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离散型随机变量分布列强化训练题 辽宁省建平县实验中学 刘永民1. 某工厂对同时生产某件产品的件数（单位：件）与所用时间（单位：小时）进行了测验.测验结果如下表所示：件数（件）111213时间（小时）252630（1） 求出与的线性回归方程；（2）试预测同时生产20件该产品需要多少小时？（附：线性回归方程中，,）【解析】（1） ， y (2) 由2、某中学将 100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人。陈老师采用A、B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验，为了了解教学效果，陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如下。记成绩不低于90分者为“成绩优秀”（1）在乙班样本中的20个个体中，从不低于86分的成绩中随机抽取2个，求抽出的两个均“成绩优秀”的概率 (2)由以上统计数据填写下面列联表，并判断是否有90%的把握认为：“成绩优秀”与教学方式有关甲班(A方式)乙班(B方式)总计成绩优秀成绩不优秀总计P(K2k)0.250.150.100.050.025k1.3232.0722.7063.8415.024【解析】（1）设抽取的两个均“成绩优秀”为事件A，从不低于86分的成绩中随机抽取2个的基本事件为（86，93），（86，96），（86，97）（86，99），（86，99），（93，96），（93，97）（93，99），（93，99），（96，97），（96，99），（96，99），（97，99），（97，99），（99，99）。而事件A包含的基本事件为（93，96），（93，97）（93，99），（93，99），（96，97），（96，99），（96，99），（97，99），（97，99），（99，99）P(A) （2）甲班(A方式)乙班(B方式)总计成绩优秀156成绩不优秀191534总计202040K23.137，由于3.1372.706，所以有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关3.（2012全国大纲文本题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。（）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，nN）的函数解析式。 （）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率.【解析】（）当日需求量时，利润=85；当日需求量时，利润，关于的解析式为；（）(i)这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的平均利润为=76.4；(ii)利润不低于75元当且仅当日需求不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为4.( 2012全国大纲理本小题满分12分)乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换.每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中,甲先发球.()求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率;()表示开始第4次发球时乙的得分,求的期望.【解析】:记表示事件:第1次和第2次这两次发球,甲得i分,i=0,1,2;A表示事件:第3次发球,甲得1分;B表示事件:开始第4次发球时,甲、乙的比分为1:2.(),;(),的可能取值为0,1,2,3.,.5（2012北京文本小题共13分）近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（）试估计生活垃圾投放错误额概率；（）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为其中，=600。当数据的方差最大时，写出的值（结论不要求证明），并求此时的值。（注：，其中为数据的平均数）【解析】：()厨余垃圾投放正确的概率约为 ()设生活垃圾投放错误为事件，则事件表示生活垃圾投放正确事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即约为所以约为()当，时，取得最大值因为所以6（12辽宁本小题满分满分12分）0.0250.0220.0200.0180.0100.005201030405060分钟频率组距O电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机投取了100名观众进行调查，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”（）根据已知条件完成下面列联表，并根据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？体育迷体育迷合计男女1055合计 0.05 0.01 K 3.841 6.635附：（）将上述调查所得到的频率视为概率。现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X，若每次抽取的结果是互相独立的，求的分布列，期望和方差【解析】（）由频率分布直方图可知,在抽取的100人中, “体育迷”有25人,从而列联表如下体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100将列联表中的数据代入公式计算,得.因为,所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.(）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为，由题意,从而的分布列为 0123 7.对某交通要道以往的日车流量（单位：万辆）进行统计，得到如下记录： 日车流量x频率0.050.250.350.250.100将日车流量落入各组的频率视为概率，并假设每天的车流量相互独立（）求在未来连续3天里，有连续2天的日车流量都不低于10万辆且另1天的日车流量低于5万辆的概率；（）用X表示在未来3天时间里日车流量不低于10万辆的天数，求X的分布列和数学期望【解析】：（）设表示事件“日车流量不低于10万辆”， 表示事件“日车流量低于5万辆”，表示事件“在未来连续3天里有连续2天日车流量不低于10万辆且另1天车流量低于5万辆”则所以（）可能取的值为，相应的概率分别为，.X的分布列为X0123P0.0270.1890.4410.343因为，所以期望8.某高中数学竞赛培训在某学段共开设有初等代数、平面几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等数论、平面几何都要合格，且初等代数和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格.现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同（见下表），且每一门课程是否合格相互独立.课 程初等代数平面几何初等数论微积分初步合格的概率（）求乙同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；（）记表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求的分布列及期望【答案】【解析】（I）（II）【解析】：（1）分别记甲对这四门课程考试合格为事件A，B，C，D，且事件A，B，C，D相互独立，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为： （2）由题设知的所有可能取值为0，1，2，3， ，的分布列为： ,9.某市为“市中学生知识竞赛”进行选拨性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的则被淘汰.现有500名学生参加测试，参加测试的学生的成绩的频率分布直方图如图所示.（1）求获得参赛资格的学生人数，并且根据频率分布直方图，估算这500名学生考试的平均成绩； （2）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中，每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或错答3题终止答题，答对3题者方可参加复赛.已知学生甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为，求甲在初赛中答题个数的分布列及数学期望.【答案】【解析】(1)获得参赛资格的学生人数为125；平均成绩为78.48； (2) 【解析】：（1）获得参赛资格的人数m=（0.005+0.0043+0.032）20500=125平均成绩：=（0.26+0.84+1.36+0.5+0.516+0.448）20=78.48（2）设甲答对每一道题的概率为P，则，则答题个数可能取的值为3，4，5，, 的分布列为.10某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：学院 机械工程学院 海洋学院 医学院 经济学院人数 4 6 4 6（）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；（）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为，求随机变量的概率分布列和数学期望【解析】： （本小题满分12分）解：（）从20名学生随机选出3名的方法数为，选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为：所以（）可能的取值为0，1，2，3，所以的分布列为 0 1 2 3P 所以11.为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表1和频率分布直方图220253035455040年龄(岁)0.010.020.030.040.050.060.070.080.09频率组距频率分布直方图2 频率颁布表1分组（岁）频数频率20,25)50.05025,30)200.20030,35)0.35035,40)3040,45)100.100合计1001.00频率分布表中的位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名市民的平均年龄；在抽出的100名市民中，按分层抽样法抽取20人参加宣传活动，从这20人中选取2名市民担任主要发言人，设这2名市民中“年龄低于30岁”的人数为，求的分布列及数学期望【解析】：（1）由表知：，分别填.补全频率分布直方图如下: 20253035455040年龄(岁)0.010.020.030.040.050.060.070.080.09频率组距频率分布直方图2 平均年龄估值为:（岁） (2)由表知:抽取的20人中,年龄低于30岁的有5人,的可能取值为0,1,2 的分布列为012 期望（人） 12.学校为测评班级学生对任课教师的满意度，采用“100分制”打分的方式来计分现从某班学生中随机抽取10名，以下茎叶图记录了他们对某教师的满意度分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：规定若满意度不低于98分，测评价该教师为“优秀”（I）求从这10人中随机选取3人，至多有1人评价该教师是“优秀”的概率；（）以这10人的样本数据来估计整个班级的总体数据，若从该班任选3人，记表示抽到评价该教师为“优秀”的人数，求的分布列及数学期望【解析】： 解：（）设Ai表示所取3人中有i个人评价该教师为“优秀”，至多1人评价该教师为“优秀”记为事件A，则P（A）=P（A0）+P（A1）=（）由已知得的可能取值为0，1，2，3，P（=0）=（）3=，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=（）3=，的分布列为： 0 1 2 3 P E=0.913某学校为了增强学生对消防安全知识的了解，举行了一次消防安全知识竞赛，其中一道题是连线题，要求将4种不同的工具与它们的4种不同的用途一对一连线，规定：每连对一条得5分，连错一条得-2分某参赛者随机用4条线把消防工具与用途一对一全部连接起来（1）求该参赛者恰好连对一条的概率；（2）设为该参赛者此题的得分，求的分布列与数学期望【解析】：(1). (2) 的所有可能取值为：，. (6分)，-8-1620 且. 14.某校为了解2015届高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质，对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右前个小组的频率之比为，其中第二小组的频数为.5055606570750.017频率组距体重（kg）0.043求该校报考飞行员的总人数；若以该学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选人，设表示体重超过的学生人数，求的数学期望与方差.【解析】：（1）设该校报考飞行员的总人数为，前三个小组的频率为则解得由于，故（2）由（1）知，一个报考学生的体重超过公斤的概率为，由题意知服从二项分布即：15.某苗木公司要为一小区种植3棵景观树，每棵树的成本为1000元，这种树的成活率为，有甲、乙两种方案如下；甲方案：若第一年种植后全部成活，小区全额付款8000元；若第一年成活率不足，终止合作，小区不付任何款项；若成活率超过，但没有全成活，第二年公司将对没有成活的树补种，若补种的树全部成活，小区付款8000元，否则终止合作，小区付给公司2000元乙方案：只种树不保证成活，每棵树小区付给公司1300元()若实行甲方案，求小区给苗木公司付款的概率；()公司为获得更大利润，应选择哪种方案？【解析】（1）设小区付款为事件A所以小区付款的概率为 （2）设甲方案的利润可能取值为：-3.-2,4,5 （千元）；-3-245 (千元)乙方案的利润0.9（千元），所以苗木公司选用甲方案的利润的均值更大.16.央视财经频道升级到家栏目答题有奖,游戏规则:每个家庭两轮游戏,均为三局两胜,第一轮3题答对2题,可获得小物件(家电),价值1600元;第二轮3题答对2题,可获得大物件(家具)价值5400元(第一轮的答题结果与第二轮答题无关),某高校大二学生吴乾是位孝顺的孩子,决定报名参赛,用自己的知识答题赢取大奖送给父母,若吴乾同学第一轮3题,每题答对的概率均为,第二轮三题每题答对的概率均为.()求吴乾同学能为父母赢取小物件(家电)的概率;()若吴乾同学答题获得的物品价值记为(元)求的概率分布列及数学期望.【解析】（1）p= （2）赢取大物件的概率: p= 的分布列为： 0160054007000或0160054007000 =350+625+4375=5350（元） 另注：若第一轮答题获得的物品价值记为（单位：元），若第二轮答题获得的物品价值记为（单位：元）。 则：= +=1350+4000=5350（元）17.在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次. 在A处每投进一球得3分；在B处每投进一球得2分. 如果前两次得分之和超过3分就停止投篮；否则投第三次. 某同学在A处的投中率为0.25，在B处的投中率为. 该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为（）求的值；（）求随机变量的数学期望E；（）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.【解析】：（）设该同学在A处投中为事件A, 在B处投中为事件B.则事件A,B相互独立，且，.根据分布列知：=0时，所以，. （）当=2时， ( ). 当=3时， . 当= 4时， . 当= 5时， . 所以随机变量的分布列为随机变量的数学期望. （）同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为. 该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为. 由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.18.为了解我市大学生的体质状况，对昆明地区部分大学的学生进行了身高. 体重和肺活量的抽样调查. 现随机抽取100名学生，测得其身高情况如下表所示.()求出频率分布表中. . 位置上相应的数据，并补全图3所示频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计众数的值；()若按身高分层抽样，抽取20人参加2015年庆元旦全民健身运动，其中有3名学生参加越野比赛，记这3名学生中“身高低于170”的人数为，求的分布列及数学期望.【解析】：（1）、处分别填5、35、0.350，众数是172. 5cm，补全频率分布直方图如图3所示.图3（2）用分层抽样的方法，从中选取20人，则“身高低于170cm”的有5人，所以可能的取值为0，1，2，3，则；，则的分布列如下：0123P. 19.某高校经济管理学院在2014年11月11日“双11购物节”期间，对25，55岁的人群随机抽取了1000人进行调查，得到各年龄段人数频率分布直方图同时对这1000人是否参加“商品抢购”进行统计，结果如下表：组数分组抢购商品的人数占本组的频率第一组25，30）1200.6第二组30，35）195P第三组35，40）1000.5第四组40，45）a0.4第五组45，50）300.3第六组50，55150.3（1）求统计表中a和p的值；（2）从年龄落在（40，50内的参加“商品抢购”的人群中，采用分层抽样法抽取6人参加满意度调查， 设从年龄落在（40，45和（45，50中抽取的人数分别为m，n，求m和n的值；在抽取的6人中，有2人感到“满意”，设没感到“满意”的2人中年龄在（40，45内的人数为X，求事件X的分布列和数学期望解：（）由频率分布直方图可知，年龄落在（30，35内的频率为了，所以年龄在30，35的人数为10000.3=300人则=0.65又年龄落在（40，45内的人数为 所以 a=1500.4=60，故（）年龄落在（45，50内的人数为其中参加抢购商品的的人数，0121/158/156/15的数学期望：4/3 20某旅游景点，为方便游客游玩，设置自行车骑游出租点，收费标准如下：租车时间不超过2小时收费10元，超过2小时的部分按每小时10元收取（不足一小时按一小时计算）现甲、乙两人独立来该租车点租车骑游，各租车一次设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；2小时以上且不超过3小时还车的概率分别为，且两人租车的时间都不超过4小时（）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望【解析】（1）甲、乙所付费用可以为元、元、元 甲、乙两人所付费用都是元的概率为甲、乙两人所付费用都是元的概率为甲、乙两人所付费用都是元的概率为 故甲、乙两人所付费用相等的概率为（2）随机变量的取值可以为 故的分布列为： 的数学期望是 21. 设袋子中装有个红球,个黄球,个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球2分,取出蓝球得3分.(1)当时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量为取出此2球所得分数之和,.求分布列;(2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球,记随机变量为取出此球所得分数.若,求【解析】:()由已知得到:当两次摸到的球分别是红红时,此时;当两次摸到的球分别是黄黄,红蓝,蓝红时,此时;当两次摸到的球分别是红黄,黄红时,此时;当两次摸到的球分别是黄蓝,蓝黄时,此时;当两次摸到的球分别是蓝蓝时,此时;所以的分布列是:23456P()由已知得到:有三种取值即1,2,3,所以的分布列是:123P所以:,所以. 22.翡翠市场流行一种赌石“游戏规则”：翡翠在开采出来时有一层风化皮包裹着，无法知道其内的好坏，须切割后方能知道翡翠的价值，参加者先缴纳一定金额后可得到一块翡翠石并现场开石验证其具有的收藏价值某举办商在赌石游戏中设置了甲、乙两种赌石规则，规则甲的赌中率为，赌中后可获得20万元；规则乙的赌中率为（），赌中后可得万元；未赌中则没有收获每人有且只有一次赌石机会，每次赌中与否互不影响，赌石结束后当场得到兑现金额 （1）收藏者张先生选择规则甲赌石，收藏者李先生选择规则乙赌石，记他们的累计获得金额数为（单位：万元），若的概率为，求的大小； （2）若收藏者张先生、李先生都选择赌石规则甲或选择赌石规则乙进行赌石，问：他们选择何种规则赌石，累计得到金额的数学期望最大？【解析】（1）由已知得收藏者张先生赌中的概率为，收藏者李先生赌中的概率为，且两人赌中与否互不影响记“这2人的累计获得金额数为（单位：万元）”的事件为，则事件的对立事件为“” 因为，所以，求得 （2）设收藏者张先生、李先生都选择规则甲赌中的次数为，都选择规则乙赌中的次数为，则这两人选择规则甲累计获奖得金额的数学期望为，选择规则乙累计获奖得金额的数学期望为 由已知可得，所以， 从而， 若，则，解得； 若，则，解得；若，则，解得 综上所述，当时，他们都选择规则甲进行赌石时，累计得到金额的数学期望最大；当时，他们都选择规则乙进行赌石时，累计得到金额的数学期望最大；当时，他们都选择规则甲或规则乙进行赌石时，累计得到金额的数学期望相等 23.十八届四中全会明确提出“以法治手段推进生态文明建设”，为响应号召，某市红星路小区的环保人士向该市政府部门提议“在全市范围内禁放烟花、炮竹”为此，红星路小区的环保人士对该小区年龄在15，75）的市民进行问卷调查，随机抽查了50人，并将调查情况进行整理后制成下表：年龄（岁）15，25）25，35）35，45）45，55）55，65）65,75）频数610121255赞成人数3610643（1）请估计红星路小区年龄在15，75）的市民对“禁放烟花、炮竹”的赞成率和被调查者的年龄平均值；（2）若从年龄在55，65）、65，75）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记被选4人中不赞成“禁放烟花、炮竹”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望【解析】 (1)：赞成率为2分被调查者的平均年龄为200.12 + 300.2 + 400.24 + 500.24 + 600.1 + 700.1 = 43(2)：由题意知： 0123P决问题 12分24. 在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两队比赛一场）共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局.在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为.（I）求甲队获第一名且丙队获第二名的概率； （II）设在该次比赛中，甲队得分为的分布列和数学期望.【解析】（I）设“甲队获第一且丙队获第二”为事件A，则 （II）可能的取值为0，3，6；则甲两场皆输：甲两场只胜一场：甲两场皆胜：，036P的分布列为： 25某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：()求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图； （）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分； （）若从名学生中随机抽取人，抽到的学生成绩在记分，在记分，在记分，用表示抽取结束后的总记分，求的分布列和数学期望.【解析】()设分数在内的频率为，根据频率分布直方图，则有，可得，所以频率分布直方图如右图所示.（求解频率3分，画图1分）（）平均分为： （）学生成绩在的有人，在的有人，在的有人.并且的可能取值是. 则； ；.所以的分布列为01234 26.东海学校从参加2015年迎新百科知识竞赛的同学中，选取40名同学，将他们的成绩（百分制）（均为整数）分成6组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题（）求分数在70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（）从频率分布直方图中，估计本次考试的平均分；（）若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在40，70）记0分，在70，100记1分，用X表示抽取结束后的总记分，求X的分布列和数学期望401009080706050分数呼0.0050.0100.0150.0200.0250.0300.035频率组距【解析】：（1）设分数在内的频率为，根据频率分布直方图，则有，可得，所以频率分布直方图如图所示 4010090807060500.0050.0100.0150.0200.0250.0300.035分数呼频率组距 （2）平均分：（3）学生成绩在的有人，在的有人，并且的可能取值是0，1，2 ，；. 所以的分布列为012 所以 27. 、某校举办安全法规知识竞赛，从参赛的高一、高二学生中各抽出100人的成绩作为样本对高一年级的100名学生的成绩进行统计，得到成绩分布的频率分布直方图如图：（1）若规定60分以上（包括60分）为合格，计算高一年级这次知识竞赛的合格率；（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该校大量高一学生中，采用随机抽样方法每次抽取1名学生，抽取3次，记被抽取的3名学生中的合格人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和期望；高一高二合计合格人数不合格人数合计（3）若高二年级这次知识竞赛的合格率为60%，由以上统计数据填写22列联表，并问是否有99%的把握认为“这次知识竞赛的成绩与年级有关系”【解析】：（1）高一合格率为0.02100.03100.02100.01100.880%.（2）01230.0080.0960.3840.512（3）高一高二合计合格人数8060140不合格人数204060合计1001002009.56.635.所以有99%的把握认为“这次知识竞赛的成绩与年级有关系”28.以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。 甲组 乙组9 9 0 x 8 91 1 1 0（）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。（注：方差，其中为， 的平均数）【解析】（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为方差为（）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有44=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=同理可得所以随机变量Y的分布列为：Y1718192021PEY=17P（Y=17）+18P（Y=18）+19P（Y=19）+20P（Y=20）+21P（Y=21）=17+18+19+20+21=1929.某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止。令表示走出迷宫所需的时间。（1） 求的分布列；（2） 求的数学期望。【解析】考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。（1） 必须要走到1号门才能走出，可能的取值为1，3，4，6，分布列为：1346（2）小时00.025 2 0.075 4 6 0.1000.125 8 0.150 10 12时间（小时）频率/组距30. （2014安徽文）某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时）（）应收集多少位女生样本数据？（）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.（）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.P（K2K0）0.100.050.0100.005Kw2.7063.8416.6357.879【解析】：（1）30090，所以应收集90位女生的样本数据。（2）由频率分布直方图得1-2(0.1000+0.025)=0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75（3）由（2）知，300位学生中有3000.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时453075每周平均体育运动时间超过4小时16560225总 计21090300结合列联表可算得K2 = 4.7623.841所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”。31.（15北京理科），两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：组：10，11，12，13，14，15，16组：12，13，15，16，17，14，假设所有病人的康复时间互相独立，从，两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙() 求甲的康复时间不少于14天的概率；() 如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；() 当为何值时，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）【答案】（1），（2），（3）或【解析】：设事件为“甲是组的第个人”，事件为“乙是组的第个人”，。由题可知。由题知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是组的第5人或第6人或第7人”。所以所求概率为；设事件为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，由题知，因此； 或。32（15年广东理科）某工厂36名工人的年龄数据如下表。工人编号 年龄工人编号 年龄工人编号 年龄工人编号 年龄A. 40B. 44C. 40D. 41E. 33F. 40G. 45H. 42I. 43J. 36K. 31L. 38M. 39N. 43O. 45P. 39Q. 38R. 36S. 27T. 43U. 41V. 37W. 34X. 42Y. 37Z. 44AA. 42BB. 34CC. 39DD. 43EE. 38FF. 42GG. 53HH. 37II. 49JJ. 39（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的平均值和方差；（3）36名工人中年龄在与之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01）？【答案】（1），；（2），；（3），约占【解析】：（1）依题所抽样本的编号是一个首项为2，公差为4的等差数列，故所有样本编号为2， 6， 10，14， 18，22，26，30，34。对应样本的年龄分别为44，40，36，43，36，37，44，43，37。（2）由（1）可得样本的均值 40方差为 （3）由（2）可知 ， ，年龄在与的人数为23 人，所占百分比为 33（15年安徽理科）已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果. （1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率 （2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）【解析】：（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，（2）的可能取值为200,300,400故的分布列为20030040034.（15年福建理科）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.()求当天小王的该银行卡被锁定的概率；()设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望【解析】（）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则（）依题意得，X所有可能的取值是1，2，3又所以X的分布列为 123 所以35.（15年新课标2理科）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79（）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率【解析】：两地区用户满意度评分的茎叶图如右下表所示。通过茎叶图可以看出：地区用户满意度评分的平均值高于地区用户满意度评分的平均值，地区用户满意度评分比较集中，地区用户满意