定积分和不定积分.doc

定积分与不定积分辅导学习要求：1 正确理解定积分的概念，掌握定积分的性质，能熟练地应用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分，掌握定积分在几何上的应用2 了解原函数与不定积分概念3 掌握直接积分法4 了解微分方程的有关概念内容：1定积分的概念2定积分的性质3牛顿-莱布尼茨公式4定积分的计算5定积分在几何上的应用6不定积分7不定积分基本积分公式8不定积分计算9可分离变量的微分方程内容指导：一元函数积分学中的另一个基本问题定积分问题。不定积分作为导数（或微分）的逆运算引入，而定积分概念是由实际需要，特别是几何、物理上的需要，而引进的。教材从计算曲线梯形的面积入手，引进了定积分概念。正确理解定积分概念是本章的重点之一。另外两个重点是：计算定积分与在几何上的应用。对于不定积分，重点是掌握不定积分的计算方法，特别是凑积分法。1 定积分的概念要正确理解定积分的概念，需要把握下列诸方面：（1）正确理解定积分的定义。定积分的定义，实质上是告诉我们一种解决问题的思想方法。它主要用于对区间，上某一量的计算。例如，底为区间， 、高为的曲边梯形面积的计算；作变速直线运动的物体，在某一时间区间，上路程的计算等等。定义采用：分割、代替、作和式与求极限四步，把要算的量归结为和式的极限： 当该极限存在时，就称此极限值为函数在区间，上的定积分，记作，即 =应当指出：分割是任意的，即极限值不依赖于分割的方式；代替是指，小区间上任意一点处的代替变动的，即“不变代变”；作和式是将有限项累加起来，它可作为所求量的近似值，且分割越细，其精确度越高；求极限，就是当每个子区间的长（此时，必有）时，和式的极限值即为所计算量的精确值。另外，关于定积分定义，还有如下补充说明：在定义中，我们只假定，对及 的情况，可补充定义 =，=0经过这样补充定义后，定积分的上、下限就没有什么限制了。（2）定积分存在的条件被积函数具备什么条件，和式的极限，即定积分存在呢？其充分条件是：如果函数在积分区间，上连续，那么定积分必定存在，今后，无特别声明，我们总假定被积函数在积分区间上连续。顺便指出，定积分存在的必要条件是：函数在，上有界。也就是说，当函数在，上无界时，定积分肯定不存在。（3）定积分的几何意义当函数时，我们已经知道，定积分在几何上表示以为曲边的曲边梯形面积，如果在区间，上，函数，那么曲边梯形位于轴的下方，在积分 =右端的和式中，由于，故每一项。从而积分也是一个负数（或零），这是它等于曲边梯形面积的负值，即 =-S 或 -=S如果函数在，有正有负时，则定积分就等于由曲线，直线与轴所围成的几个曲边梯形面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积取负号。例如 有 = 2 定积分的性质定积分的性质归纳起来可以和写为：=+ （为常数）称为定积分的线性性质。3 牛顿-莱布尼茨公式设是连续函数在区间a，b上的一个原函数，则 =这就是著名的牛顿-莱布尼茨公式，也叫做微积分基本公式。有了它，定积分的计算问题就转化为求不定积分的问题，从而提供了计算定积分的一种简便方法。应当注意，公式适用的条件是被积函数连续，但当被积函数分段连续时，可用定积分的性质把积分区间分成若干个子区间来计算。4 定积分的计算由牛顿-莱布尼茨公式可以把定积分计算归结为不定积分的计算，但定积分计算时，还需注意下列三个方面。（1）定积分的上、下限随积分变量的更换而更新。（2）奇、偶函数在关于原点对称的区间 上的积分，偶函数有 奇函数有5 定积分在几何上的应用6 不定积分的概念 （1）原函数与不定积分定义 设是定义在区间上的已知函数，如果存在函数是，使得在区间上的任何一点处都有 或则称是函数在区间上的一个原函数。这里，我们指出：如果函数在区间上连续，则在上必有原函数，即连续函数必有原函数。定义 若是函数在区间上的一个原函数，则称的全部原函数+C（ C为任意常数）为的不定积分，记作 即 =+C其中“ ”是积分号，叫做被积函数， 叫做被积式， 叫做积分变量， C叫做积分常数。不定积分也简称为积分，求不定积分的运算和方法分别称为积分运算和积分法。由原函数与不定积分的定义可以看出，微分（或导数）运算与积分运算是互逆的运算。 （2）不定积分的几何意义通常把的一个原函数的图像，叫做函数的积分曲线，它的方程是 。这样，不定积分 =+C在几何上就表示一族曲线=+C，叫做的积分曲线族。由=可知，在积分曲线族中，横坐标相同的点处的切线相互平行，并且任一条积分曲线都可以由另一条积分曲线沿轴方向平移而得到。（3）不定积分的性质（） 这就是说，积分符号“ ”与微分符号“ ”（或导数符号“ ”）相继使用，不论次序先后恰好相互抵消（在不考虑积分常数C的情况下），也就是说，积分和微分互为逆运算。注意：先微分（或导数）后积分时，互相抵消后要加任意常数 。（）（为不等于零的常数）（）积分作为运算，性质（）和（）合起来称为积分的线性性质。求导和微分运算也具有线性性质。7 不定积分基本积分公式（略）8 不定积分的计算直接积分法求积分时，只需对被积函数作简单的恒等变形，然后运用不定积分的性质和基本积分公式求出结果。这种积分方法通常叫做直接积分法。例如，求在分项积分后，每个不定积分的结果本来都应加一个任意常数，但因为任意常数之和仍是任意常数。因此，只要在总结果中加一个任意常数就可以了。9 可分离变量的微分方程如果一个一阶方程能化为 的形式，那么这个方程就叫做可分离变量的微分方程。分离变量后，两端积分 （为积分常数），得到与的一个关系式，求出通解。例如，求方程（为常数，且）的通解。先将方程变形： 两端积分，得 （为任意常数） 若令，由于为任意常数，故也是任意常数，得通解 又如，求方程的通解，先变形： 两端积分，得通解 这个解是用隐函数形式表示的。又例如，设曲线上任一点处的切线分别与轴、轴交于、且，求曲线