高中数学-函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像.doc

函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像(一)复习指导单调性：设函数yf(x)定义域为A，区间MA，任取区间M中的两个值x1，x2，改变量xx2x10，则当yf(x2)f(x1)0时，就称f(x)在区间M上是增函数，当y=f(x2)f(x1)0时，就称f(x)在区间M上是减函数如果yf(x)在某个区间M上是增(减)函数，则说y=f(x)在这一区间上具有单调性，这一区间M叫做y=f(x)的单调区间函数的单调性是函数的一个重要性质，在给定区间上，判断函数增减性，最基本的方法就是利用定义：在所给区间任取x1，x2，当x1x2时判断相应的函数值f(x1)与f(x2)的大小利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法，教材中所有基本初等函数的单调性都是由图象观察得到的对于y=f(x)型双重复合形式的函数的增减性，可通过换元，令u=(x)，然后分别根据u=(x)，y=f(u)在相应区间上的增减性进行判断，一般有“同则增，异则减”这一规律此外，利用导数研究函数的增减性，更是一种非常重要的方法，这一方法将在后面的复习中有专门的讨论，这里不再赘述奇偶性：(1)设函数f(x)的定义域为D，如果对D内任意一个x，都有xD，且f(x)=f(x)，则这个函数叫做奇函数；设函数f(x)的定义域为D，如果对D内任意一个x，都有xD，且f(x)=f(x)，则这个函数叫做偶函数函数的奇偶性有如下重要性质：f(x)奇函数f(x)的图象关于原点对称f(x)为偶函数f(x)的图象关于y轴对称此外，由奇函数定义可知：若奇函数f(x)在原点处有定义，则一定有f(0)=0，此时函数f(x)的图象一定通过原点周期性：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)成立，则函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期关于函数的周期性，下面结论是成立的(1)若T为函数f(x)的一个周期，则kT也是f(x)的周期(k为非零整数)(2)若T为y=f(x)的最小正周期，则为y=Af(x+)+b的最小正周期，其中0对称性：若函数y=f(x)满足f(ax)=f(b+x)则y=f(x)的图象关于直线对称，若函数y=f(x)满足f(ax)=f(b+x)则y=f(x)的图象关于点(，0)对称函数的图象：函数的图象是函数的一种重要表现形式，利用函数的图象可以帮助我们更好的理解函数的性质，我们首先要熟记一些基本初等函数的图象，掌握基本的作图方法，如描点作图，三角函数的五点作图法等，掌握通过一些变换作函数图象的方法同时要特别注意体会数形结合的思想方法在解题中的灵活应用(1)利用平移变换作图：y=f(x)y=f(xa)y=f(x)y=f(x)b(2)利用和y=f(x)对称关系作图：y=f(x)与y=f(x)的图象关于y轴对称；y=f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称y=f(x)与yf(x)的图象关于原点对称；y=f-1(x)与y=f(x)的图象关于直线y=x对称(3)利用y=f(x)图象自身的某种对称性作图y=|f(x)|的图象可通过将y=f(x)的图象在x轴下方的部分关于x轴旋转180，其余部分不变的方法作出y=f(|x|)的图象：可先做出y=f(x)，当x0时的图象，再利用偶函数的图象关于y轴对称的性质，作出y=f(x)(x0)的图象此外利用伸缩变换作图问题，待三角的复习中再进行研究还要记住一些结论：若函数y=f(x)满足f(ax)=f(b+x)则y=f(x)的图象关于直线对称，若函数y=f(x)满足f(ax)=f(b+x)则y=f(x)的图象关于点(，0)对称(二)解题方法指导例1设a0，试确定函数在(1，1)上的单调性例2讨论的增减性例3f(x)在(，2)上是增函数，且对任意实数x均有f(4x)=f(x)成立，判断f(x)在(2，+)上的增减性例4*已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数m，n，都有且当时，f(x)0又()求证()判断函数f(x)的单调性并进行证明例5在R上求一个函数，使其既是奇函数，又是偶函数例6判断下列函数的奇偶性(2) (其中(x)为奇函数，a0且a1)例7设函数是奇函数，判断它的增减性例8设f(x)是定义域为R且以2为一个周期的周期函数，也是偶函数，已知当x2，3时f(x)=(x1)2+1，求当x1，2时f(x)的解析式例9作出的图象，并指出函数的对称中心，渐近线，及函数的单调性例10作出函数的图象(1)(2)y=|lg|x|例11(1)作出方程x+y=1所表示的曲线(2)作出方程x1+y+1=1所表示的曲线例12已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)=x2+2x(1)求函数g(x)的解析式；(2)解不等式g(x)f(x)x1例 题 解 析例1解：任取x1，x2(1，1)，且x=x2x10，则由于1x1x21，所以x=x2x10，1x1x20，10，10因此当a0时，y=f(x2)f(x1)0，当a0时，y=f(x2)f(x1)0所以当a0时f(x)在(1，1)上是增函数，当a0时，f(x)在(1，1)上是减函数例2分析：可先在(0，)上研究f(x)的增减性，然后根据f(x)的奇偶性判断其在(，0)上的增减性，而当x0时，有当且仅当即时“=”成立，即当时，f(x)取得最小值由此可知x=是函数单调区间的一个分界点解：任取x1，x2(0，且x=x2x10则因为x=x2x10，且，因此y=f(x2)f(x1)0，故f(x)在上是减函数同理可证f(x)在是增函数又由可知f(x)是奇函数，其图像关于原点对称，所以可知f(x)在上是增函数，在上是减函数综上所述，在和上是增函数，在，上是减函数例3解：任取x1，x2(2，)，且x1x2，则由2x1x2得24x14x2因为f(x)在(，2)上是增函数，所以有f(4x1)f(4x2)而由已知又有f(4x1)=f(x1)，f(4x2)=f(x2)，所以f(x1)f(x2)，故f(x)在(2，)上是减函数小结：注意体会解题中的划归思想此题若是一个小题，由f(4x)=f(x)可知f(x)的图像关于x=2对称，立即就可以判断出f(x)在(2，)上是减函数例4分析：判断这类抽象函数的单调性，关键是根据已知去创造条件，利用单调性的定义进行和判断，可以采用分析法寻求解题思路解：()由f(mn)=f(m)f(n)得f(0)=f(00)=2f(0)有f(0)=又由及得()任取x1，x2R且xx2x10则根据已知可得则有 函数f(x)在R上为增函数例5解：设所求的R上的函数为f(x)，则由函数奇偶性定义得f(x)=f(x)，f(x)=f(x)，联立，消去f(x)，得f(x)=0显然函数f(x)=0既是奇函数又是偶函数，所以f(x)=0就是所求的函数例6解：(1)因为对任意xR，都有，所以函数定义域为R任取xR，则xR且有所以是奇函数(2)函数的定义域为R任取xR，则xR，且有所以是偶函数例7解：显然x1，1，x1，1，因为f(x)为奇函数，所以对区间1，1内任意实数x均有f(x)=f(x)成立，即，也就是这是关于x的恒等式，比较两端分子分母对应项的系数，可得a=b=0所以任取x1，x21，1，且x=x2x10则因为1x1x21，所以x=x2x10，1x1x20，因此y=f(x2)f(x1)0，所以当x1，1时为增函数注：此题也可以通过f(0)=0，f(1)=f(1)求得a=b=0例8分析：此题的解答要抓住两个关键点，一个是f(x)为偶函数，再一个是f(x)为周期函数，通过画出草图，就会发现可以先求出当x3，2时函数的解析式，在利用周期性求出当x1，2时f(x)的解析式，要注意体会划归的思想方法解：当x3，2时x2，3所以f(x)=(x1)21=(x1)21，因为f(x)是偶函数，因此当x3，2时，f(x)=(x1)21当x1，2时，x43，2，有f(x4)=(x41)21=(x3)21，因为2为f(x)的周期，可知4也为f(x)一个周期，有f(x4)=f(x)故x1，2时f(x)=(x3)21例9解：因为所以将的图象向左平移一个单位，再向上平移两个单位，即可得到的图象，如图由图象可以得到：对称中心为(1，2)渐近线分别为x=1，y=2函数在(，1)和(1，)上都是增函数例10解：(1)将函数的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，即可的得到，如图(2)y=lgx为偶函数，当x0时先作出y=lgx的图象，在根据奇偶性作出y=lgx的图象，最后将y=lgx在横轴下面的图象关于x轴旋转180，其余部分不变即可得到y=lgx的图象，如图例11分析，曲线xy=1是关于x轴，y轴和原点的对称图形，利用对称性可以很快的作出曲线，至于曲线x1y1=1，只需通过将曲线xy1适当平移即可得到解：(1)先作出线段xy=1(x1，y1)，再作出该线段分别关于x轴，y轴和原点分别对称的线段，就得到方程xy=1所表示的曲线，如图(2)将(1)中方程xy=1所表示的曲线右移一个单位，下移