高考数学《立体几何初步》专题 直线和平面垂直学案.doc

基础过关第4课时 直线和平面垂直1直线和平面垂直的定义如果一条直线和一个平面的 直线垂直，那么这条直线和这个平面互相垂直2直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的 直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面3直线和平面垂直性质若a，b则 若a，b则 若a，a则 过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条4点到平面距离过一点作平面的垂线 叫做点到平面的距离5直线到平面的距离一条直线与一个平面平行时，这条直线上 到这个平面的距离叫做直线到平面距离典型例题例1. oa、ob、oc两两互相垂直，g为abc的垂心求证：og平面abcbacog证明：oa、ob、oc两两互相垂直oa平面obc oabc又g为abc的垂心 agbc, bc面oagbcog同理可证：acog 又bcaccog平面abcsabcfe变式训练1：如图sa面abc，abc90，aesb，且sbaee，afsc，且afscf，求证：(1) bc面sab；(2) ae面sbc；(3) scef证明：(1) bc面sab(2) 由(1)有ae面sbc(3) 由(2)有sc面aefscef例2 如图，已知pa矩形abcd所在平面，m、n分别是ab、pc中点(1) 求证：mncd；(2) 若pda45，求证：mn面pcdpmbcdan证明：(1) 连ac取中点o，连no、mo，并且mo交cd于rn为pc中点 no为pac的中位线 nopa而pa平面abcd no平面abcdmn在平面abcd的射影为mo，又abcd是矩形m为ab中点，o为ac中点 mocdcdmn(2) 连nr，则nrm45pda又o为mr的中点，且nomrmnr为等腰三角形 且nrmnmr45mnr90 mnnr 又mncdmn平面pcd变式训练2：pd垂直于平面abcd所在平面，pbac，paab 求证： abcd是正方形； pcbc证明：略pdabcfe例3如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为矩形，pd底面abcd，adpd，e、f分别为cd、pb的中点(1) 求证：ef平面pab；(2) 设abbc，求ac与平面aef所成的角的大小(1) 证明：连结eppd底面abcd，de在平面abcd中，pdde，又ceed，pdadbc，rtbcertpde，pebef为pb中点，efpb由垂线定理得paab，在rtpab中，pfaf，又pebeea，efpefa，effa pb、fa为平面pab内的相交直线，ef平面pab(2) 解：不防设bc1，则adpd1，ab，pa， acpab为等腰直角三角形且pb2，是其斜边中点，bf1，且afpbpb与平面aef内两条相交直线ef、af都垂直pb平面aef连结be交ac于g，作ghbp交ef于h，则gh平面aefgah为ac与平面aef所成的角由egcbga可知eggb，egeb，agac由eghbgf可知ghbfsingahac与面aef所成的角为arc sin变式训练3：如图，在三棱锥abcd中，平面abd平面bcd，badbdc90，abad3，bc2cd求：(1) 求ac的长；(2) 求证：平面abc平面acd；(3) 求d点到平面abc的距离dabdc解：(1) (2)略(3)因vadbc(dcbd)oa6，又vdabc(abac)dd，vabcdvdabc，则d6，解得d.例4：如图，棱长为4的正方体ac1，o是正方形a1b1c1d1的中心，点p在棱cc1上，且cc14cpa1c1d1abcdphob1(1) 求直线ap与平面bcc1b1所成角的大小；(2) 设o点在平面d1ap上的射影是h，求证：d1hap；(3) 求点p到平面abd1的距离答案： (1) apbarctan(2) ap在面ac上的射影为ac 又acbdpabd 而bdb1d1 b1d1ap而b1d1在平面d1ap上的射影为d1h d1hap(3) 面abd1面bc1 过p作pmbc1于m则pm变式训练4：三棱锥vabc的三条侧棱va、vc两两垂直，顶点v在底面内的射影是h(1) 求证h是abc的垂心；(2) vehacbd(1) 证明：连结ah交bc于d点，连接ch交ab于e点，vavb，vavc，vbvcv，vavbc面，又bcvbc面，bcvavhabc面，bcabc面，bcvh，又vavha，bcvha面又advha面，adbc，同理可得ceab，h是abc的垂心(2) 连接ve，在rtv