线性代数练习答案.doc

第一章 行列式 例 1 解 记 由行列式的性质 得 由于的第四行的代数余 3021 3021 8642 3521 1 D 1 D0 1 D 子式与的第四行的代数余子式对应相同 仍为 把按第四行展开得 D 4 3 2 1 4 jA j1 D 1 D 4241 2AA 43 0A 44 3A 0 例 2 解 把各列都加到第 列上 则1 原式 abbba babba bbaba bbbba 3 3 3 3 3 ba abb bab bba bbb 1 1 1 1 14 13 12 1 1 1 rr rr rr 3 ba ba ba bao bbb 000 000 00 1 3 3 baba 例 3 证 左端 13 12 1 1 cc cc 4412 4412 4412 2 2 2 ccc bbb aaa 23 2 cc 212 212 212 2 2 2 cc bb aa 22 22 22 2 2 2 cc bb aa 21 21 21 2 2 2 c b a 4 1 1 1 2 2 2 cc bb aa 13 12 1 1 rr rr 4 0 0 1 22 22 2 acac abab aa 右端 acac abab 22 22 4 4acab 1 1 ac ab 4cbacab 例 4 解 把的列 列 列 列依次经过 次相邻两行的Dn1 n211 n2 n21 互换 换成新的行列式的第 列 列 列 列 总的互换次数为121 nn 则 12 2 1 nn 12 2 1 1 nn D 1 1 2 1 00 00 00 n n n a a a 11 21 2 1 1 nnn nn aaa 例 5 解 将的第一行加到第三行上 可得 3 D 3 D cbacbacba cba cba 222 cba 111 222 cba cba cba 222 111 cba cba abcba bcac 一 填空题 1 2 3 4 5 6 0d6a004 二 单项选择题 1 2 BB 三 解答和证明题 1 2 3 4 5 6 520 3 2cba n i n i ii axax 11 n xaa n n aaan 21 1 1 7 8 10 11 12 或 1 2 1 2 1 1 n nn n n n n k k 1 1 k0 1 第二章 矩阵 例 1 解 因为 AE AAAT EAA T EAA T EAT 所以 T EA EA AE AE n 1 AE 0 AE 例 2 证 设 其中均为实数 且 由 nnnn n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 ij a jiij aa 2 A nnnn n n nnnn n n T aaa aaa aaa aaa aaa aaa AAAA 21 22212 12111 21 22221 11211 000 000 000 1 2 1 2 2 1 2 1 n i ni n i i n i i a a a 比较得 因为均为实数 所以 故 0 1 2 n i ji anj 2 1 ij a0 ij aOA 例 3 解 841 473 796 253 142 321 253 142 321 2 A AfEAA523 2 100 010 001 5 253 142 321 2 841 473 796 3 500 050 005 4106 284 642 24123 12219 212718 25225 103413 152321 例 4 解 212 424 212 2 1 2 1 2 1 PQAQQPPPQPQA 2 而 所以 2 1 2 1 2 1 2 QPAPQA22 2 又 由数学归纳法可知 故 AAAAAAA 2223 222 AA nn1 2 AA 99100 2 例 5 解 设 其中 BEA 000 100 010 B 由于 000 000 100 2 B 000 000 000 3 BOBn 所以 n A 221 BCBCEBE nn n 000 000 2 1 00 000 00 00 100 010 001 nn n n 100 10 2 1 1 n nn n 注 这一解法将分解为两个可交换矩阵的和 且两个新矩阵的次幂都容易计算 然An 后利用二项式展开定理求出结果 其中 是重要的 OBk 3 k 例 6 解 应选 方法 1 由关系式知是可逆的 在此等式两边左乘 DEABC A 1 A 右乘得 即 故 项正确 AABCAA 1 EAA 1 EBCA D 方法 2 由可知与是互逆的 所以 即 项正确 EABC ABCEBCA D 例 7 解由知 都是可逆矩阵 且有 ECABCAB A BC 1 AB 1 BC 1 CA 又 同理有 于是 1111 ABBCA 1 BB 1 CC 222 CBA CCBBAA 111 CCBBAAEEEE3 例 8 解法 1 用伴随矩阵法求逆矩阵 由于 03 11 12 1 1 011 012 111 31 A 所以可逆 并且有 所以 A 332313 322212 312111 1 11 AAA AAA AAA A A A A 123 210 110 3 1 1 A 解法 2 用初等行变换法求逆矩阵 EA 101120 012210 001111 100011 010012 001111 13 12 2 rr rr 123300 012210 001111 23 2rr 3 1 3 2 1100 012210 001111 3 1 3 2 r r 3 1 3 2 1100 3 2 3 1 0010 3 1 3 2 0011 32 31 2rr rr 3 1 3 2 1100 3 2 3 1 0010 3 1 3 1 0001 21 rr 于是 1 A 123 210 110 3 1 3 1 3 2 1 3 2 3 1 0 3 1 3 1 0 注求逆矩阵容易算错 求得后 应验算 1 AEAA 1 例 9 解 1 4 1 52 31 2 2 1 520 310 002 2 1 3 3 A 2 设 则 2 1 B 52 31 2 B 2 1 1 1 B 12 35 12 35 1 1 1 2 B 所以 240 6100 001 120 350 00 2 1 2 1 A 3 由 得 EEAAA 4 1 EAA 4 1040 620 004 4 1 AA 例 10 解由题设的关系式得 即 由EABBXBAAX EBAXBA 于 所以可逆 而 0 100 110 111 BABA 100 110 211 1 BA 故 100 210 521 21 BAX 例 11 解 由 则 又为三阶非零矩阵 故 所以OAB 3 BrArB1 Br 则有 解得 3 Ar0 3 5 113 34 221 ttA3 t 一 是非题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二 填空题 6 1 7 0 8 9 10 A 200 040 002 3 2 12 n 1 40 2 3 4 5 ab mn 1 100 020 003 3 1 3 1 00 3 2 3 1 00 0052 0021 0 1 00 00 1 0 000 1 1 000 1 2 1 n n a a a a 三 单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CADCCCCDBBBD 四 计算题 1 1 2 3 4 5 2 3 2 3 2 3 2 3 5 0 3 2 0 3 7 101 110 011 4 1 1030 0606 0060 0006 000 000 120 第三章 线性方程组 例 1 解 1 不正确 由题意 线性相关 而线性相关的向量组其部 m 21 m 21 分组不一定相关 因此部分组和部分组都不一定线性相关 m 21 m 21 2 不正确 只有当全为零时 等式 m kkk 21 mmmm kkkkkk 22112211 0 222111 mmm kkk 才成立 则可以断定向量组线性无关 但向量组与 mm 2211 21 m 向量组不一定线性无关 m 21 3 不正确 因为线性无关是指 只有时 才有0 21 m kkk 成立 而条件与此不等价 0 2211 mm kkk 4 不正确 因为对于任意向量组 当取时 都有 m 21 0 21 m kkk 11 k 成立 题设的条件不能断定向量组是线性无关的 0 22 mm kk 5 不正确 因为向量组线性相关 能断定至少有一个向量可由其余向量线性表 m 21 示 但不能确定这个向量是 m 6 不正确 若向量组的秩为 只能断定至少有一个个向量是线性无关的 但 m 21 rr 不是所有个向量都是线性无关 r 7 正确 由向量组秩的定义可知 若的秩为 则所有个向量线性相关 m 21 r1 r 8 不正确 由向量组间线性关系的一些性质 只能断定等价的向量组具有相同的秩 或有等价 的线性无关向量组含有相同的向量个数 9 正确 反证法 若有一个向量是其余向量的线性组合 则该向量组一定线性相关 与题设矛盾 10 正确 由题设知 向量组至少有一个部分组是线性相关的 则整个向量组一定线性相关 例 2 解法 1 用线性相关的定义 设有数 使 321 kkk0 332211 kkk 即有方程组此齐次线性方程组的系数行列式 0 033 05 21 321 321 ktk kkk kkk t t 22 01 133 115 当时 方程组有非零解 此时向量组线性相关 1 t 321 当时 方程组只有零解 此时向量组线性无关 1 t 321 解法 2 利用矩阵秩判定 tt A cc 10 331 511 01 133 115 31 321 从最后矩阵可知 100 220 511 10 220 511 23 212 1 tt rr rr 当时 方程组有非零解 此时向量组线性相关 1 t 321 当时 方程组只有零解 此时向量组线性无关 1 t 321 例 3 解 设 则有线性方程组 44332211 xxxx 1 5 8 53 34 2 32 12 1 4321 4321 432 4321 xaxxx bxxaxx xxx xxxx 对线性非齐次方程组的增广矩阵作初等行变换 01000 0100 12110 01201 58153 34232 12110 11111 a ba a ba A 行初等变换 1 当时 系数矩阵的秩为 而增广矩阵的秩为 则方程组无解 故不01 ba且23 能表示成的线性组合 4321 2 当时 系数矩阵的秩与增广矩阵的秩都为 方程组有唯一解 故能有1 a4 的唯一线性表示式 且有 4321 4321 0 11 1 1 2 a b a ba a b 例 4 解 以为列构成矩阵 对进行初等行变换 即 T TT T 4321 AA A 17435 15313 1231 4342 4321 T TT T 0000 4100 3010 2001 行初等变换 从最后阶梯形矩阵可知 向量组 的秩为 且是该向量组的一个极 4321 3 321 大无关组 并有 3214 432 例 5 证 利用线性无关定义证明 设 整理得0 133322211 kkk 0 332221131 kkkkkk 因为线性无关 故有 1 其系数行列式 321 0 0 0 32 21 31 kk kk kk 02 110 011 101 所以方程组 1 只有零解 即只有 则线性无关 0 321 kkk 3221 13 例 6 解 设三元非齐次线性方程组为 对应的齐次线性方程组为 因系bAX 0 AX 数矩阵的秩为 则齐次线性方程组的基础解系含有个解向量 A10 AX2 由已知是三元非齐次线性方程组的三个解向量 即有 321 bAX 因而 321 bAbAbA 0 0 3231 AA 由此知是齐次线性方程组的两个解 并且又有 3231 0 AX 4 3 2 322131 3 2 1 312132 从而是线性无关的 故是的一个基础解系 3231 3231 0 AX 从已知还可计算出非齐次线性方程组的一个特解 即bAX 3 2 2 2 1 2 1 31311 所以非齐次线性方程组为的通解为 bAX 3 2 2 3 2 1 4 3 2 21 kk 例 7 解 对其增广矩阵进行初等行变换 即 4211 11 411 2 kk k A 8220 4110 411 2 13 12 k kkk k rr rr 4110 8220 411 2 32 kkk k k rr 4 2 4 1 00 8220 411 23 2 1 kkkk k k r k r 1 当 故方程组有唯一解 3 41 ArArkk时且 2 当 因 故方程组无解 5000 8320 4111 1Ak时 ArAr 3 当时 因 故方程组有无穷多组解 且4 k 0000 4110 4411 A32 ArAr 同解方程组为 取为任意常数 则通解为 4 3 32 31 xx xx kx 3 1 1 3 0 4 0 kX 一 填空题 1 为任意数值 2 3 4 5 相关 6 7 8 相关 无t1 0 Ar20 213 aaa4 Ar 关 9 无关 10 11 12 13 14 15 0 Ar1 TT c 1 1 1 0 2 3 3 t0 Br1 n 二 单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 CCADBBABD 三 计算题 1 取为极大无关组 且 21 213 2 214 215 25 2 1 当且时 有的惟一线性表示 表示式为0 b1 a 321 2 当 能表示成线性组合 但 321 1 433 1 34 ab b bab b 1 a 4 3 b 321 表示式不惟一 3 当或且时 不能表示成线性组合 0 b1 a 4 3 b 321 3 1 当且时 方程组有惟一解 即 2 当时 方程2 a3 a 3 1 1 321 a xxx3 a 组无解 3 当时 方程组有无穷多组解 解为 2 a TT CX 0 1 0 1 4 5 4 基础解系为 T 0 1 17 19 17 13 1 T 1 0 17 20 17 13 2 5 通解为 TTT ccx 0 0 0 2 1 0 1 0 2 1 0 0 1 2 1 21 6 通解为 T T T ccx0 0 4 3 3 1 3 1 3 2 0 1 0 1 1 21 一 向量的线性关系 1 定义 1 线性组合 对于个维向量和维向量 如果存在个数mn m 21 n m 使得 则称向量是向量组的线性组 m kkk 21 mm k k k 2211 m 21 合 或称向量可以由向量组的线性表示 m 21 2 线性相关 对于个维向量 若存在一组不全为零的数mn m 21 使得 则称向量组线性相关 m kkk 21 0 2211 mm k k k m 21 3 线性无关 向量组不线性相关 就称为线性无关 即不存在不全为零的 m 21 数 使得成立 就称向量组线性无关 m kkk 21 0 2211 mm k k k m 21 线性相关 线性无关是线性代数中非常重要的基本概念 其定义也可表述为 要使 0 2211 mm k k k 若可以不全为零 则称线性相关 若必须全为零 则称 m kkk 21 m 21m kkk 21 线性无关 m 21 2 向量间线性关系的性质 1 仅含一个向量的向量组线性无关的充分必要条件是是非零向量 2 两个同维向量线性无关的充分必要条件是它们的对应分量不成比例 3 含有零向量的向量组一定线性相关 但不含零向量的向量组不一定线性无关 4 设维向量组 线性无关 则在每个向量上再添r 21iriii aaa mi 2 1 加个分量所得到的维向量组 rn n 121inriiriii aaaaa mi 2 1 也线性无关 5 设线性相关 则线性相关 反之 r 21 mr 21 21 mr 线性无关 则线性无关 即 部分相关 整体必相关 整体无关 部分必无关 r 21 6 设是个维向量 若 则向量组必定线性相关 向 m 21 mnnm m 21 量个数大于向量维数的向量组必线性相关 7 若对线性无关的向量组添加一个向量后所成的新向量组线性相关 则添加的向量必 可由原向量组唯一线性表示 8 向量组线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可用其余向量线性表示 3 判别方法 1 向量可由向量组 其中 n b b b 2 1 m 21 2 1 2 1 mj a a a nj j j j 线性表示的充分必要条件是 以 为系数矩阵 为常数列的非齐次线性方程A 21m 组有解 即 当无解 则不能用向量组线性表示 AX m 21 当有唯一解 则能用向量组线性表示 且表示式唯一 AX m 21 当有无穷多组解时 则能用向量组线性表示 但表示式不唯一 AX m 21 2 向量组线性相关的充分必要条件是其秩小于它所含向量的个数 向量组线性无关的充 分必要条件是其秩等于它所含向量的个数 3 个维向量 线性无关的充分必要条件是行列式 nnniaaa niiii 2 1 21 0 21 22221 11211 nnnn n n aaa aaa aaa 二 向量组间的线性关系 1 设向量组 A 可由向量组 B 线性表示 且的向量个数多于的向量个数 则向量组AB A 线性相关 2 设有两个维向量组 如果线性无关 且可由n 1212 rs A B AA 线性表示 则 Bsr 3 任何两个等价的线性无关向量组所含的向量个数相等 三 向量组秩的性质 1 若向量组能由向量组线性表示 则秩秩 ABA B 2 含有非零向量的向量组与其任一极大无关组等价 3 等价的向量组必有相同的秩 但反之不成立 4 含有非零向量的向量组中 任两个极大无关组均等价 5 向量组线性无关的充分必要条件是 A 的秩等于中的向量个数 AA 6 矩阵行秩等于列秩等于矩阵的秩 7 矩阵的列向量组进行初等行变换后 其秩及向量间的线性关系均不变 四 线性方程组 1 线性方程组有解的判别定理 1 非齐次线性方程组 1 有解的充分必要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相等 即 当时 方程组 1 有唯一解 当时 方程组 1 ArAr nArAr nArAr 有无穷多解 2 齐次线性方程组 2 一定有零解 当时 方程组 2 只有零解 当时 nAr nAr 方程组 2 有非零解 2 解的性质和结构 1 齐次线性方程组 若是齐次线性方程组 2 的解 则的任意线性组合仍然是该线性方程组 2 的 21 21 解 若齐次线性方程组 2 系数矩阵的秩为 则其解空间的秩为 即方程组 2 存Arrn 在个解向量构成解空间的极大无关组 称为方程组 2 的基础解系 此时rn rn 21 方程组 2 的通解可用基础解系表示 即有 其中 rnrn kkkx 2211 为任意常数 rn kkk 21 注 基础解系不唯一 但基础解系中含向量的个数都是个 实际上 任何个rn rn 线性无关的解向量都可作为方程组 2 的基础解系 2 非齐次线性方程组 若是非齐次线性方程组 1 的解 则是方程组 1 对应的齐次线性方程 21 21 组 2 的解 若是非齐次线性方程组 1 的解 是 1 对应的齐次线性方程组 2 的解 则是 非齐次线性方程组 1 的解 若是非齐次线性方程组 1 的一个特解 是对应的齐次线性方程组 2 rn 21 的基础解系 则方程组 1 的通解为 其中 rnrn kkkx 2211 为任意常数 rn kkk 21 第四章 向量空间与线性变换 例 1 解 1 已知在基 下的坐标为 X 设在 基及 1 2 3 T 2 6 3 1 2 3 1 2 基下的坐标分别为 则 3 yz y 321 z 321 由于 所以 而 321 A 321 XAy 1 2131 6732 3321 1210 0110 3321 1100 1010 2001 所以 在 下的坐标为 1 2 3 T 1 1 2 2 因为 而 均可逆 所以 321 A 321 321 B 321 A B 故基到基下的过渡矩阵为 BA 1 321321 321 321 BA 1 8124 9209 417127 3 其中 yBAz 11 T AyB 83 106 153 4 1 1 AB 1 4 99 107 2 62 139 4 181 1913 例 2 解 1 由定义 1 1 1 1 1 432322 xxxxxxxxxx 是过渡矩阵 10000 11000 11100 11110 11111 1 432 xxxx 10000 11000 11100 11110 11111 A 2 设多项式在新基下的坐标 因为 432 54321xxxx y 510000 101000 100100 100010 100001 XA 5 1 1 1 1 1 XAy 3 在新基下的坐标 在旧基下的坐标为 则 xf 5 4 3 2 1 yxxAy T x 5 9 12 14 15 例 3 分析 所谓求基变换公式 即要求基和的变换公式 n 21 n 21 其中是过渡矩阵 C nn 2121 C 解 由已知的坐标变换关系知 nnn x x x x x x C y y y 2 1 2 1 12 1 1100 0100 0011 0001 故 用初等变换可以求得 1100 0100 0011 0001 1 C 1111 0111 0011 0001 C 故所求变换公式为 C nn 2121 1 1 阵 2 在基下的坐标为 011 132 122 C 251 2 由所生成的向量空间以为一组基 维数是 521 a 421 3 3 4 2 坐标为 1 1 0 2 1 1 1 1 2 6 1 2 1 1 1 3 1 3 7 11 9 3 2 1 x x x 第五章 矩阵的特征值与特征向量 例 1解根据定义 只需验证选项中的向量是否满足 显然 零向量不 2 A 0 是的特征向量 排除 对于 因为 AAB 0 1 1 2 0 2 2 0 1 1 011 102 124 A 所以 是的对应于的特征向量 应选 T 0 1 1 A2 B 例 2 解对于选项 有个特征根 在复数范围内 但这些特征根中可能有重根 故 错 AAnA 对于选项 与有相同的特征值 但是 对应的特征向量不一定相同 故 错 对于选BA T AB 项 未说明对应的特征值 如果是对应于的同一特征值的特征向量 则C 21 21 A 当不全为零时 仍是的对应于特征值的特征向量 如果是对应 21 c c 2211 cc A 21 于的不同特征值的特征向量 则不是的特征向量 为任A 21 2211 cc A0 0 21 cc 意常数 对于选项 是矩阵特征值 特征向量的性质 综上分析 应选 DD 例 3 解 在中 把第二列到第列都加到第一列上 则第一列有公因子 提 AE n 出后可知是的因子 所以是的一个特征值 应选 AE aAA 例 4 解 矩阵的特征多项式为 A 2 3 22 21 AE 故的特征值为 因为 A3 1 2 2 02 1 2 2 2 AEAEAE 即选项 是奇异矩阵 而 1 不是的特征值 必有 应选 AA0 AEB 例 5 解 因为 由 知与有相同的特征6 321 A T AEAE A T A 值 故的特征值为 若设为属于的一个特征向量 则有 于是有 T A12 3XA XAX 从而推得的特征值为 的特XXA 1 1 X A XAAXA 1 XXA kk 1 A 1 A 征值为 矩阵多项式的特征值为 从而可写出各自具体内容 应填 A Af f6 3 1 2 1 1 3 2 1 2 3 6 16 1 4 例 6 解 由 可得的特征值分别为 0322 EAEAEAA 2 3 2 1 所以 于是的特征值分别为3 2 3 2 1 AEAEAAEA363232 11 故 应填 7 6 3 126 7 6 332 EA126 例 7 解由 得的一个特征值 又由条件有0 3 3 EAEAA3 因为 所以 且可逆 1622 4 EEAAT16 2 AAAAA TT 0 A4 AA 设的属于特征值的特征向量为 则A3 3 1 33 111 AAAAA 又因为 所以 故 可知的特征值为 0 A 11 3 1 AAAAAA 3 4 A A 3 4 例 8 解 的特征多项式为 A 01 1 10 yxAE 1 1 2 所以 的特征值为 A1 21 1 3 只要有两个线性无关的特征向量即可 即矩阵的秩等于 1 因为1 21 AE 1 只要满足 即可 AE 1 101 0 101 yx 000 00 101 xy0 yx 例 9 解设是所属的特征值 则 即 1 A A 1 1 211 121 112 1 1 KK 由此 得方程组 其解为 于是 当 KK K 22 1 3 1 1 2 1 K 4 1 2 1 2 K 或 1 时 是的特征向量 2 K 1 A 例 10 解 由与相似 则存在可逆阵 使得 从而ABPBAPP 1 即与相似 应选 BtEAPPPtPPAtEP 111 AtE BtE D 例 11 解 因矩阵已是对角形矩阵 而各选项中矩阵与有相同的特征值 故只需判AA 断各选项中的矩阵可否对角化 对于选项 特征多项式 其特征值为 A 3 2 2 1 AE2 21 3 3 考察方程组 其系数矩阵OXAE 2 1 000 100 010 100 100 010 2 1 AE 于是 方程组的基础解系中仅含 1 个向量 而2 2 1 AErOXAE 2 1 1 是二重特征值 故矩阵不能对角化 即不与相似 2 2 1 A 1 AA 对于选项 与 用类似方法可判断矩阵不可对角化 故不与相似 BD 42 A A 42 A AA 对于选项 矩阵的特征多项式 其特征值为 C 3 A 3 2 2 3 AE2 21 3 3 考虑方程组 其系数矩阵OXAE 2 3 000 000 100 100 000 100 2 3 AE 故 的基础解系中恰含两个向量 故可对角化 应选 1 2 3 AErOXAE 2 33 AC 例 12 解 因为可逆矩阵 则 111 201 111 P 300 030 006 1AP P 故 A 1 300 030 006 PP 6 13 16 1 2 102 1 3 13 13 1 300 030 006 111 201 111 411 141 114 因 故 即有 A 5 A 5 15555 5 5 5 55 332336 3 3 6 A 例 13 解 设的特征向量为 由于实对称矩阵的特征向量是相互正交2 3 T cba 3 的 故有 即 解之可得 0 21 0 32 022 022 cba cba 2 c a cb cc 令 即有 故 2 c1 a2 b T 2 2 1 3 取 则 因 212 221 122 321 P 221 122 212 9 1 1 P 2 4 1 1AP P 所以 1 2 4 1 PPA 221 122 212 9 1 2 4 1 212 221 122 此时由 020 212 022 A 2 4 1 故 因此 5 A 5 55 2 4 1 1 5 55 2 4 1 PPA 221 122 212 9 1 32 1024 1 212 221 122 90021781980 217839694158 198041584068 9 1 100242220 242441462 220462452 一 是非题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 二 填空题 1 2 3 4 5 6 1 1 2 1 22 1 2 454130 0E17 12 1 1 三 单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 AABCAACD 四 计算题 1 1 特征值 当时 特征向量为 是不为零的任意常数 当51 5 1 T c 1 1 1 11 c 时 特征向量为 不同时为零 1 32 TT cc 1 0 1 0 1 1 32 32 c c 2 特征值 0 当时 特征向量为 是不为零的任意常数 0 T c 2 1 3 c 2 1 可对角化 且有 其中 2 不可对角化 APP 1 210 201 111 P 100 020 002 3 4 3 2 53 5 0 3 1 53 2 5 2 3 2 53 4 5 1 Q 600 030 003 AQQ 1 A 412 212 111 5 1 特征向量 为不为零的任意常数 2 T k 1 0 1 k 1325 2102 5213 6 1 A 6 1 特征向量 2 3 2 2 T cc 1 1 2 0 c 2 1 2 1 2 1 2 1 QA 2 1 2 3 2 3 2 1 二 几个结果 1 特征值和特征向量的基本性质 1 阶矩阵与它的转置矩阵有相同的特征值 但特征向量一般不同 nA T A 2 属于的不同特征值的特征向量必定线性无关 但属于相同特征值的特征向量不一定必A 相关 3 属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是属于该特征值的特征向量 4 设为阶方阵的特征值 则有 即 n 21 nA nnn aaa 221121 的特征值的和等于矩阵的主对角线的元素的和 AA 21 A n 推论 若矩阵可逆矩阵的特征值全不为零 A A 5 若为矩阵的特征值 是的属于的特征向量 则 是的特征值 为任意 A A kkAk 常数 是的特征值 为正整数 当可逆时 是的特征值 是的特 m m AmA 1 1 A A A 征值 是的特征值 其中为任一多项式 注意 仍是矩阵 0 P AP xP kA m A 对应于特征值 的特征向量 1 A A AP k m 1 A 0 P 2 相似矩阵的性质 若 则AB 1 BA BrAr BtAt rr 2 T A T B 1 A 1 B m A m BkAkB AP BP 3 即相似矩阵有相同的特征多项式 因而也有相同的特征值 但特征 BEAE 向量不一定相同 3 矩阵可对角化的条件 1 n 阶方阵可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量 AAn 2 阶方阵有个不同的特征值 则一定可对角化 nAnA 实对称矩阵必可对角化 且存在正交矩阵 使 3 P 1 PPT APP 1 第六章 二次型 例 1 解 显然 1 11 a2 22 a3 33 a 2 5 2112 aa 2 7 3223 aa 2 9 3113 aa 于是得 3 2 7 2 9 2 7 2 2 5 2 9 2 5 1 A 例 2 解 线性替换是非退化的 当且仅当 故只需计算各线性替换矩阵的行CYX 0 C 列式 对于 有 故不是非退化线性替换 对于 同样可判断 A0 112 101 011 C A B 它不是非退化线性替换 对于 有 故本题应选 C0 100 210 121 C C 例 3 解 一个二次型化为标准形或规范形可应用不同的方法 对应的非退化线性替换也 不同 标准形也不一定相同 故均不正确 但是 无论应用何种方法把二次型化为 CBA 规范形 规范形中非零平方项个数 即二次型的秩 及其正项 负项的个数 即正惯性指数 负惯性指数 都是唯一确定的 故本题应选 D 例 4 解只有单位矩阵与单位矩阵相似 只有正定矩阵与单位矩阵合同 故本题应选 C 例 5 解 意味着存在可逆矩阵 使得 并未涉及是否为对角矩阵 例ABCBACC T BA或 如 设 不难验证 但 都不是 13 32 A 23 12 B 10 11 CBACC T A B 对角矩阵 并且 故不一定成立 7 A1 B AB CA 和 矩阵间合同与矩阵间相似的关系完全不同 由 不能得到它们的特征值相同的结AB 论 例如 设 1 2 1 2 1 1 A 4 3 0 01 B 10 2 1 1 C 不难验证 即 但的特征值为和 的特征值为 和 故不正BACC T ABA 2 1 2 3 B1 4 3 B 确 综上分析 本题只有选项 D