高代 下 复习.doc

代数与几何(下)复习一、选择题71下列集合中是的子空间的为（ ），其中.; ; .; .72下列集合有（ ）个是的子空间. ； ； ； . 1 个; . 2 个; . 3 个; . 4个.75（1）线性变换的特征向量之和仍为的特征向量；（2）属于线性变换的同一特征值的特征向量的任一线性组合仍是的特征向量；（3）相似矩阵有相同的特征多项式；（4）的非零解向量都是的属于的特征向量.以上说法正确的有（ ）个。 . 1 个； . 2 个 ； 3 个 ； . 4个。75. 阶方阵具有个不同的特征值是与对角阵相似的（ ）。. 充要条件；.充分而非必要条件；. 必要而非充分条件；. 既非充分也非必要条件.76. 对于阶实对称矩阵，以下结论正确的是（ ）。. 一定有个不同的特征根；. 存在正交矩阵，使成对角形；. 它的特征根一定是整数；. 属于不同特征根的特征向量必线性无关，但不一定正交.77. 设都是三维向量空间的基，且，则矩阵是由基到（ ）的过渡矩阵。. . . 73设是相互正交的维实向量，则下列各式中错误的是（ ）. ； . ；. ； . .74. 是阶实方阵，则是正交矩阵的充要条件是（ ）. ； . ； . ； . .二、填空题95. 二次型的矩阵是_.96. 是正定阵，则满足条件_。97 . 当满足条件 ，使二次型是正定的。98. 设阶实对称矩阵的特征值中有个为正值，有为负值，则的正惯性指数和负惯性指数是 。103. 设为3阶方阵，其特征值为3，1，2，则 。104.满足，则有特征值_。111. 已知4阶矩阵相似于，且的特征值为，则_.112. 已知3阶矩阵的三个特征值为，则矩阵的特征值为_;_.105. 设阶矩阵的元素全为，则的个特征值是 。106. 设矩阵是阶零矩阵，则的个特征值是 。107. 如果A的特征值为，则的特征值为 。114. 复数域作为实数域上的向量空间，则_，它的一个基为_。115. 复数域作为复数域上的向量空间，则_，它的一个基为_。1. 在中,设,则由该向量组生成的子空间的维数为 ,一组基为 .3. 设，;,则与 的和的维数为_,一组基为_.123. 令是数域上一切满足条件的阶矩阵所成的向量空间，则= 。122. 任一个有限维的向量空间的基是_的，但任两个基所含向量个数是_。120. 设与都是上的两个有限维向量空间，则 。121. 数域F上任一维向量空间都与 。（不同构，同构）118. 设是向量空间的一个基，由该基到 的过渡矩阵为_。119. 设是向量空间的一个基，由该基到 的过渡矩阵为_。5. 在中定义线性变换,则在基下的矩阵为 .6. 在中定义线性变换,则在基下的矩阵为 .110. 若线性变换关于基的矩阵为，那么线性变换关于基的矩阵为 。117. 设是数域上的3维向量空间，是的一个线性变换，是的一个基，关于该基的矩阵是，则关于的坐标是_。129. 设，则在= 。125. 在 。126. 在欧氏空间里的长度为_ _ _。127. 在欧氏空间里的长度为_。8. 的一组基的度量矩阵 (内积接通常定义) 为 .10. 设欧氏空间的内积为,则基的度量矩阵为_.113. 实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此 。124. 设为变换，为欧氏空间，若都有，则为 变换。（复习对称变换与正交变换）128. 设是欧氏空间，则是正交变换 。112. 实数域R上的n阶矩阵Q满足 ，则称Q为正交矩阵。99. 相似于单位矩阵，则 = _。7. 同一线性变换在两组基下的矩阵是 关系;同一欧氏空间的两组基的度量矩阵是 关系.三、计算题129. 判断实二次型10是否正定的。132. 取何值时，二次型正定。133. 取何值时，二次型正定。135. 求一正交线性替换(正交变换)化为标准形。136. 求一个可逆变换把二次型化为标准形。137. 将二次型化为规范形，并指出所用的线性变换。138. 化简二次方程，并判断其曲面类型。139. 求一正交变换,将二次型化为标准型,并指出表示何种二次曲面.140. 设是实对称矩阵，证明:当实数充分大之后，是正定矩阵。141. 设是一个实二次型，若有维向量使得，。证明：必存在实非零维向量使。144. 设，求一个正交矩阵为对角形矩阵。147.设，用初等变换求一可逆矩阵是对角形式。148.设,求可逆矩阵, 使是对角形矩阵。150. 设矩阵与相似，求。151. 验证中的子集（1）；（2）是否为子空间。139. 已知向量组=(1,1,0,-1), =(1,2,3,4)，=(1,2,1,1)，=(2,4,2,2)，试求它们的生成子空间(, , , )的维数和一个基。156. 考虑中以下两组向量；，证明和都是的基。并求出由基到的过渡矩阵。151. ,，求关于基的坐标。153. 设中的两个基分别为,，（1）求由基的过渡矩阵。（2）已知向量在基下的坐标为，求在基下的坐标。158. 中的两向量组 ， （1）证明它们都是的基，（2）并求第一个基到第二个基的过渡矩阵，（3）如果在基下的坐标为（3，1，2），求在基下的坐标。159. 在中，求由下列齐次线性方程组确定的解空间的基与维数。 157. 设上三维向量空间的相性变换关于基的矩阵是,求关于基 的矩阵。11. 已知3维线性空间的两组基和,且,又的线性变换在基下的矩阵为,求在基下的矩阵.12. 已知的线性变换在基下的矩阵为,求在基下的矩阵.13. 设是3维实线性空间的一个线性变换,为的一组基,已知(1) 写出在基下的矩阵;(2) 问能否找到一组基,使在这组基下的矩阵为对角矩阵,若能,写出这样的基及相应的对角矩阵.14. 已知的线性变换求的一组基, 使在该基下的矩阵为对角矩阵.15. 已知的线性变换为问能否找到一组基,使得在这组基下的矩阵为对角矩阵,若能,写出这样的基及相应的对角矩阵.22. 设是一个欧氏空间,是的一组基.已知基 的度量矩阵为,求基的度量矩阵.23. 设是2维欧氏空间的一组基,已知该基的度量矩阵为,试求的一组标准正交基.34. 设是3维欧氏空间的一组基,已知这组基的度量矩阵为,求的一组标准正交基.25. 设是3维欧氏空间的一组基,已知这组基的度量矩阵为,求的一组标准正交基.26. 设是3维欧氏空间的一组标准正交基,证明: 也是一组标准正交基.160. 在中定义内积为，求的一组标准正交基（由基出发作正交化）。159设在标准欧几里得空间中有向量组， , ，求的维数与一个标准正交基。159.求下列齐次线性方程组的解空间（作为的子空间）的一组标准正交基。 三、证明题32. 证明：设是正定矩阵，证明也是正定的。33. 证明：正定对称矩阵的主对角线上的元素都是正的。34. 设是一个正交矩阵，证明：(1) 的行列式等于或；（2）的实特征根只能是或。35. 设是一个正交矩阵，证明：若，则有特征根等于.36. 设矩阵满足，为阶单位阵，证明是对称阵，且。51. 设是向量空间的两个子空间，那么它们的交也是的一个子空间。52. 设是向量空间的两个子空间，那么它们的交也是的一个子空间。56设是线性变换的两个不同特征值，x1，x2是分别属于的特征向量，都是非零常数，证明：向量不是的特征向量。57设的特征值为，如果可逆，证明：的特征值为。59. 令是数域上向量空间的一个线性变换，如果分别是的属于互不相同的特征值的特征向量，那么线性无关。21. 证明:设是线性变换的属于特征值的特征向量,是一组不全为零的数,则也是的属于特征值的特征向量.27. 设,证明:是的子空间. 31. 设与分别是齐次线性方程组与的解空间,证