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第二章鸽巢原理 2 1鸽笼原理的简单形式鸽巢原理是组合数学中最简单也是最基本的原理 也叫抽屉原理 即 有n个鸽子 飞进m n m 个鸽笼时 至少有一个笼内有两只或两只以上的鸽子 定理2 1 1如果把n 1件物体放入n个盒子中去 则至少有一个盒子放有两个或更多的物体 例 367人中至少有 人的生日相同 相当于把367个球放入365个盒子中 有鸽笼原理可知例 10双手套中任取11只 其中至少有两只是完整配对的 例 把5个顶点入到边长的为2的正方形中 则至少存在两个顶点它们间的距离小于或等于 把2 2的正方形分割成四个1 1的小正方形 把5个顶点放入这四个小正方形中 则至少有两个顶点在同一个小正方形中 它们之间的距离必小于或等于小正方形的对角线的长度 例4在任意一群人中 一定有两人 他们在这群人中有相同数目的熟人 1 当n 2时 这时两人或相互认识或相互间不认识 2 n 3时 用xi表示第i个人的熟人数 i 1 2 n n个人每个人都有熟人 则xi 0 且1 xi n 1即n个人的熟人数分别有n 1个 则至少有两个人的熟人数相同 至少有一个人没有熟人 则0 xi n 2同理由鸽笼原理可得 例5一棋手为参加比赛要进行77天的训练 如他每天至少下一盘棋 且每周至多下12盘棋 则必存在相连续的若干天 在这段时间中他恰好下21盘棋 设ai表示他前i天下棋的总数 则1 a1 a2 a77 11 12把他们分别加上21得 22 a1 21 a2 21 a77 21 11 12 21 153a1 a2 a77 a1 21 a77 21 共有154个数且这些数介于1 153之间 有鸽笼原理可知 至少存在两个相等的数 有以上的分析可知 这两个数分别位于a1 a77 ai 和a1 21 a77 21 aj 之间 则aj ai 21 即aj ai 21 则有i 1 j天的时间共下了21盘棋 2 2鸽巢原理的一般形式 定理2 2 1设q及qi是正整数 i 1 2 n 且q q1 q2 qn n 1 如把q个物体放n个盒子中 则必存在i使得第i个盒子中至少有qi个物体 推论1把n r 1 1个物体放入n个盒子中 则至少有一个盒子至少有r物体 推论2对正整数mi i 1 2 n有则至少存在i使得mi r 例1在由每个包含n2 1个不同实数的序列中 存在一个长为n
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