第3.4节 向量组的极大线性无关组(修改).ppt

第3 4节向量组的极大线性无关组 线性代数 主要内容 一 等价向量组 二 向量组的极大线性无关组 三 向量组的秩与矩阵秩的关系 一 等价向量组 即 1 自反性 一个向量组与其自身等价 2 对称性 若向量组与等价 则和等价 3 传递性 与等价 与等价 则与等价 向量组的等价关系具有以下三个性质 2 则向量组必线性相关 推论2 推论3等价的线性无关向量组所含向量的个数相等 任意m m n 个n维向量必线性相关 二 向量组的极大线性无关组 定义2 注 1 只含零向量的向量组没有极大无关组 简称极大无关组 那么称部分组为向量组的一个极大线性无关组 2 一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身 2 A中的任一向量都能由线性表示 例1 在向量组中 注 一个向量组的极大无关组一般不是唯一的 基本性质 例1 在向量组中 1 2 三 向量组的秩与矩阵秩的关系 定义3 向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩 记作 例如 向量组的 秩为2 1 向量组的秩 注 1 零向量组的秩为0 定理3等价的向量组有相同的秩 该逆命题不成立 2 矩阵的秩 2 1 行秩 列秩 矩阵的秩 把矩阵的每一行看成一个向量 则矩阵可被认为由这些行向量组成 把矩阵的每一列看成一个向量 则矩阵可被认为由这些列向量组成 定义4 矩阵的行向量组的秩 就称为矩阵的行秩 矩阵的列向量组的秩 就称为矩阵的列秩 例2 讨论矩阵 矩阵A的行向量组是 的行秩和列秩 是A的行向量组的一个极大无关组 因为 由 即 可知 线性相关 所以矩阵A的行秩为3 1 矩阵A的行秩为3 可证 矩阵A的列向量组是 而 所以矩阵A的列秩是3 2 矩阵A的列秩是3 问题 矩阵的行秩 矩阵的列秩 引理1 矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩 列 列 引理2 矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩 列 行 定理4 矩阵的行秩 矩阵的列秩 证 任何矩阵A都可经过初等变换变为 形式 而它的行秩为r 列秩也为r 又 初等变换不改变矩阵的行秩与列秩 所以 A的行秩 r A的列秩 定义5 矩阵的行秩 矩阵的列秩 统称为矩阵的秩 记为r A 或rankA 或秩A 综上 矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩 推论1 矩阵A的初等行变换不改变矩阵A的列向量组的线性相关性和线性组合 推论2 n阶方阵A 即A为可逆矩阵 也称为满秩矩阵 A的n个行 列 向量线性无关 A的n个行 列 向量线性相关 推论3 1 求矩阵秩的方法 把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵 则行阶梯形矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩 2 2矩阵的秩 向量组的秩 极大线性无关组的求法 由阶梯形矩阵有三个非零行可知 2 求向量组的秩 极大线性无关组的步骤 r A B的非零行的行数 3 求出B的列向量组的极大无关组 4 A中与B的列向量组的极大无关组相对应部分的列向量组即为A的极大无关组 根据见引理2 解 又因为B的1 2 5列是B的列向量组的一个极大无关组 考虑 是否还有其他的极大无关组 与 解 设 则B的1 2列为