高中数学必修2知识点归纳.pdf

1 必修必修 2 知识点归纳知识点归纳 第一章第一章 空间几何体空间几何体 1 空间几何体的结构 空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体 常见的多面体有 棱柱 棱锥 棱台 常见的旋转体有 圆柱 圆锥 圆台 球 简单组合体的构成形式 一种是由简单几何体拼接而成 例如课本图 1 1 11 中 1 2 物体表示的 几何体 一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成 例如课本图 1 1 11 中 3 4 物体表示的几何体 棱柱 有两个面互相平行 其余各面都是四边形 并且每相邻两个四边形的公 共边都互相平行 由这些面所围成的多面体叫做棱柱 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥 底面与截面之间的部分 这样 的多面体叫做棱台 1 空间几何体的三视图和直观图 把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影 中心投影的投影线交于一点 把 在一束平行光线照射下的投影叫平行投影 平行投影的投影线是平行的 1 定义 正视图 光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图 侧视图 光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图 俯视图 光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图 几何体的正视图 侧视图和俯视图统称为几何体的三视图 2 三视图中反应的长 宽 高的特点 长对正 高平齐 宽相等 2 空间几何体的直观图 表示空间图形的平面图 观察者站在某一点观察几 何体 画出的图形 3 斜二测画法的基本步骤 建立适当直角坐标系 xOy 尽可能使更多的点在坐标轴上 建立斜坐标系 xO y 使 xO y 450 或 1350 注意它们确定的平面 表示水平平面 画对应图形 在已知图形平行于 X 轴的线段 在直观图中画成平行于 X 轴 且长度保持不变 在已知图形平行于 Y 轴的线段 在直观图中画成平行于 Y 轴 且长度变为原来的一半 一般地 原图的面积是其直观图面积的2 2倍 即 2 2SS 原图直观 4 空间几何体的表面积与体积 圆柱侧面积 lrS 2 侧面 圆锥侧面积 lrS 侧面 圆台侧面积 lRlrS 侧面 体积公式 hSV 柱体 hSV 3 1 锥体 1 3 Vh SSSS 下下台体上上 球的表面积和体积 32 3 4 4RVRS 球球 一般地 面积比等于相似比的平方 体积比等于相似 比的立方 第二章第二章 点 直线 平面之间的位置关系及其论证点 直线 平面之间的位置关系及其论证 1 公理 1 如果一条直线上两点在一个平面内 那么这条直线在此平面内 Al Bl l AB 公理 1 的作用 判断直线是否在平面内 2 公理 2 过不在一条直线上的三点 有且只有一个平面 若 A B C 不共线 则 A B C 确 定平面 推论 1 过直线的直线外一点有且只有一个平面 若A l 则点 A 和l确定平面 推论 2 过两条相交直线有且只有一个平面 若m nA I 则 m n 确定平面 推论 3 过两条平行直线有且只有一个平面 若m n P 则 m n 确定平面 公理 2 及其推论的作用 确定平面 判定多边形是否为平面图形的依据 3 公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点 的公共直线 PPlPl I且 公理 3 作用 1 判定两个平面是否相交的依据 2 证明点共线 线共点等 4 公理 4 也叫平行公理 平行于同一条直线的两条直线平行 a b c ba c PPP 公理 4 作用 证明两直线平行 5 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角相等或互补 1212aa bb PP且与方向相同 1212 180a a b b PP 且 与方向相反 作用 该定理也叫等角定理 可以用来证明空间中的两个角相等 6 线线位置关系 平行 相交 异面 a babAa b PI异面 1 没有任何公共点的两条直线平行 2 有一个公共点的两条直线相交 3 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线 7 线面位置关系 1 直线在平面内 直线与平面有无数个公共点 a 2 直线和平面平行 直线与平面无任何公共点 a P 3 直线与平面相交 直线与平面有唯一一个公共点 a A I 8 面面位置关系 平行 相交 S侧 2 r l AB 2 r r r ll AB A L l 注 扇形的弧长等于注 扇形的弧长等于 圆心角乘以半径圆心角乘以半径 提醒圆心角提醒圆心角 为弧度角 例如为弧度角 例如60 3弧度 弧度 45 4弧度 弧度 90 2弧度等等 弧度等等 圆锥的侧面展开图是扇形 圆锥的侧面展开图是扇形 扇形面积扇形面积S扇形 扇形 1 2 弧长弧长 半径半径 的长的长 图中 扇形的半径长为图中 扇形的半径长为l 圆心角为圆心角为 弧 弧AB l l l h rB V O2 O1 h l r R d R2 r2 R r d O1 O 简单组合体简单组合体 l B A B A C l A l m A m n P L a b b a b a 方向相反则方向相反则 1 2 180 方向相同则方向相同则 1 2 2 1 2 1 a b 1 a 2 a 3 a A b a A 2 9 线面平行 即直线与平面无任何公共点 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行 则该直线与此平面平 行 只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以 a ba ab 证明两直线平行的主要方法是 三角形中位线定理 三角形中位线平行并等于底边的一半 平行四边形的性质 平行四边形两组对边分别平行 线面平行的性质 如果一条直线平行于一个平面 经过这条直线的平面与 这个平面相交 那么这条直线和它们的交线平行 a aab b P P I 平行线的传递性 a b c bac PPP 面面平行的性质 如果一个平面与两个平行平面相交 那么它们的交线平 行 aab b P IP I 垂直于同一平面的两直线平行 a a b b P 直线与平面平行的性质 如果一条直线平行于一个平面 经过这条直线的平面 与这个平面相交 那么这条直线和它们的交线平行 上面的 10 面面平行 即两平面无任何公共点 1 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 则这两个平面 平行 ab abA ab IP PP 判定定理的推论 一个平面内的两条相交直线与另一个平面上的两条直线分 别平行 两平面平行 a b abA aa b b a b I P PP 2 两平面平行的性质 性质 如果一个平面与两平行平面都相交 那么它们的交线平行 aab b P IP I 性质 平行于同一平面的两平面平行 P P P 性质 夹在两平行平面间的平行线段相等 A C ACBD B D ABCD P P 性质 两平面平行 一平面上的任一条直线与另一个平面平行 aa aa PP PP或 11 线面垂直 定义 如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线 那么就说这条直线和 这个平面垂直 判定 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直 则该直线与此平面垂直 lm ln l mnA m n I 性质 垂直于同一个平面的两条直线平行 a a b b P 性质 垂直于同一直线的两平面平行 l l P 12 面面垂直 定义 两个平面相交 如果它们所成的二面角是直二面角 就说这两个平面互 相垂直 判定 一个平面经过另一个平面的一条垂线 则这两个平面垂直 l l 只需在一个平面内找到另一个平面的垂线就可证明面面 垂直 性质 两个平面互相垂直 则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 m l l lm I 证明两直线垂直和主要方法 利用勾股定理证明两相交直线垂直 利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直 利用线面垂直的定义证明 特别是证明异面直线垂直 利用三垂线定理证明两直线垂直 三垂 指的是 线面垂 线影垂 线斜 垂 利用圆中直径所对的圆周角是直角 此外还有正方形 菱形对角线互相垂直等 结论 空间角及空间距离的计算 1 异面直线所成角 使异面直线平移后相交形成的夹角 通常在在两异面直线中 的一条上取一点 过该点作另一条直线平行线 2 斜线与平面成成的角 斜线与它在平面上的射影成的角 如图 PA 是平面 的 一条斜线 A 为斜足 O 为垂足 OA 叫斜线 PA 在平面 上射影 PAO 为线面 角 3 二面角 从一条直线出发的两个半平面形成的图形 如图为二面角 l 二面角的大小指的是二面角的平面角的大小 二面角的平面角分别在两个半平面 内且角的两边与二面角的棱垂直 用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是 lOAOB lOAl OBlAOB 如图 在二面角中 O棱上一点 的平面角 且则为二面角 a 斜斜 影影 线线 P O A POOAPA aPA aaOA 图 线 线线 如 是在平面 上的射影 又直且 即 影垂直斜垂直 反之也成立 ab 如图 直线a与b异面 b b 直线a与直线b 的夹角为两异 面直线 与 所成的角 异面直线所成角取值范围是 0 90 3 明确构成二面角两个半平面和棱 明确二面角的平面角是哪个 而要想明确二面角的平面角 关键是看该角的两边是否都和棱垂直 求空间角的三个步骤是 一找 二证 三计算 4 异面直线间的距离 指夹在两异面直线之间的 公垂线段的长度 如图 PQ 是两异面直线间的距离 异面直线的公垂线是唯一的 指与两异面直线垂直且相交的直线 5 点到平面的距离 指该点与它在平面上的 射影的连线段的长度 如图 O 为 P 在平面 上的射影 线段 OP 的长度为点 P 到平面 的距离 求法通常有 定义法和等体积法 等体积法 就是将点到平面的距离看成是 三棱锥的一个高 如图在三棱锥V ABC 中有 SABCA SBCB SACC SAB VVVV 第三章第三章 直线与方程直线与方程 1 直线方程的概念 一条直线l与一个二元一次方程 0F x yAx By C 有如下两个 对应 直线l上任意一点的坐标 x y 都满足方程 0F x yAx By C 以方程 0F x yAx By C 的解为坐标的点 x y 都在直线l上 则称方程 0F x yAx By C 为直线l的方程 直线l为方程的直线 2 直线倾斜角的定义 把直线向上的方向与x轴的正方向形成的最小正角叫直线 的倾斜角 3 直线倾斜角的范围 0 180 圆心为 22 DE 半径 22 1 4 2 rDEF 当 22 40DEF 时 方程 22 0 xyDxEyF 表示点 22 DE 当 22 40DEF 时 方程 22 0 xyDxEyF 不表示任何图形 4 点 000 Pxy 与圆 22 2 xaybr 的位置关系的判定 1 当 000 P xy 满足 22 2 00 xaybr 时点 P 在圆上 2 当 000 P xy 满足 22 2 00 xaybr 时点 P 在圆外 5 求圆方程的方法 主要有两种 1 待定系数法 使用待定系数法求圆方程的一般步骤 根据提设 选择标准方程或一般方程 根据条件列出关于 a b r 或 D E F 的方程组 解出 a b r 或 D E F 代入标准方程或一般方程 2 利用三角形外心的定义及其垂径定理求圆心坐标 三角形外心的定义 三角形三边垂直平分线的交点就是外心 垂径定理 垂直于弦的半径平分弦并平分弦所对的弧 弦的垂直平分线必经过圆心 因此求出两条弦的垂直平分线方程 联立解方 程组求 得圆心坐标 而圆心到圆上任意一点的距离都等于半径 最终写出圆的标准方程 6 直线与圆的位置关系的判定 几何法 1 相切 圆心到直线的距离d r 2 相交 圆心到直线的距离d r 代数法 将直线方程与圆的方程联立组成方程组 22 0 ykxb xyDxEyF 1 若方程 有唯一一个解 直与圆相切 2 若方程 有唯两个不等实数个解 直线与圆相交 3 若方程 有无解 直线与圆相离 特别地 当直线l与圆C相离时 P为圆上 的动点 PH 为点P到直线l的距离 设d 为圆心到直线l的距离 则 min max rdPHrdPH 线圆圆线圆线径来直与相切 求的切方程 一般用心到直的距离等于半求解 22 2 00 2 00 1 2 kk k xaybrxy xaxaybybr 过圆外一点的切线 不存在 验证是否成立 存在 设点斜式方程 用圆心到该直线距离半径 求解 得到直线方程 一定有两解 过圆上一点的切线方程 圆 圆上一点为 则 过此点的切线方程为 注意解决直线与圆位置关系问题时 经常需要设定直线方程 设直线方程的技巧 若直线l过轴上的定点 0 a 则可设直线 lxmya 若直线过定点为 0 b 则一般设直线 lykxb 若直线过点 00 xy 则设直线 00 lyyk xx 7 两圆位置关系的判定 设圆心距 12 dC C 几何法 相离 d Rr 外切 d Rr 相交 RrdRr 内切 dRr 内含 dRr 代数法 将两圆的方程组成方程组 22 111 22 222 0 0 xyD xE yF xyD xE yF 1 若方程有一个解 两圆相切 内切或外切 2 若方程有两个不同解 两圆相交 3 若方程有无解 两圆外离或内含 特别地 方程 2222 11122 0 xyD xE yFxyD xE yF 表示过两圆 交点的圆系方程 在这个方程组中 22 111 22 222 0 0 xyD xE yF xyD xE yF 用 消去平方项后得一个直线方 程 该直线方程过两圆的交点 因此该直线方程也叫两圆的公共弦所在的直线方 程 若圆心 1 C 到公共弦的距离等于半径 1 r 或者是圆心 2 C 到公共弦的距离等于半径 2 r 则两圆相切 外切或者内切 若圆心 1 C 到公共弦的距离等于小于 1 r 或者是圆心 2 C 到公共弦的距离小于半径 2 r 则两圆相交 8 坐标法是解决几何问题的重要方法 其步骤是 第一步 建立适当的平面直角坐标系 用坐标和方程表示问题中的几何元素 将平面几何问题转化为代数问题 第二步 通过代数运算 解决代数问题 第三步 将代数运算结果 翻译 成几何结论 9 空间直角坐标系 确定空间直角坐标系中点的坐标的知识要点 1 空间直角坐标系 从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度 相切 相切 d r 圆圆C x a 2 y b 2 r2 d Ax0 By0 C A2 B2 l Ax By C 0 r d C a b 相切 相切 dr 圆圆C x a 2 y b 2 r2 d Ax0 By0 C A2 B2 l Ax By C 0 r d C a b 相离相离 无共点 圆心距 无共点 圆心距 C1C2 r1 r2 r2 r1 圆圆C2 x2 y2 D2x E2y F2 0 圆圆C1 x2 y2 D1x E1y F1 0 C2 C1 外切外切 有一个公共点 有一个公共点 圆心距 圆心距 C1C2 r1 r2 r2 r1 圆圆C2 x2 y2 D2x E2y F2 0 圆圆C1 x2 y2 D1x E1y F1 0 C2 C1 相交相交 有两个公共点 圆心距有两个公共点 圆心距 r1 r2 C1C2 r1 r2 r2 r1 圆圆C2 x2 y2 D2x E2y F2 0 圆圆C1 x2 y2 D1x E1y F1 0 C2 C1 5 如图 边长为 2 的正方体各顶点坐标分别 为 0 0 0 D 2 0 0 A 2 2 0 B 0 2 0 C 2 0 2 1 A 2 2 2 1 B 0 2 2 1 C