华中师范大学数学专业导读简介.pdf

1 6 1 1 6 6 Q K e 6 c 9 O 0 negation 0 and 0 or XJ K0 implies 0 if and only if L P L L P L P L L duP L P P L L eL P P KL L G P G L G L d G P d 3 oK ok 1 0 m 0 2 1 0 1 0 X 1 2 32 1 2 32 1 2 32 1 2 32 3 6 0 gSU egS 1 X A B C D An A B C D A B C 28 9 2 An A B C A B C A B k X A B B A 7 A B A B n A B d A B 7 A B A B C A B B C L y 0 L 0X 3 14159 e A 6 X a A B A B b A B A B c A B B A d A B A B e A B A B 28 9 8 w N 0 0 8 0 eA 8 x A KP x A x uA x A KP x A x A x uA e A 8 f N Ng 1 2 3 8 28 9 3 Q Nkn 8 R1 N 8 8 A u x U Ox A Ox A x A 5 ATk k i1A B C X Y Z L 8 i 1a b c x y z L 8 L 8 k T8 k 5 X A 1 2 3 4 5 N 1 2 3 n k 5 NP X x x k5 P X B x x2 2 qeE k 8 KE x P x BL E k 5 P x x 8 X a f x E x f x a L E f x ua x 8 8 A B P A B S 8 X x x2 1 1 1 A B 8 XJ uA uB K A uB A B f8 P A B A uB B A P B A 8 8 P 8 f8 eX 8 P X 2X5L X Nf8 8 X 8 28 9 4 u 8 A A Ao A A f8 eB A B 6 A K B A f8 P B 1 2 1 3 ef X Y N x y X Y y f x x f x x X X Y X0 ex y y z K x y x x y x y f x z f x y z 0 Vg S N 0 e X d X x L x 3 da x y X y x w X x X x 6 X S RELATIONS AND ORDERINGS 23 e y e x y 6 K x y e x y 6 K z x y z x z y w x w x x z w z z y w y w y k x y n y x dd ke n6 5 e X d X KX L X da X ua b Z m Z a b a b mk k Z a b P a b modm X 0 1 m 1 6 6 M 8 X P M M Nf8 8 a b P M K en 7k 1 a b 2 b a 3 a b f8 b a f8 M f8 X5 X P M X aRb a b d X2 f8 R L R a b X2 a b Xw v en i aRa refl exivityg 5 ii aRb bRc aRc transitivityD45 iii aRb bRa a b antisymmetry 5 X XRe v n K X S 6 X S RELATIONS AND ORDERINGS 24 X Partial ordering d a b5L aRb X S8 5 X S8 U y a b X a 6 b b a X fP M e X S8 v a X b X a b b a K X S X S8 5S8 X 3 8R1 d 5 R1 S K R1 S 8 e X S8 x X X 4 4 ey X x y y x Kx y 5 S8 X 4 4 7 3 X R1 Q 4 4 4 3 X S8 5 X 4 0 k y X y x e X S8 E X x X E e e y E ky x x y E e 73E e X S8 E X K E S X E S8 E 4 7 E E S8 e E S8 x E 4 e y E y x K7kx y l x y x xo g d y E ky x x E e X S8 f8 k 4 K X S8 well ordering X S Xg 8N 1 2 U S8 6 X S RELATIONS AND ORDERINGS 25 e 8 d J n K6 7 Hausdorff 4 n z S8 k 4 Sf8 e 3 8 E X E S8 3F X F Sf8 E F d e K6 8 Zorn n eX S8 X z Sf8 k KXk 4 5y e K6 7 du K6 8 y 6 7 6 8 d K6 7 S8 X k 4 Sf8E d Ek x 5y x X 4 dux E y E y x ekz X x z x 6 z KE 4 5 E z Sf8 x E lx 6 z E z S8 w ez E Kz x z L x z S g uz 6 x x z l x X 4 6 8 6 7 X S8 M e e X Sf8 M X SR e1 e2 M e1Re2 X f8 e1 e2 PR M S8 5 y M vZorn n eN M Sf8 Ke0 e N e N d y i e0 M ii e N e e0 X f8 ye0 M Lye0 X Sf8 x1 x2 e0 3e1 N e2 N x1 e1 x2 e2 duN S 8 e1 e2 x1 x2 e2 e2 X Sf8 x16 x2 x26 x17 y e0 X Sf8 e0 M ii e Nw X f 8e e0 e0 N dZorn n M k 4 e d4 e M e M e e e K e e e X 4 Sf8 y K6 9 S K The well ordering Principle z 8 X 3 X S X X S8 6 X S RELATIONS AND ORDERINGS 26 y X f8 x x X o 3 x S a b x a 6 b a b K x S8 w x S8 S8 W X kf8 S N dc W 6 K e W e X X f8 X2 X X X W S8 e W yZorn n N W Sf8 X 6 8 6 7 y N k dZorn n Wk 4 R W F W eR F X2 X X f8 KR F e y R X S dW R W 3E X R E S E R S8 Iy E X y x0 X E K3 8 E x0 S X R S E S E x0 i x E 5 x0 Rx ii x y E 5 x Ry xRy w X2 8 R R x y E x y R xRy x Ry x y R 5 R E E X X R E x0 E x0 w R E x0 S R W R R E x0 R S8 F E x0 ex0 F KF E Fk4 ex0 F x0 4 dR 4 R R lx0 X E x E x0 x R E x0 E x0 lR E E x0 x R R R g d X E E X R X S y K6 10 J n e X A x 8 K 3 N f A A X z A f X y X A X d K6 9 3X S lX 6 z X k 4 P f f f N f A X K6 10 J 78 CARDINAL NUMBER 27 6 11 J n Q e X A x 8 K 3 8 Y A X Y dlz X T Y X 8 y d n6 10 3N f A X A X f X Y f A Kdu X A Y X f 8 y y J n Hausdorff 4 n o K d 78 Cardinal number X k 8 A B wA B A B A P A A B 31 1 A A B k 8 VgU A B 1 1 A A B 2 8 kXe 7 1 eA B 8 3 lA B 1 1 A N A B K A B k A B P A B A B cardA cardB cardA A A 5 8 g rN PA B cardA k 8 2 eN 1 2 3 E 2 4 6 K N E i 2i i 1 2 1 1 A cardN cardE E N 8 f8 A k 8 7 2 A B 8 eA B f8 A uB P A B cardA cardB B A 78 CARDINAL NUMBER 28 eA B A B K A uB P A B 5 8A 3 1 qdu x A0 ex D Kx 1 m ex D Kx Dc k 0 Ac k 3k0 x A c k0 x A0 Ak0 A0 A1 A1 A2 Ak0 1 Ak0 x 1 m 1 2 aq 78 CARDINAL NUMBER 31 d n7 6 Ak Ak 2 k 0 1 2 1 1N lAk 1 Ak k 0 1 2 Ak Ak 1 Ak 2 Ak 3 k 0 1 2 1 1 A N eP A D A0 A1 k 0 A2k 1 A2k 2 k 1 A2k A2k 1 A1 D A2 A3 k 0 A2k 1 A2k 2 k 2 A2k A2k 1 p D id D A2k 1 A2k 2 id A 2k 1 A2k 2 k 0 1 A2k A2k 1 A 2k 2 A2k 3 k 0 1 d n7 7 A B y 5 1 2 o kD k 0 Ak UkD 6 XAn 1 2 1 n 1 D n 1 An 1 2 1 6 n7 8 n 8 X X P X X 2X y yX P X f8 X P X X x x X KX P X N X X x X x x 1 1N y X P X 3X P X 1 1N f X P X PB x X x f x B k U 8 KB P X u 3xB X f xB B exB B KdB xB f xB B g exB B KxB f xB B g X g dX P X l X P X 78 CARDINAL NUMBER 32 7 9 8 e 8 X g 8N K X 8 eX 6 NK X 8 n7 10 8 M f8 y lM e1 dM 8 e2 M e1 e26 e1 5 lM n p e1 e2 en KdM 8 en 1 M e1 e2 en en 1 ei i 1 2 n GM e1 e2 en M e1 e2 en KM M i ei i N M N 1 1 A M N M 8 d n7 10 8 8 8 o k 8 o 8 n7 11 1 X Y 8 KX Y 8 2 eXn n 1 2 m 8 K m n 1 Xn 8 3 eXn n 1 2 8 K n 1 Xn 8 y 1 X 6 N Y 6 N X X N Y Y N 1 1N Kw X Y N N x y x y 1 1N yN2 N n 2 3 N2 k j k Uj k n 1 1 2 1 1 2 3 1 2 2 1 3 4 1 3 2 2 3 1 4 8N 1 n8 33 N2 e1 e2 en N2 N 2 n 3 fn N Xn f N 1 2 m m n 1 Xn n f n f n x m n 1 Xn i x Xi lfi N Xi n N s t fi n x f l m n 1 Xn6 N 1 2 m 6 N N N m n 1 Xn 3 i 3 fi N Xi f N N i 1 Xi n i f n i fi n Xi x i 1 Xi m N x Xi n N s t fi n x f n i x f i 1 Xi6 N N N i 1 Xi 5 Z 0 1 2 3 Q Nkn 8 8 Z 0 1 2 n 1 2 n du 0 1 2 n 1 2 n 8 Z 8 X 8 N 6 Z 6 N dBernstein n Z f Z2 Q m n Z n 6 0 f m n m n n 0 f m 0 0 f Q Q 8 Q 8N 1 n8 y 8 d I G Cantor 1845 1918 M 8N 1 n8 34 8 0 w N Cantor 8 8 0 the naive set theory n e n 1 8 d O 2 8 d 3 5 vT5 N 8 ex P 5 P x L x k5 P x 3 g x P x 8 3 8 ee 8 3 x M 8 fC j 1900c3ni m IS I Poincare 4 y3 0 31 c I B Russell 1872 1970 8 0 Paradox F u 1ng SNXe 8 B g 8 8 u 8 M P M L 5 M M KB M P M M M M kCantor n3 B 8 0 y3 B uB d u 8 B oP B oP B eB B KU P B B B g e B B KP B B B g 5 J nu nu K p gC f f oy3 K n u fATdX5 XJ gC f o pgC gC f K AT gC f XJ gC f o fp gC f K T gC 8N 1 n8 35 f nu gC f nu gC f y 3 3uCantor3J 8 8 0 Vgvk 7 u E 8 8N0 L 8 I r E Zemelo 1871 1953 nNX 8 Vg 1908c gJ 8 nX x 8 0 nz 6 A A Frankel Von Neumann 8 nNX nz 8 8 x 8 um I SN 3 Zemelo FrankelX y y g Q nX 7L N5 KZemelo FrankelX N5 y d Poincare H jk 5 SkvkH0 go 5 V 61 p 2002c e 0 Zemelo Frankel nNX n1 n Axiom of extensionality k8 A B A B A Bk x A x B n2 f8 n Axiom schema of subsets u 8 A 5 P 3 8 B dA k v5 P eA 8 P uA 5 KB x A P x 8 dd 80 3 eX 8 X x X x 6 x 8 d n1 8 X Y X Y 8 P 8 f8 8N 1 n8 36 d n2 8 A B 80A B x A x B 8 AO eX 8 A X KAc X A 8 n3 n Union axiom u x8 M 8 3 8 M 8 M d N 3M M x X M x X e A x8 K A 8 A x x A dd 0 M x M X X M x X A x x A n4 S n Pairing axiom u 8 X Y 3 8 Z Z kX Y ZP Z X Y X Y S Z X Y 5 X Y kS X Y X X X Y n5 8 n Power set axiom 8 X 3 8 X Nf8 P X A A X f8 u8 X Y d 8 n n P P X P Y 8 df8 n X Y p P X P Y p x y x X y Y 8N 1 n8 37 8 X Y k Cartesian product R Descartes 1596 1650 I n A C 5 p x y x X y Y ATn c kS x y w 8 x y x y x x x y p x y 8 e1 x x x e2 x y e1 P X f8 e1 x P X P X P Y f8 e2 x y P X P Y e2 P X P Y f8 p x y P X P Y f8 l p x y P P X P Y n1 5 8 dc y Cantor n 8 X cardX cardX cardP X g u 8 k N8 8 0 8 Q e n k u 8 X PX X X X U Successor p X w 8 8 8B8 inductive e 8 U0 n6 n Axiom of infi nity 38B8 1 4 6 Eg 8N IO N0 8B 8 N8B8 N 9N 2 d J ny HAUSDORFF4 n38 A0 1 2 n7 J n Axiom of choice Zermlo n x 8 3 8 C Tx 8 X X CTd x8 F X 3N f F X X F 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