差错控制编码.doc

第九章 差错控制编码9.1引 言一、信源编码与信道编码 数字通信中，根据不同的目的，编码分为信源编码与信道编码二大类。 信源编码 提高数字信号的有效性，如，PCM编码，编码，图象数据压缩编码等。 信道编码 提高传输的可靠性，又称抗干扰编码，纠错编码。 由于数字通信传输过程中，受到干扰，乘性干扰引起的码间干扰，可用均衡办法解决。 加性干扰解决的办法有：选择调制解码，提高发射功率。如果上述措施难以满足要求，则要考虑本章讨论的信道编码技术，对误码（可能或已经出现）进行差错控制。 从差错控制角度看：信道分三类：（信道编码技术） 随机信道：由加性白噪声引起的误码，错码是随机的，错码间统计独立。 突发信道：错码成串，由脉冲噪声干扰引起。 混合信道：既存在随机错误，又存在突发错码，那一种都不能忽略不计的信道。 信道编码（差错控制编码）是使不带规律性的原始数字信号，带上规律性（或加强规律性，或规律性不强）的数字信号，信道译码器则利用这些规律性来鉴别是否发生错误，或进而纠错。需要说明的是信道编码是用增加数码，增加冗余来提高抗干扰能力。二：差错控制的工作方式 (1) 检错重发 (2) 前向纠错，不要反向信道 (3) 反馈校验法，双向信道 这三种差错控制的工作方式见下图所示：9.2 纠错编码的基本原理 举例说明纠错编码的基本原理。 用三位二进制编码表示8种不同天气。一组码共计8种 许用码组中，只要错一位（不管哪位错），就是禁用码组，故这种编码能发现任何一位出错，但不能发现的二位出错，二位出错后又产生许用码。 上述这种编码只能检测错误，不能纠正错误。 因为晴雨阴错一位，都变成1 0 0。 要想纠错，可以把8种组合（3位编码）中，只取2种为许用码，其它6种为禁用码。 例如： 0 0 0 晴 1 1 1 雨 这时，接收端能检测两个以下的错误，或者能纠正一个错码。 例：收到禁用码组1 0 0时，如认为只有一位错，则可判断此错码发生在第1位，从而纠正为0 0 0（晴），因为1 1 1（雨）发生任何一个错误都不会变成1 0 0。若上述接收码组种的错码数认为不超过二个，则存在两种可能性： 变成（1 1 1）或（1 0 0），因为只能检出错误，但不能纠正。一：分组码，码重，码距 （见樊书P282 表9-1） 将码组分段：分成信息位段和监督位段，称为分组码，记为（n, k） n 编码组的总位数，简称码长（码组的长度）k 每组二进制信息码元数目，（信息位段） 监督码元数目，（监督位段）（见樊书P282，图9-2）在分组码中，有“1”的数目称为码组的重量，简称码重。例如，码组（1 1 0 1 0），码长n=5，码重为3。把两个码组对应位不同的数目称为这两个码组的距离，简称码距，又称Hamming（汉明）的距离。例如，码组（1 1 0 0 0）与（1 0 0 1 1）的距离为3。 而码组集合中，全体码组之间的距离的最小值称为最小码距（）。码距的几何意义见樊书P283，图9-3。 从图看出，码距d越小，检错，纠错能力越强。二：纠错编码的效用 樊书P284 监督位数越多，对提高抗干扰，降低误码率越有好处。9.3常用的简单编码 纠错码的分类 ：（沈振元书 P388） (1) 奇偶校验码（“1”的数目应为偶数或奇数）。（见樊书P285） 偶校验码满足条件：偶校验位信息位1 1 0 0 1 1举例：偶校验的例子：码组：110011码长，信息位段长，监督位数偶校验位=“1” 满足条件：(2) 二维奇偶校验码 仍然举偶校验的例子：列监督位，行监督位，/0/1/0/1对称出现4个错码也检不出来 (3) 恒比码例如，我国电传机传输阿拉伯数字时，用5位代码表示，每个码组的长度为5，其中恒有3个“1”，称为 “5中取3” 恒比码。阿拉伯数字保护电码阿拉伯数字保护电码123450101111001101101101000111678901010111100011101001101101(4) 正反码正反码的信息位段长与监督位段长相同，如正反码组：信息位监督位 信息位段有奇数个1：1100111001 （监督位与信息位重复）信息位监督位 信息位段有偶数个1：1000101110 （监督位是信息位反码）9.4 线性分组码一：基本概念 可用线性方程组（代数关系）表述码的规律性的分组码称为线性分组码。如奇偶校验码的编程原理利用了代数关系，（偶校验关系），称奇偶校验码为线性分组码。 在代数码中，常见的是线性码，即编码中的信息位和监督位是由一些线性代数方程联系着，或者说可用线性代数方程表述编码的规律性。 上述正反码中，为了纠正一位错误，使用的监督位和信息位一样多，即编码效率只有50%（编码效率）。 那么为了纠正一位错误码，在分组码中最少要几位监督码位？编码效率能否提高。 从这种思想出发，便导致了汉明码的诞生。 汉明码是能够纠正一位错码且编码效率较高的一种线性分组码。二：线性分组码的一种 汉明码 下面介绍汉明码（Hamming）的构造原理。先回顾偶校验码，在接收端实际上计算监督关系式： 若 无错 有错 称校正子 由于校正子只有两种形式“0”或“1”，只能代表有错或无错，因而不能找出错码的位置。 不难想象，如果监督位增加一位，即变成二位监督位，即能增加一个类似于偶校验码监督式的新的监督式。两个监督式就有两个校正子，其可能值有4种组合：0 0，0 1，1 0，1 1，这4种组合代表不同信息。 若用1种组合表示无错，其余3种组合就可以用来表示一位错码的3种不同位置。 同理，个监督式能指示一位错码的个可能位置。一般来说，若码长，信息位数，则监督位，汉明码与满足： 现以（n，k）=（7，4），=3为例的汉明码来说明如何具体构造这些监督关系式。设码字（，）= 校正子（3个监督关系式中的校正子）这3个校正子，可建立三个互为独立的监督关系式。的值与错码位置的对应关系可以规定如下表：（见樊书P288，图9-4）错码位置错码位置001101010110100111011000无 错全为零，表示无错。只要（或，或）为“1”，就表示有错，是不是1，由的出错决定，可写成偶监督关系式：（只有为零时才无错，发送编码时，将监督码元与信息码元的关系满足此式） 同理 同理在发端编码时，信息位的值是随机的，监督位应根据信息位按监督关系来确定，即监督位应使上面的监督式为零。即要求： 或写成监督码元在左边的形式： 信息位一旦确定后，可直接按上式计算出监督位。（见樊书P289 图9-5） 接收端收到每个码字（码组）后，先计算出偶监督关系式，再按表9-4（樊书P288）判断错码情况。 如果不全零，可判出在哪一位出错。查樊书表9-4，判错哪一位并纠正之发送端，将信息位按此式加上监督位后发送接收端，先计算校正为零否，不为零则出错码，查表后，纠正改之 汉明码最小距=3（见樊书表9-5），能够纠正单个错误。三：线性分组码的一般原理(1) 监督阵和生成矩阵将上述汉明码（7，4）的监督关系式改写成：（见樊书P289，9.4-8） 上式中简写为+，表示模2相加。写成矩阵形式： = （模2） 简记 （H 监督矩阵） 监督矩阵H为（行，列）阶矩阵，H阵的每行之间彼此线性无关。 也可将H矩阵分为两部分： H = 其中P为rk阶矩阵，为rr阶单位矩阵。 若把监督关系式改写补充： 可改写为矩阵形式： 即 ， 变换为， 其中 Q G称为生成矩阵，如果找到G，则纠错编码方法就确定了，可由信息组和G可产生全部码字。 也称典型生成矩阵，其中，为kk方阵，由典型生成矩阵得出的码组A中，信息位不变，监督位附加其后，这种码称为系统码。(2) 校正子S（伴随式） 设发送码组（在传输过程中可能发生误码）设接收码组则发送码组与接收码组之差定义为E（也称错误图样）： （模2） ，其中 因此，若，表示该位接收码元无错；若，则表示有错。 ，也可改写为 例如：发送A = 1 0 0 0 1 1 1 错误E = 0 0 0 0 1 0 0 接收B = 1 0 0 0 0 1 1 令 称S为校正子，也称伴随式。零矩阵 由此可见，校正子S与错误图样E之间有确定的线性变换关系，若S和E之间一一对应，则S将能代表错码的位置。 接收端译码器的任务就是从校正子S确定错误图样，然后，从接收到的码字中减去错误图样E。 上述（7，4）汉明码的校正子S与错误图样E的对应关系见下表：表中，校正子S的种形式分别代表A码无错和-1种有