31线性代数课件.ppt

第三章行列式 行列式是个有用的工具 利用行列式不仅可表述n阶矩阵为非退化阵的条件 而且可导出逆阵公式以及著名的克拉默 Cramer 法则等 今后还将用以定义许多重要的概念 本章用展开方式定义n阶行列式的概念 介绍常用的性质 计算方法并较为集中地概述它的一些应用 2 1行列式的概念和性质 2 2行列式值的计算 2 3若干应用 逆阵公式 克拉默法则等 本章的主要内容 重点内容行列式的计算 1 概念 2 性质 2 1行列式的概念和性质 一 概念 对任一n阶矩阵 用式子 或用大写字母D表示 常把上述表达式称为A的行列式 determinant 记作detA 表示一个与A相联系的数 而把相联系的那个数称为行列式的值 今后 称上述具有n行n列的表达式为n阶行列式 定义 把删去第i行及第j列后所得的 n 1 阶子矩阵称为对应于元aij的余子矩阵 并以Sij记之 对一n阶矩阵 对n 2 3 用以下公式递归地定义n阶行列式之值 定义一阶矩阵 a11 的行列式之值定义为数a11 即 例设 计算该行列式的值 解 因有S11 a22 S12 a21 故 例设 计算detA的值 解 若写出计算3阶行列式值的公式为 以下表的形式记3阶行列式值的计算公式 说明三阶行列式包括3 项 每一项都是位于不同行 不同列的三个元素的乘积 其中三项为正 三项为负 结论n阶行列式的值是n 个不同项的代数和 其中的每一项都是处于行列式不同行又不同列的n个元之乘积 定义对n阶行列式detA 称 detSij为元aij的余子式 称 为元aij的代数余子式 例如 根据该定义 可重新表达行列式的值 其中A1k是元a1k对A或detA的代数余子式 相当于把行列式按第一行展开 注行列式的每个元素都分别对应一个余子式和一个代数余子式 性质1行列式与它的转置行列式相等 说明行列式中行与列具有同等的地位 因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 2 性质 定理对n阶矩阵A 有 行列式的值也可按第1列展开计算 例如 推论若行列式有两行 列 完全相同 则此行列式为零 性质2互换行列式的两行 列 行列式值反号 性质3行列式的某一行 列 中所有的元素都乘以同一数k 等于用数k乘此行列式 请问若给n阶行列式的每一个元素都乘以同一数k 等于用乘以此行列式 思考 推论对n阶行列式A 有 推论行列式中若有两行 列 元素成比例 则此行列式为零 证 推论一行 或列 元素全为0的行列式值等于零 性质4若行列式的某一列 行 的元素都是两数之和 则D等于下列两个行列式之和 例如 性质6把行列式的某一列 行 元素的k倍加到另一列 行 对应的元素上去 行列式的值不变 例如 行列式等值变形法则 定理行列式等于它的任一行 列 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 即 或表达为 若行列式按列展开 有 定理行列式任一行 列 的元素与另一行 列 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 即 行列式的展开定理 证 将行列式按第i行展开 有 如果将行列式中的aij换成akj 那么自然有 行列式含有两个相同的行 值为0 综上所述 得公式 注在计算数字行列式时 直接应用行列式展开公式并不一定简化计算 因为把一个n阶行列式换成n个 n 1 阶行列式的计算并不减少计算量 只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时 应用展开定理才有意义 但展开定理在理论上是重要的 利用行列式按行按列展开定理 并结合行列式性质 可简化行列式计算 方法计算行列式时 可先用行列式的性质将某一行 列 化为仅含1个非零元素 再按此行 列 展开 变为低一阶的行列式 如此继续下去 直到化为三阶或二阶行列式 例计算行列式 解 定理设L是有如下分块形式的 n p 阶矩阵 其中A是n阶矩阵 B是p阶矩阵 则有 在A B是方阵时也成立 定理若A B是两个同阶矩阵 则 注意公式中C的元之具体值对结果无影响 例设 证明 证明 对作运算 把化为下三角形行列式 设为 对作运算 把化为下三角形行列式 设为 证明 对作运算 把化为下三角形行列式 对D的前k行作运算 则 对作运算 把化为下三角形行列式 对D的后n列作运算 则 对D的前k行作运算 再对后n列作运算 把D化为下三角形行列式