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第二章微波传输线 引言1 定义 广义的讲 传输线 双导线 同轴线 空心的金属波导 以及带状线 微带线和介质波导等统称微波传输线 或称波导 由于它们的作用都是导引电磁波沿着一定的方向传播 被导引的电磁波称为导行波 而把这些传输线称为波导系统 简称波导 波导系统和传输线从广义角度讲 两者含义一样 为了解决平行双导线辐射损耗大问题 可将平行双导线制成封闭形式 即象同轴线那样 微波能量就被限制在内外导体之间而消除了辐射损耗 同轴线是目前常用的微波传输线 传输频率较高 但是 随着频率进一步提高 同轴线的横截面几何尺寸必须相应减小 才能保证传输TEM波 这样会导致同轴线导体损耗增加 尤其内导体引起的损耗很大 传输功率容量降低 所以 同轴线一般适宜传厘米波及以下的微波频段 为了减小同轴线损耗 可去掉内导体而变成空心的金属管 空心金属管不仅可有效降低导体损耗 而且可提高功率容量 理论和实践证明 只要金属管的横截面几何尺寸与波长满足一定的关系 它就可传输电磁波 此时能量以空心管内电磁波的形式沿金属管壁向负载端传输 导体损耗减小 功率容量提高 根据空心金属管的横截面形状可分为矩形波导 圆形波导 椭圆波导和脊波导 这些波导传输线可传输频率较高的微波 例如厘米波和毫米波 而且功率容量比较大 因此 波导是微波频段的主要传输线 但是 由于波导横截面几何尺寸和其工作波长有关 所以在微波低频率端不宜采用波导来传输 否则波导几何尺寸就必须做得很大 而使其重量更重 空心金属管传输频带比较窄 为了扩展频带可采用脊波导 为了克服体积大 重量重等问题 微带传输线是近近几十年发展起来的一种微波传输线 它具有体积小 重量轻 频带宽且易于与微波集成电路相连接等优点 其缺点是损耗大 功率容量小 因此微带传输线主要用在小功率微波系统中 随着微波技术向毫米波 亚毫米波波段发展 普通的金属波导和微带线的几何尺寸已经缩得太小 加工困难 且损耗太大而难达到使用的程度 因此 在毫米波波段常采用悬置微带线 鳍线 共面波导 准光波导 介质波导等 在亚毫米波波段 主要采用H波导 过模波导和介质波导等 总的说来 在毫米波和亚毫米波波段 常把采用介质波导作为主要传输线 本章主要讨论的微波传输线是矩形金属波导管 简称矩形波导 圆形金属波导管和同轴线 分析方法为电磁场理论分析方法 主要利用电磁场理论和边界条件来求解矩形波导 圆形波导内电磁波传播时电磁场场量表达式 然后根据场量来分析其分布规律和波的传输特性 这些波导又称规则波导 所谓规则波导 就是指沿波导轴线方向或波的传播方向 横截面的形状 尺寸 以及填充介质分布状态和电参数均不变化的 无限长 的直波导 所谓规则波导 是指沿其轴线方向 横截面的形状 大小尺寸 以及填充介质的分布状态和电参数均部变化的无限长的直波导 2 本章内容和方法研究内容 波导工作于行波状态 无反射状态 时 电磁波沿规则波导轴向的传播规律 以及电磁场在波导横截面上的分布规律 场分布或场结构 模式 模 研究方法 空心波导 其传输的电磁波是TE或TM模 不可能是TEM模 因此也不可能由确切的和严格的电压 电流定义 即 路 的分析方法 采用 场 的分析方法 为了获得电磁波的场在导波系统横截面上的分布规律 场结构 以及电磁波沿传播方向的传播特性 就须在一定的边界条件和初始条件下 对电磁场的波动方程求解 2 2金属波导的一般传输理论2 2 1波动方程及其解麦克斯韦方程 一般情况下 交变电磁场中的电场 是由电荷所激发的电场与由随时间变化的磁场所激发的电场的矢量的和 磁场是由传到电流所激发的磁场与由位移电流所激发的矢量和 麦氏方程对静态场也是适用的 微分形式的麦氏方程氏场量为时空连续函数条件下得出的 对于在不同媒质交界面上 应为媒质的参数 发生突变 并引起场量突变 所以不再适用 运用积分形式推导出不同媒质分界面上场量的边界条件 2 波动方程 而 又 同理 3 讨论 对于交变电磁场 各场量都是空间 时间函数 复矢量来表示 或对于初相不同 复矢量 以后省略 于是波动方程可为 或 其中k2 2 对于有源区域内简谐场为 左边 同理左边 2 波动方程的解 1 条件和波导场特征 不妨假定电磁波沿波导的纵向传播方向为z轴方向 与z轴相垂直的横截面用字母t表示 横截面内的坐标变量为 u1 u2 由于我们讨论的金属波导为沿传播方向上均匀无限长直波导 填充介质为简单媒质 所以金属波导内传输的电磁场的场量在横截面上分布规律不随坐标z变化 场量沿z轴的变化规律与横向坐标 u1 u2 无关 这样 就可以用分离变量法来求解波动方程 仅是横坐标函数 表示电场在波导横截面内的分布状态 称为分布函数 Z z 仅是纵坐标函数 它表示电场沿Z轴传播规律 称传播因子 2 传输方程 由某一常数 2 让 Z z A e z A e z 正Z方向负Z方向传播 j 传播参数 积分常数 边界条件决定 KC称截止波数 它是与波导横截面的形状 尺寸以及所传输的电磁波的波型 模 有关的一个参数 对于无耗波导 j 则 当 0时 波不在沿Z轴传播 呈截止状态 K KC此时称截止波数 C为截止波长 称截止频率 对于无耗波 Z z A e j z A ej z两波除方向不同外 并无本质区别 只需考虑一个方向即可 Z z A e j z对于磁场同样有 横截面形状 尺寸 边界条件 和所传输模式后才能得到解 2 2 2金属规则波导中的导行波讨论 波导存在波型 模式 模 和及其传输特性波型 某种能单独地在金属规则波导中存在的电磁场的一种分布状态 场结构 金属波导中的导行波按是否存在场量纵向分量可分成三类波型 1 横磁波或电波 TM波或E波 纵向磁场分量Hz 0 2 横电波或磁波 TE波或H波 纵向电场分量Ez 0 3 横电磁波 TEM波 纵向电场分量及纵向磁场分量同时为零 即Ez 0和Hz 0 1 电磁场量的关系 简谐场电磁场共有6个场分量 它们通过麦克斯韦方程组联系在一起 实际上只有两个场分量相互独立 例如 当给定电磁场的纵向分量时 根据麦克斯韦方程组可导出其他四个横向场分量 根据上述理论 将电场 磁场写成横向场分量和纵向场分量叠加形式 写成横向算子与纵向算子之和的形式 根据麦克斯韦方程组两个旋度公式 可得横向场量关系为 对两式分别用 z再一次叉乘运算 并考虑矢量恒等式 z 于是 对于电场有 于是 其中 若波导无耗的 j 可见 纵向场分量可通过它们满足标量形式的齐次亥姆霍兹方程求解 这种方程的求解是比较容易的 纵向场分量求得后可代入横纵关系式的横向场分量 而在前面经过推理分析 矢量的分量也满足该方程 即 显然 KC不等于0时 EZ HZ不能同时为零 否则为零 但可以一个为零 另一个不为零 KC 0时 则EZ HZ同时为零 此时存在 2 波型 下面就方程讨论解的情况 对于无耗规则导波 1 TEM波 EZ HZ 0 此时KC 0 才可存在 该方程与二维矢量形式的拉普拉斯方程 静态场方程一致 在同样边界条件下 与静态场横向分布规律一样 则求 静态场由电荷或恒定电流产生 则能传TEM波的系统中必存在静态电荷或恒定电流 对于中空单导体不可能存在静态电荷或恒定电流 TEM不存在 从另一角度 磁力线是围绕传导电流或位移电流而闭合 对于TEM波 它磁力场分量只有横向分量 如该磁场存在 则按安培环路定律则存在纵向传导电流或位移电流 对于单导体空心金属波导不存在纵向传导电流或位移电流 对于TEM波本身也不存在纵向传导电流或位移电流 电场纵向不存在 磁场横向不存在 交互感应 电场横向不存在 对于TEM波KC 0 则 得 c 则f 0 频率无下限 上限取到功率损耗程度 2 TE波型 Ez 0 Hz 0 其中KC2 K2 2 Et Ht互相正交与单位矢量构成右手定则关系 3 TM波型 Ez 0 Hz 0 和是相互正交 单位矢量构成右手螺旋关系 4 HE波型 混合模 Ez 0 Hz 02 2 3金属波导传输特性传播条件和截止波数 传播常数 相速与波长 阻抗 传输功率 损耗等 1 传播常数 j 衰减常数相位常数 是相移常数 它表示导行波在波导内传播方向上传输每单位长度时 波的相位的变化量 为衰减常数 它表示导行波在波导内传输每单位长度上波的幅值的衰减量 它的大小与波导内传输波型 所传输电磁波频率 波导横截面的形状 尺寸 波导内填充的介质以及波导管壁内表面的材料等因素有关 若波导是无耗的 则衰减常数 等于零 此时 对于给定波导 则KC给定 K取决频率高低k2 2 于是 取决于K Kc 1 当K Kc 为正和负实数 此时f fc c 波导传输状态 工作波长与和介质无界时一致 2 截止波数和传输条件 2 当K c f fc该波衰减并不伴随电磁波能量的损耗 而是不满足传播条件而引起的所谓电抗性衰减 波导截止衰减器 某一些微波元件 3 K Kc时 临界状态 0时 截止频率是临界频率总之 对于给定波导 波能传输 波长 应小于截止波长 c 频率高于频止频率 即 这类波导具有高通滤波器特性 3 波速和波长波速 相速指等相位面沿波导轴向 z 传播的速度VP 2 f f v 1 TEM波无色散波型 2 TE和TM波 相速 在TE TM中 光速v VP指单一频率电磁波相位的变化速度 波某一相位状态 波峰 谷 向前传播速度 不是能量传播速度 其VP随 频率 变化而变化 这种特性的波型称为色散波型 这种色散不是介质 线性媒质 造成的 而是波导本身特性 边界条件 所造成的 波导波长相邻的两个同相位点之间的距离 用 g 此时 g 相移常数TE TM波在传输状态下 g 且随频率而变化 而TEM波 c为无穷大 则 g 即 g与工作波长相等 色散特性 群速a 概念 是由多频率成分构成的 波群 的速度 称为群速 Vg 它是指一群具有非常相近的角频率 和非常相近的相移常数 构成的波 在传播过程中表现除的 共同 速度 代表能量的传播速度 Vg 光速v b 计算问题 载波 E 0 t E0cos 0t调制信号 E 0 t E cos t 0 则E 0 t E0 E cos t cos 0t E0 1 E E0 cos t cos 0tE 0 t E0 1 Mcos t cos 0t E0cos 0t ME0cos 0 t ME0cos 0 t 2三个频率 0 0 0 对应相移常数 0 E z t E0cos 0t 0z ME0cos 0 t z 2 ME0cos 0 t z 2 调幅波 而 2 K2 KC2 2 KC2在介质 给定后 是 函数由于 0 所以取前二项当 0 时 当 0 时 振幅值等相位面的传播速度就是群速 对t求导 而 对于TE TM C时 Vg V 且VgVP V2TEM时 c Vp V Vg 4 波型阻抗在行波状态下 电场的横向分量和横向分量不仅构成沿波导轴向传播的波 而且对于同一波型与比值在横截面处相等 与Z轴坐标无关 且具有阻抗量纲 在行波状态下 C 波阻抗为实数 对于TEM 在截止状态下 C 波阻抗为纯电抗性 波型阻抗是一个负的或正的纯虚数 如让 j 则波型阻抗分别为 式中 这说明波导已不能传输能量 而变为一个储能元件 为感抗 表明TE波型的消失波储存净磁能 为容抗 表明TM波型的消失波储存净电能 4 波型阻抗 小结 和构成沿波导Z传播的波 5 传输功率 衰减 损耗 1 传输功率坡印廷矢量 面功率密度矢量 方向 各点能量传播方向 单位时间内通过与能量传播方向相垂直的单位面积的能量 不同时刻是不同的 对时间求平均 同一时刻 各点是不同的 对面求积分 对于纵向 对于横向 波导金属管壁作用而形成纯驻波 平均值为零 而 TM波 2 损耗和衰减对于无耗波导 当 C 波导不能传输能量 也不消耗能量 只能储存能量 称截止 电抗性 衰减 对于实际应用波导 并非无耗导体 高频电流在其上流过时产生热损耗 介质并非理想介质 也会产生热损耗 j c d对于 C 设在某一截面功率P0 与它相距单位距离截面功率P1 c d 则单位长度上损耗PL即 而dl横向面周界而n H JS 即他们的模值相等 单位长度上 对于 d介质并非理想介质 即 1 存在传导电流引起损耗 介质中带电粒子具有质量惯性 很难随电磁波同步振荡 在时间上表现为滞后现象 相位滞后 是一复数 介电特性滞后效应或谐振吸收效应于是 同相位 热耗 于是等效复介电常数 介电特性 介质总的损耗特性 包含有限电导率 在传播常数中表现为实部 此时 如不考虑介质滞后或谐振效应 则同样可求 d 中 0 即 2 3矩形波导 矩形波导是横截面为矩形的空心金属管 如图2 3 1所示 通常用a和b分别表示矩形波导的宽壁和窄壁尺寸 常用铝或铝合金制成 也有由铜或铜合金制成 有时为了提高导电性能 或者为了抗环境因素的腐蚀 常在金属管壁的内表面上镀一层很薄的银或金 或两者均有 矩形波导管是目前应用较广泛的用来传输微波能量的波导管之一 矩形波导不仅具有结构简单 机械强度大 而且由于它是封闭结构 可以避免外界干扰和辐射损耗 波导内又无内导体 因此矩形波导具有损耗小 功率传输容量大等优点 是目前大中功率的微波设备常采用的微波元件 本节将具体地分析矩形波导中的传输模式及其场分布 然后分析矩形波导中电磁波的传输特性 着重讨论主模TE10模的传输特性 场结构以及管壁电流等 2 3矩形波导 2 3 1波动方程在矩形波导中的解波动方程 直角坐标系里 令Ez x y X x Y y 2 3 2矩形波导中的传输模式及场分布1 TM模 或H波 HZ 0 表达式 方程的解 则 边界求常数 而 Hz 0 而于是 m n可取任一的自然数 每一对m n值对应一种波型 TMmn Emn 无穷多个解 一定边界条件下的解 这些波型的线性组合同样是解 TMon TMmo和TMoo波型不存在 最低次模TMll 场沿Z轴为行波 沿x和y轴为纯驻波分布 是正弦 余弦分布规律要根据边界条件来确定 m沿x轴出现的半周期的数目 n表示场量沿y轴出现半周期的数目 j表示相位关系 如差一个j 则时间上1 4周期 相位 2 空间1 4波长 方程的解 无穷多个解 Hz 0 2 3 26e 2 3 26f 2 3 26d 2 3 26c 2 3 26b 2 3 26a Ex和Hy都有j 同相 构成沿Z轴正方向传输行波 Ey和Hx都有j 同相 构成沿Z轴正方向传输行波 而Ez和 Hy之间相差一个j Ez和Hx之间相差一个j 它们构成的坡印廷矢量在x y方向无能量传输 场结构图电力线 从正电荷出发止于负电荷 围绕交变磁场 垂直于波导壁 不能正交 磁力线 围绕交变电场而闭合 平行于波导壁 电力线和磁力线正交 磁力线为横截面上闭合曲线 电力线呈空间立体分布状态 Hx对两侧壁是法向分量 随x变化 正弦Hx对上下壁是切向分量 随y变化 余弦在靠近上下壁 Hx最强 在靠近两侧壁和轴线处为零 Hy相反 侧壁是切向分量 随x变化 余弦上下壁是法向分量 随y变化 正弦侧壁强 上下壁轴线为零Ez对四个壁都是切向 随x y变化 正弦 在轴线最强 Ez与横向磁场差 2 当横向场取得最大时 Ez 0 从空间上 Ez最大横截面与磁场取得最大值横截面相距 g 4 TM11模式分布 1 磁场分量Hx对于上下管壁是平行分量 在管壁存在且达到最大 沿y轴呈余弦规律分布 对于两侧壁是垂直分量 在管壁为零 沿x轴呈正弦规律分布 即 2 磁场分量Hy对于上下管壁是法向分量 在管壁不存在 即为零 沿y轴呈正弦规律分布 对于两侧壁是平行分量 在管壁存在而且达到最大 沿x轴呈余弦规律分布 即 3 电场分量Ex对于上下管壁是平行分量 在管壁为零 即不存在 沿y轴呈正弦规律分布 对于两侧壁是法向分量 在管壁存在而达到最大 沿x轴呈余弦规律分布 即 4 电场分量Ey对于上下管壁是法向分量 在管壁存在且达到最大 沿y轴呈余弦规律分布 对于两侧壁是平行分量 在管壁为零而不存在 沿x轴呈正弦规律分布 即 5 电场Ez对于四周管壁都属平行分量 在管壁不存在而为零 沿x y轴呈正弦规律分布 即 的场空间分布结构如图2 3 5所示 图2 3 5所示 2 3 2矩形波导中的传输模式及场分布 2 TE波型表达式 Ez 0 Hz 0 于是 当 于是 m n为整数 无穷多个波型 它们都是在一定边界条件波动方程的解 这些波型线性组合同样是解 在m n中 不能同时为零 但可一个取零 最低次波TElo a b 或TEol a b 场结构 Ez 0 电场在横截面 磁场呈空间分布闭合曲线 一般a b TElo截止波长 c 2a 不仅是TE波型中最长的 而且远大于TM的截止波长 TElo波型 各场量沿x有一个 半驻波 的分布 而与y无关 3 矩形波导管中电磁波传输特性 一 截止波长 频率TEmm和TMmm表示式相同 KC C是波导复习 边界条件 对于理想导体与介质 理想导体内部场强为零 介质1 即 E2 E1 0由于有电荷 B2n B1n 0由于有电流 电场垂直导体表面 磁场平行于导体表面 TM波 边界条件 金属壁上 0 由横纵分量关系式P64 65 TM0n TMm0 TM00 主模TM11 KC最小 沿x y轴驻波分布 正 余弦 沿Z行波传输 j表相位 相差j 相位差 2 1 4周期 g 4等 x y轴向上储存能量 Z传输能量 场结构 磁场 横截面上 电场 空间立体分布 TM11 二 TE波型 EZ 0 HZ 0 电场 磁场横向分量 HZ在四壁不为零 横纵坐标分量关系 TE00不存在 但TE0n TEm0存在 主模 a b TE10 谁最小 TE10模场结构 3 传输特性 二 单模传输K KC 1 不同波型 m n 截止波长 波数 不同 2 最低次波型称主波型 主模 其它 m n较大的 波型称高次波型 高次模 截止频率较高 截止波长较短 3 当给定波导 a b TE10TM11主模为TE10 4 当有波K位于此时该波的工作模式有TE10 TM11模截止 三 g VP Vg 四 波型阻抗 五 传输功率 传输功率 最大功率传输 极限功率 功率容量 击穿场强度TE10 在X a 2时 可令 如 尺寸愈大 频率愈高 极限功率也愈大 0 5 0 9 f fC时 2a 1 P 0如行驻波 驻波比S 则P下限Pbr Pbr S 六 损耗和衰减 1 c计算而TE10 对于 2 k2 kc2 如时 可求 c最小时的 对于 六 矩形波导管管壁电流 1 产生 波传播时 会产生 感应 出高频电流inthewall 称管壁电流 2 良导体 深入深度小 近似表面分布 表面电流 与位移电流一起 保证了电流连续性 TE10 表面电流 边界条件 和的方向电流同相 它们与轴相差 2 TE10等效阻抗 只与宽壁a有关 b不同不会引起反射波 等效阻抗 与TEM不同 管壁之间无确切电压而言管壁内表面电流分布不均匀 无确切电流而言 TE10 等效电压 两宽壁内表面中心线之间电场强度线积分 等效电流 两宽壁内表面总纵向电流 等效阻抗定义 匹配与否取决与等效 匹配 阻抗之间比值 并非绝对值 作业 画TE11 TE01壁电流 2 4圆形波导 2 4 1方程及解 u1 u2改为圆柱坐标系 而 贝塞尔方程 R r A1Jm Kcr A2Nm Kcr Kcr 0时 Nm Kcr R r A1Jm Kcr 而 1 2为起始角 由于圆波导具有轴对称性 1 2不固定两种波型 相同截止波长和传输特性 只是极化方向不同 称波型极化简并 叠加也是波动方程的解 沿r 贝塞尔函数变化 三角函数变化当空间位置变化 时 场量m 当 360o一周时 场量应回到原数值 m 0 正整数 2 4 2波型及场结构1 TM波型Ez 0 Hz 0 纵横场量关系式边界条件r a时 Ez 0 E 0得 1 每一对m n值 记TMmm 2 TMmo波型不存在 n 0时 Vmo 0 Kc 0 不存在TEM波 主模TM01 3 场量沿圆周和半径方向呈纯驻波分布状态 三角 贝塞尔函数 m表示Bessel函数阶数 沿圆周整驻波个数 n表示Bessel函数倒数根序号 表示沿半径半个驻波的个数 或场出现最大值个数 4 cosm 还是sinm 取决于外部激励源和起始角位置 TM01模 1 m 0 电磁场量沿圆周 方向不变化 场分布具有圆对称性 或轴对称性 n 1 场量沿半径方向只出现一次最大值 一个半驻波 2 在圆心 r 0 处有最大值 在r a处为零 电场相对集中在中心线附近 磁场相对集中在波导壁附近 在圆心处为零 在r 0 766a处有最大值 3 磁场线在波导横截面内为闭合曲线 电力线有横向和纵向分量 呈空间分布状态 4 磁场只有横向分量 因而管壁电流只有Jz分量 由于TM01模具有上述特点 而且易与矩形波导中的TE10波型的场发生耦合 因此 特别适用于作天线扫描装置的旋转铰链的工作模式 如图2 4 6所示 另外 因为TM01模式具有较强的电场纵向分量Ez 所以在电子直线加速器所使用的波导管中也常用这种模式来加速电子束 图2 4 7是TM01和TM11波型的场截面结构图 和 2 TE波型场分量表示式及场结构 由边界条件r a时 E 0有 设 为m阶贝塞尔函数导函数的第n个根值 则有 TEmo不存在 TEon波型存在 TE11模最低次 TE01 TE11是圆波导中得主波型 主模 c最长比TM01长 矩形波导模式传输 截止波数 波长 当 c时 1 当m或n 其中之一 为零时 直线方程 2 当m n时 圆的方程 m n时 椭圆方程 3 a b 为坐标画曲线 对于落在曲线上的点而言 它对应的波长 就是波导对应某种波型的截止波长 c 如使波传输 则 其他波型 c 4 当12时是TE10单模传输区 12时是TE01单模传输区 当 a 2 且 b 2时为各类波型截止区 各主要波型截止波长 波型TE10TE20TE01TE11 TM11 c2aa2bTE30的 c 2a 3 如果a 2 286cm b 1 016cmTE10模容易实现单模传输 当频率一定时传输TE10模 TE10截止波长2a 与b无关 在给定频率范围内 可使波导横截面尺寸最小 或者说 在给 定尺寸时 有较宽的工作频率范围 常用的波型时TE10 损耗小 较大功率容量 横截面尺寸及工作波长选择 等效阻抗 对于TE10模 1 波型阻抗与b无关 只与a有关 2 若a相同两波导 则TE10波型阻抗相同 3 但把波型阻抗相同两波导管连接在一起 会产生反射波 3 引入等效阻抗等效电压 两壁中心线之间电场积分等效电流 宽壁内表面上总纵向电流为等效电流I 功率 在连接不同尺寸波导 之间 利用等效阻抗比利用波型阻抗能较好地解决一些问题 但能得到满足一定要求的近似结果 只要存在着结构上的不连续 就会产生反射波 TM10波 m 沿 方向 圆周 整个驻波数 贝塞尔函数阶数 n 贝塞尔函数根的序号 沿半径分布的半个驻波个数 二 TE波EZ 0 HZ 0 则 m 0 1 2 3 n 0 1 2 3 1 TEmm无穷多个波型 线性组合同样是解 2 TEmo波不存在 TEon存在 最低次TE11 3 沿圆周和半径方