圆的基本性质.ppt

知识回顾 1 如图所示 AB是 O的直径 AC是弦 O A B C 1 若 B 40 则 AOC 2 若 AOC 70 则 B 2 如图所示 在 ABC中 C 90 1 AB 10 BC 6 则AC 2 AC 6 BC 2 则AB 80 35 8 问题 你知道赵州桥吗 它的主桥是圆弧形 它的跨度 弧所对的弦的长 为37 4m 拱高 弧的中点到弦的距离 为7 2m 你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗 赵州桥主桥拱的半径是多少 O 观察现象 O 观察现象 O 观察现象 O 观察现象 O 观察现象 O 观察现象 O 观察现象 O 观察现象 O 观察现象 O 观察现象 O 观察现象 O 观察现象 O 观察现象 O 观察现象 你能得到什么结论 圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 它有无数条对称轴 圆的对称性及特性 圆也是中心对称图形 它的对称中心就是圆心 用旋转的方法可以得到 一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度 都能与原来的图形重合 这是圆特有的一个性质 圆的旋转不变性 垂直于弦的直径 1 圆的轴对称性 圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 思考 如图 AB是 O的一条弦 作直径CD 使CD AB 垂足为E 1 此图是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 2 你能发现图中有哪些相等的线 段和弧 为什么 A B D C O E 垂直于弦的直径 1 圆的轴对称性 圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 思考 如图 AB是 O的一条弦 作直径CD 使CD AB 垂足为E 1 此图是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 2 你能发现图中有哪些相等的线 段和弧 为什么 A B D C O E 垂直于弦的直径 1 圆的轴对称性 圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 思考 如图 AB是 O的一条弦 作直径CD 使CD AB 垂足为E 1 此图是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 2 你能发现图中有哪些相等的线 段和弧 为什么 A B D C O E 垂直于弦的直径 1 圆的轴对称性 圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 思考 如图 AB是 O的一条弦 作直径CD 使CD AB 垂足为E 1 此图是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 2 你能发现图中有哪些相等的线 段和弧 为什么 A B D C O E 垂直于弦的直径 1 圆的轴对称性 圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 思考 如图 AB是 O的一条弦 作直径CD 使CD AB 垂足为E 1 此图是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 2 你能发现图中有哪些相等的线 段和弧 为什么 A B D C O E 垂直于弦的直径 1 圆的轴对称性 圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 思考 如图 AB是 O的一条弦 作直径CD 使CD AB 垂足为E 1 此图是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 2 你能发现图中有哪些相等的线 段和弧 为什么 A B D C O E 垂直于弦的直径 1 圆的轴对称性 圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 思考 如图 AB是 O的一条弦 作直径CD 使CD AB 垂足为E 1 此图是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 2 你能发现图中有哪些相等的线 段和弧 为什么 A B D C O E 垂直于弦的直径 1 圆的轴对称性 圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 思考 如图 AB是 O的一条弦 作直径CD 使CD AB 垂足为E 1 此图是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 2 你能发现图中有哪些相等的线 段和弧 为什么 A B D C O E 垂直于弦的直径 1 圆的轴对称性 圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 思考 如图 AB是 O的一条弦 作直径CD 使CD AB 垂足为E 1 此图是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 2 你能发现图中有哪些相等的线 段和弧 为什么 A B D C O E 垂直于弦的直径 1 圆的轴对称性 圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 思考 如图 AB是 O的一条弦 作直径CD 使CD AB 垂足为E 1 此图是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 2 你能发现图中有哪些相等的线 段和弧 为什么 A B D C O E 垂直于弦的直径 1 圆的轴对称性 圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 思考 如图 AB是 O的一条弦 作直径CD 使CD AB 垂足为E 1 此图是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 2 你能发现图中有哪些相等的线 段和弧 为什么 A B D C O E 垂直于弦的直径 1 圆的轴对称性 圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 思考 如图 AB是 O的一条弦 作直径CD 使CD AB 垂足为E 1 此图是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 2 你能发现图中有哪些相等的线 段和弧 为什么 A B D C O E 垂直于弦的直径 1 圆的轴对称性 圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 思考 如图 AB是 O的一条弦 作直径CD 使CD AB 垂足为E 1 此图是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 2 你能发现图中有哪些相等的线 段和弧 为什么 A B D C O E 垂直于弦的直径 1 圆的轴对称性 圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 思考 如图 AB是 O的一条弦 作直径CD 使CD AB 垂足为E 1 此图是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 2 你能发现图中有哪些相等的线 段和弧 为什么 A B D C O E A 垂直于弦的直径 1 圆的轴对称性 圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 A B D C O E A 2 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所 对的两条弧 垂径定理垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧 CD 弦AB 如图 CD是 O的直径 O中 CD经过点O AM BM AM BM 符号语言 O A B D C O E A B C O D A B C O D A B C 应用垂径定理的几个基本图形 请结合图形说出符合垂径定理的条件和结论 O 探究 A B D C E 如图 若直径CD平分弦AB交AB于E时 你认为都有哪些结论成立 A B D C O E A B O E C D AB是弦 但不能是直径时 才有垂直AB 平分AB所对的两条弧 O A B C D E 推论 垂径定理及其的推论 直线CD 1 过圆心 2 垂直于弦 3 平分弦 4 平分弦所对的劣弧 5 平分弦所对的优弧以上五个中只要符合两个条件 就能得到其它三个结论 定理辨析 判断下列图形 能否使用垂径定理 注意 定理中的两个条件 直径 垂直于弦 缺一不可 定理辨析 1 填空 如图 在 O中 1 若MN AB MN为直径 则 2 若AC BC MN为直径 AB不是直径 则 3 若MN AB AC BC 则 4 若AM BM MN为直径 则 练习 2 判断 1 垂直于弦的直线平分弦 并且平分弦所对的弧 2 弦所对的两弧中点的连线 垂直于弦 并且经过圆心 3 圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分 4 平分弦的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 5 圆内两条非直径的弦不能互相平分 问题 你知道赵州桥吗 它的主桥是圆弧形 它的跨度 弧所对的弦的长 为37 4m 拱高 弧的中点到弦的距离 为7 2m 你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗 赵州桥主桥拱的半径是多少 D C 的中点 CD就是拱高 AB 37 4 CD 7 2 AD 18 7 设OA OC R OD OC CD R 7 2 在Rt AOD中 OA2 AD2 OD2 即R2 18 72 R 7 2 2解得R 27 9 因此 赵州桥的主桥拱的半径约为27 9米 例1 如图所示 已知AB是 O的弦 OC AB于C 且AB 8 OC 3 求 O的半径 O A C B 练习 1 如图 O的半径为8 OC 弦AB于C 且OC 6 求弦长AB 2 如图 O的半径为6 弦AB 8 求圆心O到AB的距离 O A C B O A C B 例2 如图 已知在圆O中 弦AB的长为8 圆心O到AB的距离为3 求圆O的半径 变式1 在半径为5 的圆O中 有长8 的弦AB 求点O与AB的距离 2 在半径为5 的圆O中 圆心O到弦AB的距离为3 求AB的长 例3已知 如图 在以O为圆心的两个同心圆中 大圆的弦AB交小圆于C D两点 AC与BD相等吗 为什么 P 注意 解决有关弦的问题 过圆心作弦的垂线 或作垂直于弦的直径 也是一种常用辅助线的添法 如图 M为 O内的一点 利用尺规作一条弦AB 使AB过点M 并且AM BM A B 例4 变式 如图 过 O内一点P 作 O的弦AB 使它以点P为中点 例5 某居民区一处圆形下水管道破裂 修理人员准备更换一段新管道 如图所示 污水水面宽度为60cm 水面至管道顶部距离为10cm 问修理人员应准备半径多大的管道 O 解 过 点作 并延长 交 于 连接 垂径定理和勾股定理相结合 构造直角三角形 把圆的问题化归为直线形问题解决 O 思考 在例2中 我们已计算出 的半径 cm 如果水面宽度由60cm变为80cm 那么污水面下降了多少cm O 两弦在圆心同旁 两弦在圆心两旁 cm cm 作垂径 连半径 构造直角三角形 注意圆的对称性 拓展 1 如图 AB CD是 O的两条平行弦 AC与BD相等吗 为什么 2 在半径为5cm的 O中 弦AB CD 且AB 6cm CD 8cm 求AB CD之间的距离 3 如图 C 90 C与AB交于点D AC 5 CB 12 求AD的长 四 圆的问题可以化归为直线型问题解决 这是一种研究数学的重要思想 二 垂径定理 一 圆是轴对称图形 其对称轴是 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的弧 三 垂径定理和勾股定理相结合 构造直角三角形 可解决计算弦长 半径 圆心到弦的距离等问题 任意一条过圆心的直线 或直径所在直线 小结 练习1 如图 O的直径是10 弦AB的长为8 P是AB上的一个动点 则OP的求值范围是 使线段OP的长度为整数值的P点位置有个 p1 p2 C 注意圆的轴对称性 3 OP 5 5 2 以矩形ABCD的边 为直径的 交 于E F DE 1cm EF 3cm 则AB 3 如上图 O的直径是10 线段OP的长为3 则过点P的所有弦中 最大弦长为 最短弦长为 弦长为整数的有条 连半径 构造直角三角形 4 CD为 O的直径 弦AB CD于点E CE 1 AB 10 求CD的长 C D 5 如图 OA OB AB交 O与点C D AC与BD是否相等 为什么 6 在直径为650mm的圆柱形油罐内装进一些油后 其横截面如图 若油面宽AB 600mm 求油的最大深度 2 如图 圆O的弦AB 8