参数的点估计与区间估计PPT课件.ppt

第七章 参数估计 进行统计推断的一般步骤为 总体 样本 统计量 作出推断 统计推断的基本问题 参数估计问题 假设检验问题 参数的点估计 参数的区间估计 参数假设检验 非参数假设检验 参数估计问题 就是要利用样本 对总体分布中包含的未知参数或未知参数的某些函数作出估计 如 估计产品的废品率 估计湖中鱼的数量 估计降雨量等等 参数估计又分点估计与区间估计 设总体X的分布中含未知参数 1参数的点估计 X1 X2 Xn 是一样本 要构造一统计量 作为 的估计 叫做的点估计量 对应样本值 x1 x2 xn 叫做的点估计值 可作为 的估计值 构造点估计的常用方法 矩估计法 momentmethodofestimation 极大似然估计法 methodofmaximumlikelihood 矩估计法的基本思想是用样本矩估计总体矩 一 矩估计法 理论依据是大数定律 矩估计法 用样本的l阶原点矩 作为总体的l阶原点矩 的估计 若未知参数有k个 则一般取l 1 k 由矩估计法求得的估计量叫矩估计量 相应的估计值叫矩估计值 去求出未知参数的估计量 解 解得 总体矩用相应的样本矩代替 得矩估计量 解 解得 总体矩用相应的样本矩代替 得a与b的矩估计量 解 解得 总体矩用相应的样本矩代替 得矩估计量 其基本思想是概率最大的事件最可能发生 是在总体类型已知的条件下使用的一种参数估计方法 二 极大似然估计法 例如 某位同学与一位猎人一起外出打猎 一只野兔从前方窜过 只听一声枪响 野兔应声倒下 是谁打中的呢 你很自然地想到 只发一枪便打中 猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率 这一枪应该是猎人射中的 极大似然估计原理 设总体X为连续型 其概率密度为 是待估参数 X1 X2 Xn 为一样本 相应的样本值为 x1 x2 xn 则Xi落在 xi xi dxi 中的概率约为 X1 X2 Xn 落在 x1 x2 xn 旁边的概率近似为 其取值随 而变 既然在一次抽样中就得到了样本值 x1 x2 xn 因而我们有理由认为 样本 X1 X2 Xn 在 x1 x2 xn 旁边取值的概率比较大 根据 概率最大的事件最可能发生 我们可取使 概率 达到最大的参数 作为 的估计 即求使 记 叫做样本的似然函数 则求使 如此求出的 作为 的估计 叫的极大似然估计 求时 通常对求导 令其为0 来获取结果 若总体X为离散型 则 中的 以代 若总体X为连续型 概率密度为 设 X1 X2 Xn 为总体X的一样本 x1 x2 xn 为样本值 引入似然函数 求使最大 综述之 的极大似然估计的求法如下 解 X的概率密度 似然函数 两边取对数得 续解 分别对 求导并令其为0得 例 设总体X P 求 的极大似然估计 解 X的分布律为 设 X1 X2 Xn 为一样本 样本值为 x1 x2 xn 似然函数 两边取对数得 续解 有时用求导方法无法最终确定未知参数的极大似然估计 此时用极大似然原则来求 解 X的概率密度 似然函数 利用求导方法无法确定未知参数的极大似然估计 由L a b 的表达式知 若b a取最小 则L a b 达到最大 故得 问题讨论 如何估计湖中的鱼数 第二次捕出的有记号的鱼数X是随机变量 X的分布为 为估计湖中的鱼数N 第一次捕上r条鱼 做上记号后放回 隔一段时间后 再捕出S条鱼 结果发现这S条鱼中有k条标有记号 根据这个信息 如何估计湖中的鱼数呢 我们可用极大似然法估计湖中的鱼数 把上式右端看作N的函数 记作L N k 应取使L N k 达到最大的N 作为N的极大似然估计 但用对N求导的方法相当困难 我们考虑比值 经过简单的计算知 这个比值大于或小于1 这就是说 当N增大时 序列L N k 先是上升而后下降 当N为小于的最大整数时 达到最大值 故N的极大似然估计为 请看演示 捕鱼问题 求估计量的方法很多 用不同的方法求出的估计量会不一样 我们希望用较好的估计量去估计未知参数 因而有必要讨论 如何评价一个估计量的好坏 3估计量的评选标准 常用的几条标准是 无偏性 有效性 一致性 估计量是随机变量 其取值随样本值的不同而不同 我们希望估计量的取值在被估参数附近摆动 即它的期望值等于被估参数 由此引入了无偏性这个标准 同样是无偏估计量 有的取值较集中 有的取值较分散 自然是 取值越集中的越好 由此引入了有效性这个标准 估计量与样本容量有关 我们希望 随着样本容量的无限增大 估计量与被估计量任意接近的可能性越来越大 由此引入了一致性这个标准 无偏性 若 则称 有效性 若及都是的无偏估计 且 则称 较有效 一致性 设总体X的均值为 因 方差为 X1 X2 Xn 是它的一个样本 表明 样本均值是总体均值的无偏估计 样本方差是总体方差的无偏估计 它们也是一致估计 注 不是的无偏估计 解 X1 X2 X3独立与X同分布 故 同理得 所以d1 d2都是 的无偏估计 续解 同理得 所以d1比d2有效 d1更好 参数点估计是用一个确定的值去估计未知参数 得到的是未知参数的近似值 但在很多实际问题中 我们不但需要求出未知参数的近似值 还需知道近似值的精确程度 数学上的处理方法是 确定一个范围 区间 使我们能以比较高的可靠程度相信它包含参数真值 这就是参数的区间估计 4 5参数的区间估计 一 置信区间 设总体X的分布中含未知参数 若有统计量 使对给定的 有 则称 是 的置信度 置信水平 置信概率 为 的双侧置信区间 注 对连续型总体X 一般按 求置信区间 而对离散型总体X 应求 使 至少为 且尽可能地接近 由于我们主要讨论正态总体 属连续型 故取等号处理 二 置信区间的求法 解 求一区间 使 由于样本均值是的无偏估计 而 根据U的分布 我们可确定一个区间 即上面的 使得U在该区间取值的概率为 从图中可看出 这样的区间 不是唯一的 常以双侧等概率方式处理 即对 查表得 使 解出式 中的不等式 得 的置信度为 的双侧等概率置信区间为 简记为 设总体 三 单正态总体均值与方差的置信区间 X1 X2 Xn 为一样本 已知时 均值的置信度为的置信区间 此时取 对给定的 查表得 使 的置信度为 的置信区间是 例 测两点间距离5次 测得距离值 单位 米 为108 5 109 0 110 0 110 5 112 0 若测量值服从方差为2 5的正态分布 求距离真值的置信度为0 95的置信区间 解 设距离测量值为X 已知 需求 的置信度为0 95的置信区间 而此时 的置信度为 的置信区间是 由样本值算得 对 查表得 求得 故距离真值的置信度为0 95的置信区间是 108 61 111 39 未知时 均值的置信度为的置信区间 设总体 X1 X2 Xn 为一样本 此时取 对给定的 查表得 使 的置信度为 的置信区间是 及自由度n 1 解 设轴承直径为X 未知 需求 的置信度为0 95的置信区间 而此时 的置信度为 的置信区间是 由样本值算得 对 n 1 6查表得 求得 故轴承直径的置信度为0 95的置信区间是 111 75 113 85 例 在一批由某车床加工的轴承中随抽几只 测得直径 mm 为112 0 113 4 111 2 114 5 112 0 112 9 113 6 若直径服从正态分布 求该批轴承直径均值的置信区间 设总体 X1 X2 Xn 为一样本 2 方差的置信度为的置信区间 未知 此时取 对给定的 及自由度n 1 查表得 及 使 的置信度为 的置信区间是 标准差 的置信区间是 解 设轴承直径为X 未知 需求 的置信度为0 95的置信区间 由样本值算得 对 n 1 6查表得 例 在一批由某车床加工的轴承中随抽几只 测得直径 mm 为112 0 113 4 111 2 114 5 112 0 112 9 113 6 若直径服从正态分布 求该批轴承直径方差的置信区间 求得 故轴承方差的置信度为0 95的置信区间是 0 535 6 257 小结如下 对正态总体 1 已知时 均值的置信度为的置信区间 是 2 未知时 均值的置信度为的置信区间 是 3 未知时 方差的置信度为的置信区间 是 前面提到过 对给定样本 给定的置信度 置信区间不是唯一的 对同一个参数 我们可以构造出许多置信区间 我们总是希望置信区间尽可能短 在概率密度为单峰且对称的情形 以双侧等概率方法求得的置信区间的长度为最短 即使在概率密度不对称的情形 习惯上仍以双侧等概率方法来计算未知参数的置信区间 我们可以得到未知参数的的任何置信度小于1的置信区间 并且置信度越高 相应的置信区间平均长度越长 也就是说 要想得到的区间估计可靠度高 区间长度就长 估计的精度就差 这是一对矛盾 实用中应在保证足够可靠的前提下 尽量使得区间的长度短一些 请看 置信区间的演示 四 单侧置信区间 上述置信区间中置信限都是双侧的 但对于有些实际问题 人们关心的只是参数在一个方向的界限 例如对于设备 元件的使用寿命来说 平均寿命过长没什么问题 过短就有问题了 这时 可将置信上限取为 而只着眼于置信下限 这样求得的置信区间叫单侧置信区间 而对化学药品等物品中的杂质含量