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江云教育 我们用智慧播撒爱 初三暑期培优数学第一讲证明（二） 平行线+角平分线等腰三角形平面几何里，角平分线和平行线的组合频繁出现，因为它们一结合定会产生等腰三角形，即：角平分线平行线等腰三角形。先来证明一下：例、如图1所示，BE是ABC的角平分线，点D是边BA上的一点，DFBC,交BE于 点F, 求证： BDF是等腰三角形。例1、如图3所示，BF、CF是ABC的角平分线，过点F作DBC,交BA于点D,交BC于点E, 请你猜一猜DE与BD、CE之间有怎样的大小关系？证明你的猜想。（） 上题中保持其他条件不变，过点做BC分别交、于、两点，结论依然成立吗？如果不成立，请证明。（） 你还能想到其他变化吗？变式练习: 如图所示，BF、CF是ABC的角平分线，过点F作DFAB交BC与D，作EFBC交 点E，若BC=12，求DEF的周长。 变式图形：迅速找出每个图形中等腰三角形。并选择其中个给出证明。有意思的是，该命题的两个逆命题也成立，即：角平分线等腰三角形平行线， 平行线等腰三角形角平分线。 我们也可以利用上图完成这两个命题的证明。例2：如图，梯形ABCD中，ADBC，点E为DC的中点，且ABADBC，AE与BC的延长线交与 F点， 求证：AE平分DAB。同步练习：ABCDEFP 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图练习1如图1，直线分别与直线、相交于点、，已知， 平分交直线于点则=-（ ） A60 B65 C 70 D130练习2如图，梯形ABCD中，ABC和DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P， 若EF=3，则梯形ABCD的周长为-( ) (A)9 (B)10.5 (C)12 (D)15练习3.如图，在ABCD中，AB = 6，AD = 9，BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F， BGAE，垂足为G，BG=，则CEF的周长为-（ ） （A）8 （B）9.5 （C）10 （D）11.5练习4如图，在RtABC中，ACB=90，BAC的平分线AD交BC于点D，DEAC， DE交AB于点E ，F为BE的中点，连结DF.若DF=3,DE=2,则AC长为 . 练习5. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是A
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