，方程称为恰当方程，或称全微分方程。6、若是的基解矩阵，则满足的解。7、若为n阶齐线性方程的个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为，其中是任意常数。8、求=f(x,y)满足的解等价于求积分方程y=y+的解。9、如果在上 连续 且关于满足李普希兹条件，则方程存在唯一的解，定义于区间上，连续且满足初始条件，其中 ，。二、计算题(每题10分,共50分) 10、求方程 的解。解：原式可化为 分离变量得 两边积分后 即故原方程的通解为 11、求方程通过点的第二次近似解。解：令 则 12、求非齐线性方程的特解。解：线性方程的特征方程，故特征根。又， 是特征单根，所以原方程有特解，将其代入原方程得， B=0 。故原方程的特解为。13、求解恰当方程。解： ， .则 .所以此方程为恰当方程。凑微分，得 14、 求伯努利方程解：这是n=2时的伯努利不等式，令z=,算得代入原方程得到，这是线性方程，求得它的通解为z=带回原来的变量y，得到=或者，这就是原方程的解。此外方程还有解y=0.三、证明.（20分）15、1)试验证初值问题，的解为: ;2）求该微分方程组的expAt。1）证明：解得此时 k=1 2）解：由公式expAt= 得 试卷（2）答案一、填空（每格3分，共30分）1、方程有只与有关的积分因子的充要条件是。2、若为阶齐线性方程的个解，则它们线性相关的充要条件是。3、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系是，C为非奇异常数矩阵。4、函数称为在矩形域上关于满足利普希兹条件，如果 存在常数0，对于所有都有使得不等式成立。5、当时，方程称为恰当方程，或称全微分方程。6、若是的基解矩阵，则满足的解。7、若（i=1,2,n）是对应齐线性方程的一个基本解组，为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 。8、求=f(x,y)满足的第一次近似解的表达式为 。9、如果在上连续且关于满足李普希兹条件，则方程存在唯一的解，定义于区间上，连续且满足初始条件，其中 ，。二、 计算题(每题10分,共50分) 10、求方程 的解。解：原式可化为 分离变量得 两边积分后 即故原方程的通解为 11、 求伯努利方程解：这是n=2时的伯努利不等式，令z=,算得代入原方程得到，这是线性方程，求得它的通解为z=带回原来的变量y，得到=或者，这就是原方程的解。此外方程还有解y=0.12、求常系数非齐线性方程的特解。解：线性方程的特征方程，故特征根。又， 是特征单根，所以原方程有特解，将其代入原方程得， B=。所以原方程的特解为。13、求解恰当方程 。解：因为（2xydx+ xdy）+dy=0即d( xy)+dy=0也即d(xy+y)=0故方程的解为xy+y=C。14、求方程通过点的第二次近似解。解：令 则 三、证明.（20分）15、1)试验证初值问题，的解为: ;2）求该微分方程组的expAt。1）证明：解得此时 k=1 2）解：由公式expAt= 得。试卷3答案一、填空题、 、 、零稳定中心二、计算题8、解：因为，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子，两边同乘得所以解为 即另外y=0也是解9、线性方程的特征方程故特征根 是特征单根，原方程有特解代入原方程A=- B=0 不是特征根，原方程有特解代入原方程 B=0 所以原方程的解为10、解：解得此时 k=1 由公式expAt= 得11、解：方程可化为令则有（*）（*）两边对y求导：即由得即将y代入（*）即方程的 含参数形式的通解为： p为参数又由得代入（*）得：也是方程的解 12、解： 13、解：由解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则因为=1+1 0故有唯一零解（0，0）由得故（3，-2）为稳定焦点。三、 证明题14、由解的存在唯一性定理知：n阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n解：考虑从而是线性无关的。试卷（4）答案一、 填空题（每格5分）1 2、 z=34、5、二、 计算题（每题10分）6、这是n=2时的伯努利不等式，令z=,算得代入原方程得到，这是线性方程，求得它的通解为z=带回原来的变量y，得到=或者，这就是原方程的解。此外方程还有解y=0.7、解：积分：故通解为：8、解：齐线性方程的特征方程为，故通解为不是特征根，所以方程有形如把代回原方程 于是原方程通解为9、解 三、证明题（每题15分）10、证明：令的第一列为(t)= ,这时(t)= (t)故(t)是一个解。同样如果以(t)表示第二列，我们有(t)= (t)这样(t)也是一个